Схема Годунова - Википедия - Godunovs scheme

В числовой анализ и вычислительная гидродинамика, Схема Годунова это консервативный числовая схема, предложено Годунов С.К. в 1959 г. для решения уравнения в частных производных. Этот метод можно рассматривать как консервативный метод конечных объемов который решает точное или приблизительное Проблемы Римана на каждой межячейковой границе. В своей базовой форме метод Годунова имеет точность первого порядка как в пространстве, так и во времени, но может использоваться в качестве базовой схемы для разработки методов более высокого порядка.

Базовая схема

Следуя классической Метод конечных объемов рамки, мы стремимся отслеживать конечный набор дискретных неизвестных,

{ displaystyle Q_ {i} ^ {n} = { frac {1} { Delta x}} int _ {x_ {i-1/2}} ^ {x_ {i + 1/2}} q ( т ^ {п}, х) , dx}

где ${ displaystyle x_ {i-1/2} = x _ { text {low}} + left (i-1/2 right) Delta x}$ и ${ displaystyle t ^ {n} = n Delta t}$ образуют дискретный набор точек для гиперболической задачи:

{ displaystyle q_ {t} + (f (q)) _ {x} = 0,}

где индексы ${ displaystyle t}$ и ${ displaystyle x}$ указывают производные во времени и пространстве соответственно. Если мы проинтегрируем гиперболическую задачу по контрольному объему ${ Displaystyle [х_ {я-1/2}, х_ {я + 1/2}],}$ получаем Метод линий (MOL) формулировка пространственных средних ячеек:

{ displaystyle { frac { partial} { partial t}} Q_ {i} (t) = - { frac {1} { Delta x}} left (f (q (t, x_ {i + 1/2})) - f (q (t, x_ {i-1/2})) right),}

которое является классическим описанием метода конечных объемов первого порядка с обратной связью. (ср. Левек - методы конечных объемов для гиперболических задач)

Точное интегрирование вышеуказанной формулы по времени по времени ${ Displaystyle т = т ^ {п}}$ ко времени ${ Displaystyle т = т ^ {п + 1}}$ дает точную формулу обновления:

{ displaystyle Q_ {i} ^ {n + 1} = Q_ {i} ^ {n} - { frac {1} { Delta x}} int _ {t ^ {n}} ^ {t ^ { n + 1}} left (f (q (t, x_ {i + 1/2})) - f (q (t, x_ {i-1/2})) right) , dt.}

Метод Годунова заменяет интеграл по времени каждого

{ Displaystyle int _ {т ^ {п}} ^ {т ^ {п + 1}} е (д (т, х_ {я-1/2})) , дт}

с нападающим Метод Эйлера что дает полностью дискретную формулу обновления для каждого из неизвестных ${ displaystyle Q_ {i} ^ {n}}$ . То есть мы приближаем интегралы с помощью

{ displaystyle int _ {t ^ {n}} ^ {t ^ {n + 1}} f (q (t, x_ {i-1/2})) , dt приблизительно Delta tf ^ { downarrow} left (Q_ {i-1} ^ {n}, Q_ {i} ^ {n} right),}

куда ${ displaystyle f ^ { downarrow} left (q_ {l}, q_ {r} right)}$ является приближением к точному решению проблемы Римана. Для согласованности предполагается, что

{ displaystyle f ^ { downarrow} (q_ {l}, q_ {r}) = f (q_ {l}) quad { text {if}} quad q_ {l} = q_ {r},}

и это ${ displaystyle f ^ { downarrow}}$ увеличивается в первом аргументе и уменьшается во втором аргументе. Для скалярных задач, где ${ displaystyle f '(q)> 0}$ , можно использовать простой Схема против ветра, что определяет ${ displaystyle f ^ { downarrow} (q_ {l}, q_ {r}) = f (q_ {l})}$ .

Полная схема Годунова требует определения приблизительного или точного Решатель Римана, но в своей основной форме определяется следующим образом:

{ displaystyle Q_ {i} ^ {n + 1} = Q_ {i} ^ {n} - lambda left ({ hat {f}} _ {i + 1/2} ^ {n} - { hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n} right), quad lambda = { frac { Delta t} { Delta x}}, quad { hat {f}} _ {i-1/2} ^ {n} = f ^ { downarrow} left (Q_ {i-1} ^ {n}, Q_ {i} ^ {n} right)}

Линейная задача

В случае линейной задачи, где ${ displaystyle f (q) = aq}$ , и без ограничения общности будем считать, что ${ displaystyle a> 0}$ , обратный метод Годунова дает:

{ displaystyle Q_ {i} ^ {n + 1} = Q_ {i} ^ {n} - nu left (Q_ {i} ^ {n} -Q_ {i-1} ^ {n} right) , quad nu = a { frac { Delta t} { Delta x}},}

что дает классическую схему конечного объема первого порядка с перевернутой сверткой, устойчивость которой требует ${ displaystyle nu = left | a { frac { Delta t} { Delta x}} right | leq 1}$ .

Трехшаговый алгоритм

Следующий Hirsch, схема включает три различных шага для получения решения при ${ Displaystyle т = (п + 1) дельта т ,}$ из известного решения при ${ Displaystyle {т = п дельта т} ,}$ , следующее:

Шаг 1 Определить кусочно-постоянную аппроксимацию решения при ${ Displaystyle {т = (п + 1) дельта т} ,}$ . Поскольку кусочно-постоянная аппроксимация представляет собой среднее значение решения по ячейке размера ${ displaystyle { Delta x} ,}$ , пространственная ошибка порядка ${ displaystyle { Delta x} ,}$ , и, следовательно, полученная схема будет иметь первый порядок точности в пространстве. Обратите внимание, что это приближение соответствует метод конечных объемов представление, при котором дискретные значения представляют собой средние значения переменных состояния по ячейкам. Точные соотношения для усредненных значений ячеек можно получить из интегральных законов сохранения.

Шаг 2 Получите решение для местного Проблема Римана на интерфейсах ячеек. Это единственный физический этап всей процедуры. Разрывы на границах раздела разрешаются в суперпозиции волн, локально удовлетворяющих уравнениям сохранения. Оригинальный метод Годунова основан на точном решении задач Римана. Однако в качестве альтернативы можно применять приближенные решения.

Шаг 3 Усреднить переменные состояния через временной интервал ${ displaystyle { Delta t} ,}$ . Переменные состояния, полученные после шага 2, усредняются по каждой ячейке, определяя новое кусочно-постоянное приближение, полученное в результате распространения волны в течение интервала времени ${ displaystyle { Delta t} ,}$ . Чтобы быть последовательным, временной интервал ${ displaystyle { Delta t} ,}$ должен быть ограничен таким образом, чтобы волны, исходящие от границы раздела, не взаимодействовали с волнами, создаваемыми на соседних границах раздела. В противном случае на ситуацию внутри клетки повлияли бы взаимодействующие задачи Римана. Это приводит к CFL условие ${ displaystyle | a _ { max} | Delta t < Delta x / 2 ,}$ куда ${ Displaystyle | а _ { max} | ,}$ - максимальная скорость волны, полученная из собственного значения (я) ячейки локального Якобиан матрица.

Первый и третий шаги имеют исключительно числовой характер и могут рассматриваться как сцена проекциинезависимо от второго физического шага этап эволюции. Следовательно, они могут быть изменены, не влияя на физический ввод, например, путем замены кусочно-постоянной аппроксимации кусочно-линейной вариацией внутри каждой ячейки, что приводит к определению схем второго порядка пространственной точности, таких как Схема MUSCL.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Лэйни, Калберт Б. (1998). Вычислительная газодинамика. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-57069-7.
Торо, Э. Ф. (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
Таннехилл, Джон С.; и другие. (1997). Вычислительная механика жидкости и теплопередача (2-е изд.). Вашингтон: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 1-56032-046-X.
Весселинг, Питер (2001). Принципы вычислительной гидродинамики. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-67853-0.