Решатель Римана - Riemann solver

Вычислительная физика
Неустойчивость Рэлея-Тейлора.jpg
Механика  · Электромагнетизм  · Термодинамика  · Моделирование

А Решатель Римана это численный метод используется для решения Проблема Римана. Они широко используются в вычислительная гидродинамика и вычислительная магнитогидродинамика.

Определение

Вообще говоря, решатели Римана - это особые методы для вычисления числового потока через разрыв в задаче Римана.[1] Они составляют важную часть схемы высокого разрешения; обычно правое и левое состояния для задачи Римана вычисляются с использованием некоторой формы нелинейной реконструкции, такой как ограничитель потока или WENO метод, а затем используется в качестве входных данных для решателя Римана.[2]

Точные решатели

Сергей К. Годунов приписывают введение первого точного решателя Римана для уравнений Эйлера,[3] путем расширения предыдущего метода CIR (Куранта-Исааксона-Риса) на нелинейные системы гиперболических законов сохранения. Современные решатели могут моделировать релятивистские эффекты и магнитные поля.

Более поздние исследования показывают, что существует точное серийное решение проблемы Римана, которое в некоторых случаях может сходиться достаточно быстро, чтобы избежать итерационных методов, требуемых в схеме Годунова.[4]

Приближенные решатели

Поскольку итерационные решения слишком дороги, особенно в магнитогидродинамике, необходимо сделать некоторые приближения. Вот некоторые популярные решатели:

Роу решатель

Основная статья: Роу решатель

Филип Л. Роу использовал линеаризацию якобиана, которую затем решает точно.[5]

HLLE решатель

Решатель HLLE (разработан Ами Хартен, Питер Лакс, Брэм ван Леер и Einfeldt) является приближенным решением проблемы Римана, которое основано только на интегральной форме законов сохранения и наибольшей и наименьшей скоростях сигнала на границе раздела.[6][7] Стабильность и надежность решателя HLLE тесно связаны со скоростями сигналов и одним центральным средним состоянием, как было предложено Эйнфельдтом в исходной статье.

Решатель HLLC

Решатель HLLC (Harten-Lax-van Leer-Contact) был представлен Торо.[8] Он восстанавливает отсутствующую волну разрежения по некоторым оценкам, например линеаризациям, они могут быть простыми, но существуют и более сложные, например, использование средней скорости Роу для средней скорости волны. Они довольно прочные и эффективные, но несколько более распространенные.[9]

Поворотно-гибридные решатели Римана

Эти решатели были введены Хироаки Нисикава и Китамура,[10] чтобы одновременно преодолеть проблемы карбункула решателя Роу и чрезмерную диффузию решателя HLLE. Они разработали надежные и точные решатели Римана, объединив решатель Роу и решатели HLLE / Русанова: они показывают, что при применении в двух ортогональных направлениях два решателя Римана могут быть объединены в один решатель типа Роу (решатель Роу с измененными волновыми скоростями ). В частности, метод, полученный из решателей Роу и HLLE, называемый решателем Rotated-RHLL, чрезвычайно надежен (не содержит карбункулов для всех возможных тестовых случаев как на структурированных, так и в неструктурированных сетках) и точен (так же точен, как решатель Роу для границы расчет слоя).

Другие решатели

Доступно множество других решателей, в том числе больше вариантов схемы HLL.[11] и решатели, основанные на разделении потока посредством характеристического разложения.[12]

Примечания

  1. ^ Левек, Рэндалл Дж., 1955- (1992). Численные методы для законов сохранения (2-е изд.). Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN  3-7643-2723-5. OCLC  25281500.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  2. ^ Торо, Э. Ф. (2006). Решатели Римана и численные методы для гидродинамики: практическое введение (3-е [ред.] Изд.). Берлин: Springer. ISBN  978-3-540-49834-6. OCLC  405546150.
  3. ^ Годунов, С. К. (1959), "Разностная схема для численного расчета разрывного решения гиперболического уравнения", Мат. Сборник, 47: 271–306
  4. ^ Wu, Y.Y .; Чунг, К.Ф. (2008), "Явное решение точной задачи Римана и его применение в нелинейных уравнениях мелкой воды", Int. J. Numer. Meth. Жидкости, 57 (11): 1649–1668, Bibcode:2008IJNMF..57.1649W, Дои:10.1002 / пол.1696
  5. ^ Роу, П. Л. (1981), "Приближенные решатели Римана, векторы параметров и разностные схемы", J. Comput. Phys., 43 (2): 357–372, Bibcode:1981JCoPh..43..357R, Дои:10.1016/0021-9991(81)90128-5
  6. ^ Хартен, Амирам; Лакс, Питер Д .; Ван Леер, Брэм (1983). "О восходящих разностных схемах и схемах типа Годунова для гиперболических законов сохранения". SIAM Обзор. 25 (1): 35–61. Дои:10.1137/1025002. ISSN  0036-1445. JSTOR  2030019.
  7. ^ Эйнфельдт Б. (1988), "О методах типа Годунова для газовой динамики", SIAM J. Numer. Анальный., 25 (2): 294–318, Bibcode:1988SJNA ... 25..294E, Дои:10.1137/0725021
  8. ^ Toro, E. F .; Ель, М .; Спирс, W. (1994), "Восстановление контактной поверхности в решателе HLL-Riemann", Ударные волны, 4 (1): 25–34, Bibcode:1994ShWav ... 4 ... 25Т, Дои:10.1007 / BF01414629
  9. ^ Куирк, Дж. Дж. (1994), "Вклад в великие дебаты о решении проблемы Римана", Int. J. Numer. Meth. Жидкости, 18 (6): 555–574, Bibcode:1994IJNMF..18..555Q, Дои:10.1002 / fld.1650180603, HDL:2060/19930015894.
  10. ^ Nishikawa, H .; Китамура, К. (2008), "Очень простые, не содержащие карбункулов, разрешающие пограничный слой, повернутые гибридные решатели Римана", J. Comput. Phys., 227 (4): 2560–2581, Bibcode:2008JCoPh.227.2560N, Дои:10.1016 / j.jcp.2007.11.003
  11. ^ Миёси, Такахиро; Кусано, Каня (сентябрь 2005 г.). "Многоуровневый HLL приближенный решатель Римана для идеальной магнитогидродинамики". Журнал вычислительной физики. 208 (1): 315–344. Bibcode:2005JCoPh.208..315M. Дои:10.1016 / j.jcp.2005.02.017.
  12. ^ Донат, Р .; Font, J.A .; Ibáñez, J.Ma; Маркина, А. (октябрь 1998 г.). "Алгоритм разделения потока применительно к релятивистским потокам". Журнал вычислительной физики. 146 (1): 58–81. Bibcode:1998JCoPh.146 ... 58D. Дои:10.1006 / jcph.1998.5955.

Смотрите также

Рекомендации

  • Торо, Элеутерио Ф. (1999), Решатели Римана и численные методы гидродинамики, Берлин: Springer Verlag, ISBN  978-3-540-65966-2

внешняя ссылка