Численный метод - Numerical method

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Сентябрь 2016) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В числовой анализ, а численный метод математический инструмент, предназначенный для решения численных задач. Реализация численного метода с соответствующей проверкой сходимости на языке программирования называется численным алгоритмом.

Математическое определение

Позволять ${ Displaystyle F (х, y) = 0}$ быть хорошо поставленная проблема, т.е. ${ displaystyle F: X times Y rightarrow mathbb {R}}$ это настоящий или же сложный функциональные отношения, определенные на перекрестном произведении набора входных данных ${ displaystyle X}$ и набор выходных данных ${ displaystyle Y}$, такое, что существует местно Lipchitz функция ${ displaystyle g: X rightarrow Y}$ называется противовоспалительное средство, обладающий тем свойством, что для каждого корня ${ Displaystyle (х, у)}$ из ${ displaystyle F}$, ${ Displaystyle у = г (х)}$. Мы определяем численный метод для приближения ${ Displaystyle F (х, y) = 0}$, то последовательность проблем

${ displaystyle left {M_ {n} right } _ {n in mathbb {N}} = left {F_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) = 0 right } _ {п in mathbb {N}},}$

с ${ displaystyle F_ {n}: X_ {n} times Y_ {n} rightarrow mathbb {R}}$, ${ displaystyle x_ {n} in X_ {n}}$ и ${ displaystyle y_ {n} in Y_ {n}}$ для каждого ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$. Проблемы, из которых состоит метод, не обязательно должны быть хорошо поставлены. Если да, то метод называется стабильный или же хорошо поставленный.^[1]

Последовательность

Необходимые условия для эффективного приближения численного метода ${ Displaystyle F (х, y) = 0}$ это что ${ displaystyle x_ {n} rightarrow x}$ и это ${ displaystyle F_ {n}}$ ведет себя как ${ displaystyle F}$ когда ${ Displaystyle п rightarrow infty}$. Итак, численный метод называется последовательный тогда и только тогда, когда последовательность функций ${ displaystyle left {F_ {n} right } _ {n in mathbb {N}}}$ поточечно сходится к ${ displaystyle F}$ на съемочной площадке ${ displaystyle S}$ своих решений:

${ displaystyle lim F_ {n} (x, y + t) = F (x, y, t) = 0, quad quad forall (x, y, t) in S.}$

Когда ${ displaystyle F_ {n} = F, forall n in mathbb {N}}$ на ${ displaystyle S}$ метод называется строго последовательный.^[1]

Конвергенция

Обозначим через ${ displaystyle ell _ {n}}$ последовательность допустимые возмущения из ${ displaystyle x in X}$ для некоторого численного метода ${ displaystyle M}$ (т.е. ${ displaystyle x + ell _ {n} in X_ {n} forall n in mathbb {N}}$) и с ${ displaystyle y_ {n} (x + ell _ {n}) in Y_ {n}}$ значение такое, что ${ displaystyle F_ {n} (x + ell _ {n}, y_ {n} (x + ell _ {n})) = 0}$. Условие, которому должен удовлетворять метод, чтобы быть значимым инструментом для решения проблемы. ${ Displaystyle F (х, y) = 0}$ является конвергенция:

${ displaystyle { begin {align} & forall varepsilon> 0, exists n_ {0} ( varepsilon)> 0, exists delta _ { varepsilon, n_ {0}} { text {такой, что }} & forall n> n_ {0}, forall ell _ {n}: | ell _ {n} | < delta _ { varepsilon, n_ {0}} Rightarrow | y_ {n} (x + ell _ {n}) - y | leq varepsilon. end {align}}}$

Нетрудно доказать, что поточечная сходимость ${ displaystyle {y_ {n} } _ {n in mathbb {N}}}$ к ${ displaystyle y}$ подразумевает сходимость ассоциированного метода - функции.^[1]

Рекомендации