Решеточные методы Больцмана - Википедия - Lattice Boltzmann methods

Решеточные методы Больцмана (LBM), возникла из решетчатые газовые автоматы (LGA) метод (Hardy-Помо -Pazzis и Frisch -Hasslacher -Помо моделей), является классом вычислительная гидродинамика (CFD) методы для моделирование жидкости. Вместо решения Уравнения Навье – Стокса непосредственно, плотность жидкости на решетке моделируется с помощью процессов течения и столкновения (релаксации).^[1] Метод универсален^[1] поскольку модельную жидкость можно напрямую заставить имитировать обычное поведение жидкости, такое как сосуществование пара и жидкости, и таким образом можно моделировать жидкостные системы, такие как жидкие капли. Кроме того, жидкости в сложных средах, таких как пористые среды, можно моделировать напрямую, тогда как со сложными границами другие методы CFD могут быть трудными для работы.

Воспроизвести медиа

Компьютерное моделирование в двух измерениях с использованием метода решетки Больцмана капли, которая начинает растягиваться и релаксирует до своей равновесной круглой формы

Алгоритм

LBM - относительно новый^{[когда? ]} метод моделирования сложных жидкостных систем и вызвал интерес у исследователей вычислительной физики. В отличие от традиционных методов CFD, которые решают уравнения сохранения макроскопических свойств (то есть массы, импульса и энергии) численно, LBM моделирует жидкость, состоящую из фиктивных частиц, и такие частицы выполняют последовательные процессы распространения и столкновения по дискретной сетке решетки. Из-за своей дисперсной природы и локальной динамики LBM имеет несколько преимуществ перед другими традиционными методами CFD, особенно в работе со сложными границами, включая микроскопические взаимодействия и распараллеливание алгоритма.^{[нужна цитата ]} Другая интерпретация решеточного уравнения Больцмана - это дискретная скорость Уравнение Больцмана. Численные методы решения системы уравнений в частных производных затем приводят к дискретному отображению, которое можно интерпретировать как распространение и столкновение фиктивных частиц.

Схема векторов решетки D2Q9 для 2D решетки Больцмана

В алгоритме есть этапы столкновения и потоковой передачи. Они развивают плотность жидкости ${ displaystyle rho ({ vec {x}}, т)}$, за ${ displaystyle { vec {x}}}$ положение и ${ displaystyle t}$ время. Поскольку жидкость находится на решетке, ее плотность состоит из нескольких компонентов. ${ displaystyle f_ {i}, я = 0, ldots, a}$ равно количеству векторов решетки, соединенных с каждой точкой решетки. В качестве примера здесь показаны векторы решетки для простой решетки, используемой в моделировании в двух измерениях. Эта решетка обычно обозначается D2Q9 для двух измерений и девяти векторов: четыре вектора вдоль севера, востока, юга и запада, плюс четыре вектора по углам единичного квадрата, плюс вектор с обоими нулевыми компонентами. Тогда, например вектор ${ displaystyle { vec {e}} _ {4} = (0, -1)}$, т.е. он указывает на юг и поэтому не имеет ${ displaystyle x}$ компонент, но ${ displaystyle y}$ компонент ${ displaystyle -1}$. Итак, один из девяти компонентов общей плотности в центральной точке решетки, ${ displaystyle f_ {4} ({ vec {x}}, т)}$, это часть жидкости в точке ${ displaystyle { vec {x}}}$ движется прямо на юг со скоростью в единицах решетки.

Тогда шаги, которые развивают жидкость во времени:^[1]

Шаг столкновения

${ displaystyle f_ {i} ({ vec {x}}, t + delta _ {t}) = f_ {i} ({ vec {x}}, t) + { frac {f_ {i} ^ {eq} ({ vec {x}}, t) -f_ {i} ({ vec {x}}, t)} { tau _ {f}}} , !}$

Бхатнагар Гросс и Крук (BGK)^[2] модель для релаксации к равновесию через столкновения между молекулами жидкости. ${ displaystyle f_ {i} ^ {eq} ({ vec {x}}, т)}$ - равновесная плотность вдоль направления я при плотности тока нет. Модель предполагает, что жидкость локально релаксирует к равновесию в течение характерного периода времени. ${ displaystyle tau _ {f}}$. Эта шкала времени определяет кинематическая вязкость, чем она больше, тем больше кинематическая вязкость.

Шаг потоковой передачи

${ displaystyle f_ {i} ({ vec {x}} + { vec {e}} _ {i}, t + 1) = f_ {i} ({ vec {x}}, t) , !}$

В качестве ${ displaystyle f_ {i} ({ vec {x}}, т)}$ есть, по определению, плотность жидкости в точке ${ displaystyle { vec {x}}}$ вовремя ${ displaystyle t}$, который движется со скоростью ${ displaystyle { vec {e}} _ {i}}$ за временной шаг, затем на следующем временном шаге ${ displaystyle t + 1}$ он будет течь в точку ${ displaystyle { vec {x}} + { vec {e}} _ {я}}$.

Преимущества

• LBM был разработан с нуля для эффективной работы на массивно-параллельные архитектуры, начиная от недорогих встроенных ПЛИС и DSP вплоть до GPU и гетерогенные кластеры и суперкомпьютеры (даже с медленной сетью межсетевого взаимодействия). Это позволяет использовать сложную физику и сложные алгоритмы. Эффективность приводит к качественно новому уровню понимания, поскольку позволяет решать проблемы, к которым ранее невозможно было подойти (или только с недостаточной точностью).
• Метод основан на молекулярном описании жидкости и может напрямую включать физические термины, вытекающие из знания взаимодействия между молекулами. Следовательно, это незаменимый инструмент в фундаментальных исследованиях, поскольку он сокращает цикл между разработкой теории и формулировкой соответствующей численной модели.
• Автоматическая предварительная обработка данных и создание сетки за время, которое составляет небольшую часть от общего моделирования.
• Параллельный анализ данных, постобработка и оценка.
• Полностью разрешенный многофазный поток с мелкими каплями и пузырьками.
• Полностью решенный поток через сложные геометрические формы и пористые среды.
• Сложный, сопряженный поток с теплопередачей и химическими реакциями.

Ограничения

Несмотря на растущую популярность LBM при моделировании сложных жидкостных систем, этот новый подход имеет некоторые ограничения. В настоящее время потоки с большим числом Маха в аэродинамика для LBM все еще сложны, а последовательная термогидродинамическая схема отсутствует. Однако, как и в случае с CFD на основе Навье – Стокса, методы LBM были успешно объединены с решениями для конкретных температур, чтобы обеспечить возможность моделирования теплопередачи (проводимости, конвекции и излучения на основе твердых тел). Для многофазных / многокомпонентных моделей толщина границы раздела обычно велика, а отношение плотности на границе раздела мало по сравнению с реальными жидкостями. Недавно эта проблема была решена Юань и Шефер, которые улучшили модели Шань и Чен, Свифт и Хе, Чен и Чжан. Они смогли достичь соотношения плотности 1000: 1, просто изменив уравнение состояния. Было предложено применить преобразование Галилея, чтобы преодолеть ограничение моделирования высокоскоростных потоков жидкости.^[3]Тем не менее, широкое применение и быстрое развитие этого метода в течение последних двадцати лет доказали его потенциал в вычислительной физике, включая микрофлюидика:^{[нужна цитата ]} LBM показывает многообещающие результаты в области высоких Число Кнудсена потоки.^{[нужна цитата ]}

Разработка по методу LGA

LBM возникла из решетчатые газовые автоматы (LGA), который можно рассматривать как упрощенную фиктивную модель молекулярной динамики, в которой пространство, время и скорости частиц дискретны. Например, в двумерном Модель FHP каждый узел решетки связан со своими соседями шестью скоростями решетки на треугольной решетке; в узле решетки может находиться 0 или 1 частица, движущаяся с заданной скоростью решетки. Через некоторый промежуток времени каждая частица переместится к соседнему узлу в своем направлении; этот процесс называется этапом распространения или потоковой передачи. Когда более одной частицы прибывают в один и тот же узел с разных направлений, они сталкиваются и меняют свои скорости в соответствии с набором правил столкновения. Шаги потоковой передачи и шаги столкновения чередуются. Подходящие правила столкновения должны сохранять число частиц (масса), импульс и энергия до и после столкновения. LGA страдает несколькими врожденными дефектами для использования в гидродинамическом моделировании: отсутствие Галилеевская инвариантность для быстрых потоков, статистический шум и бедный Число Рейнольдса масштабирование с размером решетки. LGA, однако, хорошо подходят для упрощения и расширения охвата реакция диффузия и молекулярная динамика модели.

Основной причиной перехода от LGA к LBM было желание устранить статистический шум путем замены логического числа частиц в направлении решетки на его среднее по ансамблю, так называемую функцию распределения плотности. Вместе с этой заменой правило дискретного столкновения также заменяется непрерывной функцией, известной как оператор столкновения. При разработке LBM важным упрощением является аппроксимация оператора столкновения с Бхатнагар-Гросс-Крук (BGK) срок релаксации. Эта решетчатая модель BGK (LBGK) делает моделирование более эффективным и обеспечивает гибкость транспортных коэффициентов. С другой стороны, было показано, что схему LBM также можно рассматривать как специальную дискретизированную форму непрерывного уравнения Больцмана. Из Теория Чепмена-Энскога, можно восстановить основные уравнения непрерывности и Навье – Стокса из алгоритма LBM. Кроме того, th также напрямую доступен из распределений плотности и, следовательно, нет дополнительных Уравнение Пуассона решаться как в традиционных методах CFD.

Решетки и DпQм классификация

Решеточные модели Больцмана могут работать с множеством различных решеток, как кубических, так и треугольных, и с остальными частицами в дискретной функции распределения или без них.

Популярным способом классификации различных методов по решетке является метод DпQм схема. Здесь "Dп"означает"п размеры ", а" Qм"означает"м скорости ". Например, D3Q15 представляет собой трехмерную решетчатую модель Больцмана на кубической сетке с присутствующими остальными частицами. Каждый узел имеет форму кристалла и может доставлять частицы в 15 узлов: каждый из 6 соседних узлов, которые имеют общую поверхность, 8 соседних узлов разделяют угол и себя.^[4] (Модель D3Q15 не содержит частиц, движущихся к 12 соседним узлам, имеющим общий край; добавление их создало бы модель «D3Q27».)

Реальные величины, такие как пространство и время, необходимо преобразовать в единицы решетки до моделирования. Безразмерные величины, такие как Число Рейнольдса, оставаться прежним.

Конвертация единиц решетки

В большинстве симуляций на решетке Больцмана ${ displaystyle delta _ {x} , !}$ является основной единицей для шага решетки, поэтому, если область длины ${ Displaystyle L , !}$ имеет ${ Displaystyle N , !}$ решетки по всей ее длине, пространственная единица просто определяется как ${ displaystyle delta _ {x} = L / N , !}$. Скорости в моделировании решеточной Больцмана обычно выражаются в единицах скорости звука. Таким образом, единицу дискретного времени можно представить как ${ displaystyle delta _ {t} = { frac { delta _ {x}} {C_ {s}}} , !}$, где знаменатель ${ displaystyle C_ {s}}$ это физическая скорость звука.^[5]

Для мелкомасштабных потоков (например, тех, что показаны на пористая среда механика), работа с истинной скоростью звука может привести к недопустимо коротким временным шагам. Поэтому принято поднимать решетку число Маха к чему-то намного большему, чем реальное число Маха, и компенсируя это повышением вязкость а также для того, чтобы сохранить Число Рейнольдса.^[6]

Моделирование смесей

Моделирование многофазных / многокомпонентных потоков всегда было проблемой для традиционных CFD из-за движущихся и деформируемых интерфейсы. Если говорить более фундаментально, интерфейсы между разными фазы (жидкость и пар) или компоненты (например, масло и вода) возникают в результате специфических взаимодействий между молекулами жидкости. Поэтому такие микроскопические взаимодействия трудно реализовать в макроскопическом уравнении Навье – Стокса. Однако в LBM кинетика твердых частиц обеспечивает относительно простой и последовательный способ включения лежащих в основе микроскопических взаимодействий путем изменения оператора столкновения. Было разработано несколько многофазных / многокомпонентных моделей LBM. Здесь фазовое разделение генерируется автоматически из динамики частиц, и не требуется специальной обработки для манипулирования интерфейсами, как в традиционных методах CFD. Успешные применения многофазных / многокомпонентных моделей LBM можно найти в различных сложных жидкостных системах, включая нестабильность интерфейса, пузырь /капля динамика смачивание на твердых поверхностях, межфазное скольжение и электрогидродинамические деформации капель.

Недавно была предложена решеточная модель Больцмана для моделирования горения газовой смеси, допускающая значительные изменения плотности в режиме низких чисел Маха.^[7]

В связи с этим стоит отметить, что, поскольку LBM имеет дело с большим набором полей (по сравнению с обычным CFD), моделирование реактивных газовых смесей представляет некоторые дополнительные проблемы с точки зрения потребности в памяти, поскольку большие детализированные механизмы горения обеспокоены. Однако эти проблемы можно решить, прибегнув к методам систематической редукции моделей.^[8][9][10]

Метод тепловой решетки-Больцмана

В настоящее время (2009 г.) метод тепловой решетки-Больцмана (TLBM) подпадает под одну из трех категорий: многоскоростной подход,^[11] пассивный скалярный подход,^[12] и распределение тепловой энергии.^[13]

Вывод уравнения Навье – Стокса из дискретной LBE.

Начнем с дискретного решеточного уравнения Больцмана (также называемого уравнением ЛБГК из-за используемого оператора столкновения). Сначала мы выполняем разложение в ряд Тейлора 2-го порядка по левой стороне LBE. Это выбрано вместо более простого разложения Тейлора 1-го порядка, поскольку дискретный LBE не может быть восстановлен. При выполнении разложения в ряд Тейлора 2-го порядка член с нулевой производной и первый член справа будут сокращаться, оставляя только первую и вторую производные членов разложения Тейлора и оператора столкновения:

${ displaystyle f_ {i} ({ vec {x}} + { vec {e}} _ {i} delta _ {t}, t + delta _ {t}) = f_ {i} ({ vec {x}}, t) + { frac { delta _ {t}} { tau _ {f}}} (f_ {i} ^ {eq} -f_ {i}).}$

Для простоты напишите ${ displaystyle f_ {i} ({ vec {x}}, т)}$ в качестве ${ displaystyle f_ {i}}$. Слегка упрощенное расширение ряда Тейлора выглядит следующим образом, где ":" - произведение двоеточия между диадами:

${ displaystyle { frac { partial f_ {i}} { partial t}} + { vec {e}} _ {i} cdot nabla f_ {i} + left ({ frac {1} {2}} { vec {e}} _ {i} { vec {e}} _ {i}: nabla nabla f_ {i} + { vec {e}} _ {i} cdot набла { frac { partial f_ {i}} { partial t}} + { frac {1} {2}} { frac { partial ^ {2} f_ {i}} { partial t ^ { 2}}} right) = { frac {1} { tau}} (f_ {i} ^ {eq} -f_ {i}).}$

Разлагая функцию распределения частиц на равновесные и неравновесные компоненты и используя разложение Чепмена-Энскога, где ${ displaystyle K}$ - число Кнудсена, LBE, разложенная по Тейлору, может быть разложена на различные величины порядка числа Кнудсена, чтобы получить соответствующие уравнения континуума:

${ displaystyle f_ {i} = f_ {i} ^ { text {eq}} + Kf_ {i} ^ { text {neq}},}$

${ displaystyle f_ {i} ^ { text {neq}} = f_ {i} ^ {(1)} + Kf_ {i} ^ {(2)} + O (K ^ {2}).}$

Равновесные и неравновесные распределения удовлетворяют следующим соотношениям со своими макроскопическими переменными (они будут использоваться позже, когда распределения частиц будут в «правильной форме» для масштабирования от частицы до макроскопического уровня):

${ displaystyle rho = sum _ {i} f_ {i} ^ { text {eq}},}$

${ displaystyle rho { vec {u}} = sum _ {i} f_ {i} ^ { text {eq}} { vec {e}} _ {i},}$

${ displaystyle 0 = sum _ {i} f_ {i} ^ {(k)} qquad { text {for}} k = 1,2,}$

${ displaystyle 0 = sum _ {i} f_ {i} ^ {(k)} { vec {e}} _ {i}.}$

Расширение Чепмена-Энскога тогда:

${ Displaystyle { frac { partial} { partial t}} = K { frac { partial} { partial t_ {1}}} + K ^ {2} { frac { partial} { partial t_ {2}}} qquad { text {for}} t_ {2} ({ text {диффузная шкала времени}}) ll t_ {1} ({ text {конвективная шкала времени}}), }$

${ displaystyle { frac { partial} { partial x}} = K { frac { partial} { partial x_ {1}}}.}$

Подставив расширенное равновесие и неравновесие в разложение Тейлора и разделив на разные порядки ${ displaystyle K}$, уравнения континуума почти выведены.

Для заказа ${ displaystyle K ^ {0}}$:

${ displaystyle { frac { partial f_ {i} ^ { text {eq}}} { partial t_ {1}}} + { vec {e}} _ {i} nabla _ {1} f_ {i} ^ { text {eq}} = - { frac {f_ {i} ^ {(1)}} { tau}}.}.$

Для заказа ${ displaystyle K ^ {1}}$:

${ displaystyle { frac { partial f_ {i} ^ {(1)}} { partial t_ {1}}} + { frac { partial f_ {i} ^ { text {eq}}} { partial t_ {2}}} + { vec {e}} _ {i} nabla f_ {i} ^ {(1)} + { frac {1} {2}} { vec {e}} _ {i} { vec {e}} _ {i}: nabla nabla f_ {i} ^ { text {eq}} + { vec {e}} _ {i} cdot nabla { frac { partial f_ {i} ^ { text {eq}}} { partial t_ {1}}} + { frac {1} {2}} { frac { partial ^ {2} f_ {i } ^ { text {eq}}} { partial t_ {1} ^ {2}}} = - { frac {f_ {i} ^ {(2)}} { tau}}.}.}$

Затем второе уравнение можно упростить с помощью некоторой алгебры и первое уравнение до следующего:

${ displaystyle { frac { partial f_ {i} ^ { text {eq}}} { partial t_ {2}}} + left (1 - { frac {1} {2 tau}} вправо) влево [{ frac { partial f_ {i} ^ {(1)}} { partial t_ {1}}} + { vec {e}} _ {i} nabla _ {1} f_ {i} ^ {(1)} right] = - { frac {f_ {i} ^ {(2)}} { tau}}.}.$

Применяя соотношения между функциями распределения частиц и макроскопическими свойствами сверху, получаем уравнения массы и импульса:

${ displaystyle { frac { partial rho} { partial t}} + набла cdot rho { vec {u}} = 0,}$

${ displaystyle { frac { partial rho { vec {u}}} { partial t}} + nabla cdot Pi = 0.}$

Тензор потока импульса ${ displaystyle Pi}$ имеет следующий вид:

${ displaystyle Pi _ {xy} = sum _ {i} { vec {e}} _ {ix} { vec {e}} _ {iy} left [f_ {i} ^ {eq} + left (1 - { frac {1} {2 tau}} right) f_ {i} ^ {(1)} right],}$

куда ${ displaystyle { vec {e}} _ {ix} { vec {e}} _ {iy}}$ это сокращение для квадрата суммы всех компонентов ${ displaystyle { vec {e}} _ {i}}$ (т.е. ${ displaystyle textstyle left ( sum _ {x} { vec {e}} _ {ix} right) ^ {2} = sum _ {x} sum _ {y} { vec {e }} _ {ix} { vec {e}} _ {iy}}$), а равновесное распределение частиц со вторым порядком, сравнимым с уравнением Навье – Стокса, имеет вид:

${ displaystyle f_ {i} ^ { text {eq}} = omega _ {i} rho left (1 + { frac {{ vec {e}} _ {i} { vec {u}) }} {c_ {s} ^ {2}}} + { frac {({ vec {e}} _ {i} { vec {u}}) ^ {2}} {2c_ {s} ^ { 4}}} - { frac {{ vec {u}} ^ {2}} {2c_ {s} ^ {2}}} right).}$

Равновесное распределение справедливо только для малых скоростей или малых скоростей. Числа Маха. Подставление равновесного распределения обратно в тензор потока приводит к:

${ displaystyle Pi _ {xy} ^ {(0)} = sum _ {i} { vec {e}} _ {ix} { vec {e}} _ {iy} f_ {i} ^ { eq} = p delta _ {xy} + rho u_ {x} u_ {y},}$

${ displaystyle Pi _ {xy} ^ {(1)} = left (1 - { frac {1} {2 tau}} right) sum _ {i} { vec {e}} _ {ix} { vec {e}} _ {iy} f_ {i} ^ {(1)} = nu left ( nabla _ {x} left ( rho { vec {u}} _ { y} right) + nabla _ {y} left ( rho { vec {u}} _ {x} right) right).}$

Наконец, Уравнение Навье – Стокса восстанавливается в предположении, что изменение плотности мало:

${ displaystyle rho left ({ frac { partial { vec {u}} _ {x}} { partial t}} + nabla _ {y} cdot { vec {u}} _ { x} { vec {u}} _ {y} right) = - nabla _ {x} p + nu nabla _ {y} cdot left ( nabla _ {x} left ( rho { vec {u}} _ {y} right) + nabla _ {y} left ( rho { vec {u}} _ {x} right) right).}$

Этот вывод следует за работой Чена и Дулена.^[14]

Математические уравнения для моделирования

Непрерывное уравнение Больцмана - это уравнение эволюции для функции распределения вероятностей одной частицы ${ displaystyle f ({ vec {x}}, { vec {e}} _ {i}, t)}$ и функция распределения плотности внутренней энергии ${ displaystyle g ({ vec {x}}, { vec {e}} _ {i}, t)}$ (Он и др.) Соответственно:

${ displaystyle partial _ {t} е + ({ vec {e}} cdot nabla) f + F partial _ {v} f = Omega (f),}$

${ displaystyle partial _ {t} g + ({ vec {e}} cdot nabla) g + G partial _ {v} f = Omega (g),}$

куда ${ displaystyle g ({ vec {x}}, { vec {e}} _ {i}, t)}$ относится к ${ displaystyle f ({ vec {x}}, { vec {e}} _ {i}, t)}$ к

${ displaystyle g ({ vec {x}}, { vec {e}} _ {i}, t) = { frac {({ vec {e}} - { vec {u}}) ^ {2}} {2}} f ({ vec {x}}, { vec {e}} _ {i}, t),}$

${ displaystyle F}$ это внешняя сила, ${ displaystyle Omega}$ - интеграл столкновений, а ${ displaystyle { vec {e}}}$ (также отмечен ${ Displaystyle { vec { xi}}}$ в литературе) - микроскопическая скорость. Внешняя сила ${ displaystyle F}$ связано с температурой внешней силы ${ displaystyle G}$ по соотношению ниже. Типичный тест для своей модели - это Конвекция Рэлея-Бенара за ${ displaystyle G}$.

${ displaystyle F = { frac {{ vec {G}} cdot ({ vec {e}} - { vec {u}})} {RT}} f ^ { text {eq}}, }$

${ displaystyle { vec {G}} = beta g_ {0} (T-T_ {avg}) { vec {k}}.}$

Макроскопические переменные, такие как плотность ${ displaystyle rho}$, скорость ${ displaystyle { vec {u}}}$, и температура ${ displaystyle T}$ можно вычислить как моменты функции распределения плотности:

${ displaystyle rho = int е , d { vec {e}},}$

${ displaystyle rho { vec {u}} = int { vec {e}} f , d { vec {e}},}$

${ displaystyle { frac { rho DRT} {2}} = rho epsilon = int g , d { vec {e}}.}$

Решеточный метод Больцмана дискретизирует это уравнение, ограничивая пространство решеткой, а пространство скоростей - дискретным набором микроскопических скоростей (т. Е. ${ displaystyle { vec {e}} _ {i} = ({ vec {e}} _ {ix}, { vec {e}} _ {iy})}$). Микроскопические скорости в D2Q9, D3Q15 и D3Q19, например, представлены как:

${ displaystyle { vec {e}} _ {i} = c times { begin {case} (0,0) & i = 0 (1,0), (0,1), (- 1, 0), (0, -1) & i = 1,2,3,4 (1,1), (- 1,1), (- 1, -1), (1, -1) & i = 5 , 6,7,8 end {case}}}$

${ displaystyle { vec {e}} _ {i} = c times { begin {cases} (0,0,0) & i = 0 ( pm 1,0,0), (0, pm 1,0), (0,0, pm 1) & i = 1,2, ..., 5,6 ( pm 1, pm 1, pm 1) & i = 7,8 ,. .., 13,14 end {case}}}$

${ displaystyle { vec {e}} _ {i} = c times { begin {cases} (0,0,0) & i = 0 ( pm 1,0,0), (0, pm 1,0), (0,0, pm 1) & i = 1,2, ..., 5,6 ( pm 1, pm 1,0), ( pm 1,0, pm 1), (0, pm 1, pm 1) & i = 7,8, ..., 17,18 end {case}}}$

Однофазное дискретизированное уравнение Больцмана для плотности массы и плотности внутренней энергии:

${ displaystyle f_ {i} ({ vec {x}} + { vec {e}} _ {i} delta _ {t}, t + delta _ {t}) - f_ {i} ({ vec {x}}, t) + F_ {i} = Omega (f),}$

${ displaystyle g_ {i} ({ vec {x}} + { vec {e}} _ {i} delta _ {t}, t + delta _ {t}) - g_ {i} ({ vec {x}}, t) + G_ {i} = Omega (g).}$

Оператор столкновения часто аппроксимируется оператором столкновения БГК при условии, что он также удовлетворяет законам сохранения:

${ displaystyle Omega (f) = { frac {1} { tau _ {f}}} (f_ {i} ^ { text {eq}} - f_ {i}),}$

${ displaystyle Omega (g) = { frac {1} { tau _ {g}}} (g_ {i} ^ { text {eq}} - g_ {i}).}$

В столкновении оператор ${ displaystyle f_ {i} ^ { text {eq}}}$ дискретный, функция распределения вероятностей равновесных частиц^{[уточнить ]}. В D2Q9 и D3Q19 это показано ниже для несжимаемого потока в непрерывной и дискретной форме, где D, р, и Т - размерность, универсальная газовая постоянная и абсолютная температура соответственно. Частный вывод для непрерывной или дискретной формы обеспечивается простым выводом до второго порядка точности.

${ displaystyle f ^ { text {eq}} = { frac { rho} {(2 pi RT) ^ {D / 2}}} e ^ {- { frac {({ vec {e}) } - { vec {u}}) ^ {2}} {2RT}}}}$

${ displaystyle = { frac { rho} {(2 pi RT) ^ {D / 2}}} e ^ {- { frac {({ vec {e}}) ^ {2}} {2RT }}} e ^ {{ frac {{ vec {e}} { vec {u}}} {RT}} - { frac {{ vec {u}} ^ {2}} {2RT}} }}$

${ displaystyle = { frac { rho} {(2 pi RT) ^ {D / 2}}} e ^ {- { frac {({ vec {e}}) ^ {2}} {2RT }}} left (1 + { frac {{ vec {e}} { vec {u}}} {RT}} + { frac {({ vec {e}} { vec {u}) }) ^ {2}} {2 (RT) ^ {2}}} - { frac {{ vec {u}} ^ {2}} {2RT}} + ... right)}$

Сдача ${ displaystyle c = { sqrt {3RT}}}$ дает окончательный результат:

${ displaystyle f_ {i} ^ {eq} = omega _ {i} rho left (1 + { frac {3 { vec {e}} _ {i} { vec {u}}} { c ^ {2}}} + { frac {9 ({ vec {e}} _ {i} { vec {u}}) ^ {2}} {2c ^ {4}}} - { frac {3 ({ vec {u}}) ^ {2}} {2c ^ {2}}} right)}$

${ displaystyle g ^ {eq} = { frac { rho ({ vec {e}} - { vec {u}}) ^ {2}} {2 (2 pi RT) ^ {D / 2 }}} e ^ {- { frac {({ vec {e}} - { vec {u}}) ^ {2}} {2RT}}}}$

${ displaystyle omega _ {i} = { begin {case} 4/9 & i = 0 1/9 & i = 1,2,3,4 1/36 & i = 5,6,7,8 конец {case}}}$

${ displaystyle omega _ {i} = { begin {cases} 1/3 & i = 0 1/18 & i = 1,2, ..., 5,6 1/36 & i = 7,8, .. ., 17,18 end {case}}}$

Поскольку над однокомпонентным потоком уже проделано много работы, будет обсуждаться следующая TLBM. Многокомпонентный / многофазный TLBM также более интересен и полезен, чем просто один компонент. Чтобы соответствовать текущим исследованиям, определите набор всех компонентов системы (то есть стенки из пористой среды, несколько жидкостей / газов и т. Д.) ${ displaystyle Psi}$ с элементами ${ displaystyle sigma _ {j}}$.

${ displaystyle f_ {i} ^ { sigma} ({ vec {x}} + { vec {e}} _ {i} delta _ {t}, t + delta _ {t}) - f_ { i} ^ { sigma} ({ vec {x}}, t) + F_ {i} = { frac {1} { tau _ {f} ^ { sigma}}} (f_ {i} ^ { sigma, eq} ( rho ^ { sigma}, v ^ { sigma}) - f_ {i} ^ { sigma})}$

Параметр релаксации,${ Displaystyle тау _ {е} ^ { sigma _ {j}} , !}$, относится к кинематическая вязкость,${ displaystyle nu _ {f} ^ { sigma _ {j}} , !}$, следующим соотношением:

${ displaystyle nu _ {f} ^ { sigma _ {j}} = ( tau _ {f} ^ { sigma _ {j}} - 0,5) c_ {s} ^ {2} delta _ { t}.}$

В моменты из ${ displaystyle f_ {i} , !}$ дают местные сохраняемые количества. Плотность определяется как

${ displaystyle rho = sum _ { sigma} sum _ {i} f_ {i} , !}$

${ displaystyle rho epsilon = sum _ {i} g_ {i} , !}$

${ displaystyle rho ^ { sigma} = sum _ {i} f_ {i} ^ { sigma} , !}$

и средневзвешенная скорость, ${ displaystyle { vec {u '}} , !}$, а локальный импульс даются

${ displaystyle { vec {u '}} = left ( sum _ { sigma} { frac { rho ^ { sigma} { vec {u ^ { sigma}}}} { tau _ {f} ^ { sigma}}} right) / left ( sum _ { sigma} { frac { rho ^ { sigma}} { tau _ {f} ^ { sigma}}} верно)}$

${ displaystyle rho ^ { sigma} { vec {u ^ { sigma}}} = sum _ {i} f_ {i} ^ { sigma} { vec {e}} _ {i}. }$

${ displaystyle v ^ { sigma} = { vec {u '}} + { frac { tau _ {f} ^ { sigma}} { rho ^ { sigma}}} { vec {F }} ^ { sigma}}$

В приведенном выше уравнении для равновесной скорости ${ Displaystyle v ^ { sigma} , !}$, то ${ Displaystyle { vec {F}} ^ { sigma} , !}$ термин - сила взаимодействия между компонентом и другими компонентами. Это все еще является предметом многочисленных дискуссий, поскольку обычно это параметр настройки, который определяет, как взаимодействуют жидкость-жидкость, жидкость-газ и т. Д. Франк и др. перечислить текущие модели для этого срока действия силы. Обычно используются следующие методы: хромодинамическая модель Ганстенсена, подход Свифта, основанный на свободной энергии как для систем жидкость / пар, так и для бинарных жидкостей, модель на основе межмолекулярного взаимодействия He, подход Инамуро и подход Ли и Линя.^[15]

Ниже приводится общее описание ${ Displaystyle { vec {F}} ^ { sigma} , !}$ по данным нескольких авторов.^[16][17]

${ displaystyle { vec {F}} ^ { sigma} = - psi ^ { sigma} ({ vec {x}}) sum _ { sigma _ {j}} H ^ { sigma sigma _ {j}} ({ vec {x}}, { vec {x}} ') sum _ {i} psi ^ { sigma _ {j}} ({ vec {x}} + { vec {e}} _ {i}) { vec {e}} _ {i} , !}$

${ displaystyle psi ({ vec {x}}) , !}$ эффективная масса и ${ Displaystyle Н ({ vec {x}}, { vec {x}} ') , !}$ - функция Грина, представляющая межчастичное взаимодействие с ${ displaystyle { vec {x}} ', !}$ как соседний участок. Удовлетворение ${ displaystyle H ({ vec {x}}, { vec {x}} ') = H ({ vec {x}}', { vec {x}}) , !}$ и где ${ Displaystyle Н ({ vec {x}}, { vec {x}} ')> 0 , !}$ представляет силы отталкивания. Для D2Q9 и D3Q19 это приводит к

${ displaystyle H ^ { sigma sigma _ {j}} ({ vec {x}}, { vec {x}} ') = { begin {case} h ^ { sigma sigma _ {j }} & left | { vec {x}} - { vec {x}} ' right | leq c 0 & left | { vec {x}} - { vec {x}}' right |> c end {case}}}$

${ displaystyle H ^ { sigma sigma _ {j}} ({ vec {x}}, { vec {x}} ') = { begin {case} h ^ { sigma sigma _ {j }} & left | { vec {x}} - { vec {x}} ' right | = c h ^ { sigma sigma _ {j}} / 2 & left | { vec { x}} - { vec {x}} ' right | = { sqrt {2c}} 0 & { text {иначе}} end {case}}}$

Эффективная масса, предложенная Шаном и Ченом, использует следующую эффективную массу для однокомпонентная, многофазная система. В уравнение состояния дается также при условии однокомпонентного и многофазного.

${ Displaystyle psi ({ vec {x}}) = psi ( rho ^ { sigma}) = rho _ {0} ^ { sigma} left [1-e ^ {(- rho ^ { sigma} / rho _ {0} ^ { sigma})} right] , !}$

${ displaystyle p = c_ {s} ^ {2} rho + c_ {0} h [ psi ({ vec {x}})] ^ {2} , !}$

Пока кажется, что ${ Displaystyle rho _ {0} ^ { sigma} , !}$ и ${ displaystyle h ^ { sigma sigma _ {j}} , !}$ являются бесплатными константами для настройки, но после подключения к системе уравнение состояния (EOS), они должны удовлетворять термодинамическим соотношениям в критической точке, так что ${ displaystyle ( partial P / partial { rho}) _ {T} = ( partial ^ {2} P / partial { rho ^ {2}}) _ {T} = 0 , ! }$ и ${ Displaystyle р = р_ {с} , !}$. Для EOS ${ displaystyle c_ {0} , !}$ составляет 3,0 для D2Q9 и D3Q19, а для D3Q15 - 10,0.^[18]

Позже это было показано Юань и Шефер.^[19] что эффективная массовая плотность должна быть изменена для более точного моделирования многофазного потока. Они сравнили Шань и Чен (SC), Карнахан-Скворец (C – S), Ван дер Ваальс (vdW), Редлих – Квонг (R – K), Редлих – Квонг Соаве (RKS) и Пенг – Робинсон (P– R) EOS. Их результаты показали, что SC EOS было недостаточным, и что C – S, P – R, R – K и RKS EOS более точны при моделировании многофазного потока одного компонента.

Для популярных изотермических методов Больцмана на решетке это единственные сохраняющиеся величины. Тепловые модели также экономят энергию и, следовательно, имеют дополнительное количество:

${ displaystyle rho theta + rho uu = sum _ {i} f_ {i} { vec {e}} _ {i} { vec {e}} _ {i}.}$

Приложения

За последние годы LBM зарекомендовала себя как мощный инструмент для решения задач разной длины и времени. Некоторые из приложений LBM включают:

• Потоки пористой среды
• Биомедицинские потоки
• Науки о Земле (Почвенная фильтрация).
• Энергетические науки (топливные элементы^[20]).

внешняя ссылка

• Метод LBM
• Энтропийный решеточный метод Больцмана (ELBM)
• dsfd.org: Веб-сайт серии ежегодных конференций DSFD (1986 - по настоящее время), на которых обсуждаются достижения в теории и применении решеточного метода Больцмана.
• Сайт ежегодной конференции ICMMES по решеточным методам Больцмана и их приложениям

дальнейшее чтение

• Дойч, Андреас; Сабина Дорманн (2004). Моделирование формирования биологического паттерна с помощью клеточного автомата. Birkhäuser Verlag. ISBN  978-0-8176-4281-5.
• Суччи, Сауро (2001). Решеточное уравнение Больцмана для гидродинамики и не только. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-850398-9.
• Вольф-Гладроу, Дитер (2000). Ячеистые автоматы на решетке и газе и решеточные модели Больцмана. Springer Verlag. ISBN  978-3-540-66973-9.
• Сукоп, Майкл С .; Дэниел Т. Торн младший (2007). Моделирование Больцмана на решетке: введение для геофизиков и инженеров. Springer. ISBN  978-3-540-27981-5.
• Цзянь Го Чжоу (2004). Решеточные методы Больцмана для течений мелкой воды. Springer. ISBN  978-3-540-40746-1.
• Хе Х., Чен С., Дулен Г. (1998). Новая тепловая модель решеточного метода Больцмана в пределе несжимаемости. Академическая пресса.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
• Guo, Z. L .; Шу, C (2013). Решеточный метод Больцмана и его приложения в технике. World Scientific Publishing.
• Huang, H .; M.C. Сукоп; X-Y. Лу (2015). Многофазные решеточные методы Больцмана: теория и применение.. Wiley-Blackwell. ISBN  978-1-118-97133-8.
• Крюгер, Т .; Kusumaatmaja, H .; Кузьмин А .; Shardt, O .; Silva, G .; Вигген, Э. М. (2017). Решеточный метод Больцмана: принципы и практика. Springer Verlag. ISBN  978-3-319-44647-9.

Примечания