Метод спектральных элементов - Spectral element method

При численном решении уравнения в частных производных, тема в математика, то метод спектральных элементов (SEM) - это формулировка метод конечных элементов (FEM) с высокой степенью кусочно многочлены как базовые функции. Метод спектральных элементов был представлен в статье 1984 г.^[1] А. Т. Патера. Хотя Патере приписывают разработку метода, его работа была повторным открытием существующего метода (см. Историю развития)

Обсуждение

В спектральный метод расширяет решение в тригонометрический серии, главное преимущество в том, что полученный метод имеет очень высокий порядок. Этот подход основан на том, что тригонометрические полиномы являются ортонормированный базис для ${displaystyle L ^ {2} (Омега)}$^[2]. Метод спектрального элемента вместо этого выбирает кусочно-полиномиальные базисные функции высокой степени, также обеспечивая очень высокий порядок точности. Такие многочлены обычно ортогональны. Полиномы Чебышева или очень высокого порядка Полиномы Лежандра над неравномерно расположенными узлами. В SEM погрешность вычисления экспоненциально уменьшается по мере увеличения порядка аппроксимирующего полинома, поэтому быстрая сходимость решения к точному решению реализуется с меньшим количеством степеней свободы конструкции по сравнению с FEM. мониторинг состояния конструкций, МКЭ можно использовать для обнаружения крупных дефектов в конструкции, но поскольку размер дефекта уменьшается, возникает необходимость в использовании высокочастотной волны с небольшой длиной волны. Следовательно, сетка FEM должна быть намного более мелкой, что приводит к увеличению времени вычислений и неточному решению. SEM с меньшим количеством степеней свободы на узел может быть полезен для обнаружения небольших дефектов. Неравномерность узлов помогает сделать диагональ матрицы масс, что экономит время и память, а также полезно для принятия метода центральной разности (CDM). К недостаткам SEM можно отнести сложность моделирования сложной геометрии по сравнению с гибкостью FEM.

Хотя метод может быть применен с модальным кусочно-ортогональным полиномиальным базисом, он чаще всего реализуется с узловым тензорным произведением базиса Лагранжа^[3]. Эффективность метода повышается за счет размещения узловых точек в точках Лежандра-Гаусса-Лобатто (LGL) и выполнения интеграций метода Галеркина с уменьшенным Квадратура Гаусса-Лобатто используя те же узлы. С помощью этой комбинации упрощения приводят к тому, что скопление массы происходит во всех узлах, а процедура совмещения получается во внутренних точках.

Наиболее популярные приложения метода - вычислительная гидродинамика.^[3] и моделирование распространения сейсмических волн^[4].

Априорная оценка погрешности

Классический анализ Методы Галеркина и Лемма Сеа здесь выполняется, и можно показать, что если ты является решением слабого уравнения, ты_N приближенное решение и ${displaystyle uin H ^ {s + 1} (Омега)}$:

${displaystyle | u-u_ {N} | _ {H ^ {1} (Omega)} leqq C_ {s} N ^ {- s} | u | _ {H ^ {s + 1} (Omega)}}$

где C не зависит от N и s не больше степени кусочно-полиномиального базиса. По мере увеличения N, мы также можем увеличить степень базисных функций. В этом случае, если ты является аналитическая функция:

${displaystyle | u-u_ {N} | _ {H ^ {1} (Omega)} leqq Cexp (-gamma N)}$

где ${displaystyle gamma}$ зависит только от ${displaystyle u}$.

Гибрид-коллокация-Галеркин обладает некоторыми свойствами сверхсходимости.^[5]. Форма LGL SEM эквивалентна^[6], поэтому он достигает тех же свойств сверхсходимости.

История развития

Разработку самой популярной формы метода LGL обычно приписывают Мадей и Патера.^[7]. Однако он был разработан более десяти лет назад. Во-первых, это метод гибридной коллокации-Галеркина (HCGM).^[8][5], который применяет коллокацию во внутренних точках Лобатто и использует интегральную процедуру, подобную Галеркину, на интерфейсах элементов. Метод Лобатто-Галеркина, описанный Янгом.^[9] идентичен SEM, в то время как HCGM эквивалентен этим методам^[6]. Эта более ранняя работа игнорируется в спектральной литературе.

Связанные методы

• G-NI или SEM-NI - наиболее часто используемые спектральные методы. Галёркинская формулировка спектральных методов или методов спектральных элементов для G-NI или SEM-NI соответственно модифицирована и Интеграция Гаусса-Лобатто используется вместо интегралов в определении билинейная форма ${displaystyle a (cdot, cdot)}$ а в функционале ${displaystyle F}$. Их сближение является следствием Лемма Стрэнга.
• SEM - это МКЭ на основе Галеркина (метод конечных элементов) с базисными функциями Лагранжа (форма) и сокращенным численным интегрированием с помощью Квадратура лобатто используя те же узлы.
• В псевдоспектральный метод, ортогональное словосочетание, дифференциальный квадратурный метод и G-NI - разные названия одного и того же метода. Эти методы используют глобальные, а не кусочно-полиномиальные базисные функции. Расширение до кусочного базиса МКЭ или СЭМ почти тривиально.^[6].
• В методе спектральных элементов используется тензорное произведение пространство, покрытое узловыми базисными функциями, связанными с Точки Гаусса – Лобатто. Напротив, p-версия метода конечных элементов охватывает пространство полиномов высокого порядка безузловыми базисными функциями, выбранными приблизительно ортогональными для числовая стабильность. Поскольку не все внутренние базисные функции должны присутствовать, метод конечных элементов p-версии может создать пространство, содержащее все многочлены до заданной степени с меньшим количеством степеней свободы.^[10] Однако некоторые методы ускорения, возможные в спектральных методах из-за их характера тензорного произведения, больше не доступны. Название p-версия означает, что точность увеличивается за счет увеличения порядка приближающих многочленов (таким образом, п) вместо уменьшения размера ячейки, час.
• В л.с. метод конечных элементов (hp-FEM ) сочетает в себе преимущества час и п уточнения для получения экспоненциальной скорости сходимости.^[11]

Заметки