Проблема Римана - Riemann problem

А Проблема Римана, названный в честь Бернхард Риманн, это конкретный проблема начального значения состоит из уравнение сохранения вместе с кусочно постоянные исходные данные, которые имеют один прерывность в интересующей области. Проблема Римана очень полезна для понимания таких уравнений, как Уравнения сохранения Эйлера потому что все свойства, такие как удары и волны разрежения, выглядят как характеристики в растворе. Он также дает точное решение некоторых сложных нелинейных уравнений, таких как Уравнения Эйлера.

В числовой анализ, Задачи Римана естественным образом возникают в методы конечных объемов для решения уравнений закона сохранения за счет дискретности сетки. Для этого он широко используется в вычислительная гидродинамика И в вычислительная магнитогидродинамика симуляции. В этих областях задачи Римана рассчитываются с использованием Решатели Римана.

Проблема Римана в линеаризованной газовой динамике

В качестве простого примера исследуем свойства одномерной задачи Римана в газовая динамика (Торо, Элеутерио Ф. (1999). Решатели Римана и численные методы для гидродинамики, стр. 44, пример 2.5)

Начальные условия даются

${displaystyle {egin {bmatrix} ho uend {bmatrix}} = {egin {bmatrix} ho _ {L} u_ {L} end {bmatrix}} {ext {for}} xleq 0qquad {ext {and}} qquad {egin {bmatrix} ho uend {bmatrix}} = {egin {bmatrix} ho _ {R} u_ {R} end {bmatrix}} {ext {for}} x> 0}$

куда Икс = 0 разделяет два разных состояния вместе с линеаризованными уравнениями газовой динамики (см. газовая динамика для вывода).

${displaystyle {egin {выравнивание} {frac {partial ho} {partial t}} + ho _ {0} {frac {partial u} {partial x}} & = 0 [8pt] {frac {partial u} {partial t}} + {frac {a ^ {2}} {ho _ {0}}} {frac {partial ho} {partial x}} & = 0end {выровнено}}}$

где без ограничения общности можно считать ${displaystyle ageq 0}$Теперь мы можем переписать приведенные выше уравнения в консервативной форме:

${displaystyle U_ {t} + Acdot U_ {x} = 0}$:

куда

${displaystyle U = {egin {bmatrix} ho uend {bmatrix}}, quad A = {egin {bmatrix} 0 & ho _ {0} {frac {a ^ {2}} {ho _ {0}}} & 0end { bmatrix}}}$

а индекс обозначает частную производную по соответствующей переменной (т.е. x или t).

В собственные значения системы являются характеристики системы${displaystyle lambda _ {1} = - a, lambda _ {2} = a}$. Они дают скорость распространения среды, включая скорость любого разрыва, которая в данном случае является скоростью звука. Соответствующие собственные векторы находятся

${displaystyle mathbf {e} ^ {(1)} = {egin {bmatrix} ho _ {0} - aend {bmatrix}}, quad mathbf {e} ^ {(2)} = {egin {bmatrix} ho _ {0} aend {bmatrix}}.}$

Разложив левое состояние ${displaystyle u_ {L}}$ в терминах собственных векторов, для некоторых ${displaystyle alpha _ {1}, alpha _ {2}}$

${displaystyle U_ {L} = {egin {bmatrix} ho _ {L} u_ {L} end {bmatrix}} = alpha _ {1} mathbf {e} ^ {(1)} + alpha _ {2} mathbf {e} ^ {(2)}.}$

Теперь мы можем решить ${displaystyle alpha _ {1}}$ и ${displaystyle alpha _ {2}}$:

${displaystyle {egin {align} alpha _ {1} & = {frac {aho _ {L} -ho _ {0} u_ {L}} {2aho _ {0}}} [8pt] alpha _ {2} & = {frac {aho _ {L} + ho _ {0} u_ {L}} {2aho _ {0}}} конец {выровнено}}}$

Аналогично

${displaystyle U_ {R} = {egin {bmatrix} ho _ {R} u_ {R} end {bmatrix}} = eta _ {1} mathbf {e} ^ {(1)} + eta _ {2} mathbf {е} ^ {(2)}}$

за

${displaystyle {egin {align} eta _ {1} & = {frac {aho _ {R} -ho _ {0} u_ {R}} {2aho _ {0}}} [8pt] eta _ {2} & = {frac {aho _ {R} + ho _ {0} u_ {R}} {2aho _ {0}}} конец {выровнено}}}$

Используя это, в области между двумя характеристиками ${displaystyle t = | x | / a}$, получаем окончательное постоянное решение:

${displaystyle U _ {*} = {egin {bmatrix} ho _ {*} u _ {*} end {bmatrix}} = eta _ {1} mathbf {e} ^ {(1)} + alpha _ {2} mathbf {e} ^ {(2)} = eta _ {1} {egin {bmatrix} ho _ {0} - aend {bmatrix}} + alpha _ {2} {egin {bmatrix} ho _ {0} aend {bmatrix}}}$

и (кусочно-постоянное) решение во всей области ${displaystyle t> 0}$:

${displaystyle U (t, x) = {egin {bmatrix} ho (t, x) u (t, x) end {bmatrix}} = {egin {cases} U_ {L}, & 0$

Хотя это простой пример, он все же показывает основные свойства. В частности, характеристики разбивают решение на три области. Скорость распространения этих двух уравнений эквивалентна скорости распространения звука.

Самая быстрая характеристика определяет Курант – Фридрихс – Леви (CFL), которое устанавливает ограничение на максимальный временной шаг в компьютерном моделировании. Как правило, чем больше используется уравнения сохранения, тем больше характеристик задействуется.

Рекомендации

• Торо, Элеутерио Ф. (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики. Берлин: Springer Verlag. ISBN  3-540-65966-8.
• Левек, Рэндалл Дж. (2004). Методы конечных объемов для гиперболических задач. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-81087-6.

Смотрите также

• Вычислительная гидродинамика
• Вычислительная магнитогидродинамика
• Решатель Римана