Уравнения Эйлера (гидродинамика) - Euler equations (fluid dynamics)

Обтеките крыло. Этот несжимаемый поток удовлетворяет уравнениям Эйлера.

В динамика жидкостей, то Уравнения Эйлера представляют собой набор квазилинейный гиперболические уравнения управляющий адиабатический и невязкий поток. Они названы в честь Леонард Эйлер. Уравнения представляют Уравнения Коши сохранения массы (непрерывности) и баланса импульса и энергии, и может рассматриваться как особый Уравнения Навье – Стокса с нуля вязкость и ноль теплопроводность.^[1] Фактически, уравнения Эйлера могут быть получены линеаризацией более точных уравнения неразрывности любить Уравнения Навье – Стокса в состоянии локального равновесия, заданном Максвелловский. Уравнения Эйлера применимы к несжимаемый и чтобы сжимаемый поток - предполагая скорость потока это соленоидальное поле, или используя другое подходящее уравнение энергии соответственно (простейшей формой для уравнений Эйлера является сохранение удельная энтропия ). Исторически Эйлер выводил только уравнения несжимаемой жидкости. Однако в литературе по гидродинамике полный набор, включая уравнение энергии, более общих уравнений сжимаемости часто называют «уравнениями Эйлера».^[2]

С математической точки зрения уравнения Эйлера особенно гиперболичны. уравнения сохранения в случае отсутствия внешнего поля (т.е. в пределе высоких Число Фруда ). Фактически, как и любое уравнение Коши, уравнения Эйлера изначально сформулированы в конвективной форме (также называемой "Лагранжева форма ") также можно поместить в" форму сохранения "(также называемую"Эйлерова форма Форма сохранения подчеркивает математическую интерпретацию уравнений как уравнений сохранения через контрольный объем, закрепленный в пространстве, и является наиболее важной для этих уравнений также с числовой точки зрения. Конвективная форма подчеркивает изменения состояния в система отсчета движется с жидкостью.

История

Уравнения Эйлера впервые появились в опубликованной форме в статье Эйлера «Principes généraux du mouvement des fluides», опубликованной в Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin в 1757 г. (в этой статье Эйлер фактически опубликовал только Общее форма уравнения неразрывности и уравнения количества движения;^[3] уравнение баланса энергии будет получено столетием позже). Они были среди первых уравнения в частных производных быть записанным. В то время, когда Эйлер опубликовал свою работу, система уравнений состояла из уравнений количества движения и неразрывности и поэтому была недоопределена, за исключением случая несжимаемой жидкости. Дополнительное уравнение, которое позже было названо адиабатическое состояние, был предоставлен Пьер-Симон Лаплас в 1816 г.

Во второй половине XIX века было обнаружено, что уравнение, связанное с балансом энергии, должно всегда соблюдаться, в то время как адиабатическое состояние является следствием основных законов в случае гладких решений. С открытием специальная теория относительности, понятия плотности энергии, плотности импульса и напряжения были объединены в понятие тензор энергии-импульса, энергия и импульс также были объединены в единую концепцию, вектор энергии-импульса^[4]

Несжимаемые уравнения Эйлера с постоянной и однородной плотностью

В конвективной форме (т.е. форме с конвективный оператор прямо в уравнение импульса ) несжимаемые уравнения Эйлера в случае постоянной плотности во времени и однородной в пространстве:^[5]

где:

• ${ displaystyle mathbf {u}}$ это скорость потока вектор, с компонентами в N-мерное пространство ${ displaystyle u_ {1}, u_ {2}, dots, u_ {N}}$,
• ${ displaystyle {D mathbf {v} over Dt} = { partial mathbf {v} over partial t} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {v}}$, для общей функции (или поля) ${ displaystyle mathbf {v}}$ обозначает его материальная производная по времени относительно адвективного поля ${ displaystyle mathbf {u}}$ и
• ${ displaystyle nabla}$ обозначает градиент относительно пространства,
• ${ displaystyle cdot}$ обозначает скалярное произведение,
• ${ displaystyle nabla}$ это оператор набла, здесь используется для обозначения конкретной термодинамической работы градиент (первое уравнение) и
• ${ Displaystyle набла cdot mathbf {u}}$ скорость потока расхождение (второе уравнение),
• ${ displaystyle w}$ является конкретным (в смысле на единицу массы) термодинамическая работа, внутренний исходный термин.
• ${ displaystyle mathbf {g}}$ представляет собой ускорения тела (на единицу массы) действующее на континуум, например сила тяжести, инерционные ускорения, электрическое поле ускорение и так далее.

Первое уравнение - это Уравнение импульса Эйлера с однородной плотностью (для этого уравнения она также не могла быть постоянной во времени). Расширяя материальная производная, уравнения становятся:

${ Displaystyle left {{ begin {align} { partial mathbf {u} over partial t} + ( mathbf {u} cdot nabla) mathbf {u} & = - nabla w + mathbf {g} nabla cdot mathbf {u} & = 0 end {align}} right.}$

Фактически для потока с однородной плотностью ${ displaystyle rho _ {0}}$ имеет место следующее тождество:

${ Displaystyle набла ш эквив набла влево ({ гидроразрыва {р} { ро _ {0}}} право) = { гидроразрыва {1} { ро _ {0}}} набла п }$

где ${ displaystyle p}$ механик давление. Второе уравнение - это несжимаемое ограничение, утверждая, что скорость потока равна соленоидальное поле (порядок уравнений не является причинным, но подчеркивает тот факт, что несжимаемая связь не является вырожденной формой уравнение неразрывности, а скорее уравнения энергии, как это станет ясно из дальнейшего). Примечательно, что уравнение неразрывности потребуется и в этом несжимаемом случае как дополнительное третье уравнение в случае изменения плотности во времени или различающиеся в пространстве. Например, при однородной плотности, но меняющейся во времени, уравнение неразрывности, добавляемое к вышеприведенному набору, будет соответствовать:

${ displaystyle { frac { partial rho} { partial t}} = 0}$

Так что случай постоянного и однородная плотность является единственной, не требующей уравнения неразрывности в качестве дополнительного уравнения независимо от наличия или отсутствия несжимаемой связи. Фактически, анализируемый случай несжимаемых уравнений Эйлера с постоянной и однородной плотностью представляет собой игрушечная модель содержит только два упрощенных уравнения, поэтому он идеально подходит для дидактических целей, даже если его физическая значимость ограничена.

Таким образом, приведенные выше уравнения представляют соответственно сохранение массы (1 скалярное уравнение) и импульс (1 векторное уравнение, содержащее ${ displaystyle N}$ скалярные компоненты, где ${ displaystyle N}$ - физическое измерение интересующего пространства). Скорость потока и давление - это так называемые физические переменные.^[1]

В системе координат, заданной ${ displaystyle left (x_ {1}, dots, x_ {N} right)}$ векторы скорости и внешней силы ${ displaystyle mathbf {u}}$ и ${ displaystyle mathbf {g}}$ есть компоненты ${ Displaystyle (и_ {1}, точки, и_ {N})}$ и ${ displaystyle left (g_ {1}, dots, g_ {N} right)}$соответственно. Тогда уравнения могут быть записаны в нижних индексах как:

Особенности${ displaystyle left {{ begin {align} { partial u_ {i} over partial t} + sum _ {j = 1} ^ {N} { partial left (u_ {i} u_ {j} + w delta _ {ij} right) over partial x_ {j}} & = g_ {i} sum _ {i = 1} ^ {N} { partial u_ {i} over partial x_ {i}} & = 0 end {align}} right.}$

где ${ displaystyle i}$ и ${ displaystyle j}$ нижние индексы обозначают N-мерные космические компоненты, и ${ displaystyle delta _ {ij}}$ это Дельта Кренекера. Использование Обозначения Эйнштейна (где сумма подразумевается повторяющимися индексами вместо сигма-обозначение ) также часто.

Свойства

Хотя Эйлер впервые представил эти уравнения в 1755 году, многие фундаментальные вопросы о них остаются без ответа.

В трех измерениях пространства, в некоторых упрощенных сценариях, уравнения Эйлера создают сингулярности. ^[6]

Гладкие решения свободных (в смысле без источника: g = 0) уравнений удовлетворяют закону сохранения удельной кинетической энергии:

${ Displaystyle { partial over partial t} left ({ frac {1} {2}} u ^ {2} right) + nabla cdot left (u ^ {2} mathbf {u } + w mathbf {I} right) = 0}$

В одномерном случае без источника (как градиента давления, так и внешней силы) уравнение импульса становится невязким Уравнение Бюргерса:

${ displaystyle { partial u over partial t} + u { partial u over partial x} = 0}$

Это модельное уравнение дает много понимания уравнений Эйлера.

Обезразмеривание

Чтобы уравнения были безразмерными, характерная длина ${ displaystyle r_ {0}}$, а характеристическая скорость ${ displaystyle u_ {0}}$, необходимо определить. Их следует выбирать так, чтобы все безразмерные переменные были первого порядка. Таким образом получаются следующие безразмерные переменные:

${ displaystyle { begin {align} u ^ {*} & Equiv { frac {u} {u_ {0}}}, [5pt] r ^ {*} и Equiv { frac {r} {r_ {0}}}, [5pt] t ^ {*} & Equiv { frac {u_ {0}} {r_ {0}}} t, [5pt] p ^ {*} & Equiv { frac {w} {u_ {0} ^ {2}}}, [5pt] nabla ^ {*} & Equiv r_ {0} nabla end {align}}}$

и поля единичный вектор:

${ displaystyle { hat { mathbf {g}}} Equiv { frac { mathbf {g}} {g}},}$

Подстановка этих обратных соотношений в уравнения Эйлера, определяющие Число Фруда, дает (без * в apix):

Уравнения Эйлера в пределе Фруда (без внешнего поля) называются свободными уравнениями и являются консервативными. Предел высоких чисел Фруда (низкое внешнее поле), таким образом, примечателен и может быть изучен с помощью теория возмущений.

Форма сохранения

Форма сохранения подчеркивает математические свойства уравнений Эйлера, и особенно сжатая форма часто является наиболее удобной для вычислительная гидродинамика симуляции. С точки зрения вычислений, использование сохраняемых переменных дает некоторые преимущества. Это порождает большой класс численных методов, называемых консервативными методами.^[1]

В свободные уравнения Эйлера консервативны, в том смысле, что они эквивалентны уравнению сохранения:

${ displaystyle { frac { partial mathbf {y}} { partial t}} + nabla cdot mathbf {F} = { mathbf {0}},}$

или просто в обозначениях Эйнштейна:

${ displaystyle { frac { partial y_ {j}} { partial t}} + { frac { partial f_ {ij}} { partial r_ {i}}} = 0_ {i},}$

где величина сохранения ${ displaystyle mathbf {y}}$ в данном случае вектор, а ${ displaystyle mathbf {F}}$ это поток матрица. Это можно просто доказать.

Наконец, уравнения Эйлера можно преобразовать в конкретное уравнение:

Пространственные размеры

Для некоторых задач, особенно когда они используются для анализа сжимаемого потока в воздуховоде или если поток является цилиндрическим или сферически симметричным, одномерные уравнения Эйлера являются полезным первым приближением. Как правило, уравнения Эйлера решаются с помощью Риман с метод характеристик. Это включает в себя поиск кривых на плоскости независимых переменных (т. Е. ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle t}$) вдоль которого уравнения в частных производных (PDE) вырождаются в обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Численные решения уравнений Эйлера во многом опираются на метод характеристик.

Несжимаемые уравнения Эйлера

В конвективной форме уравнения Эйлера для несжимаемой жидкости в случае переменной плотности в пространстве имеют вид:^[5]

где дополнительные переменные:

• ${ displaystyle rho}$ это жидкость плотность вещества,
• ${ displaystyle p}$ это давление, ${ Displaystyle р = ро ш}$.

Первое уравнение, которое является новым, - это несжимаемая уравнение неразрывности. Фактически, общее уравнение неразрывности будет выглядеть следующим образом:

${ Displaystyle { partial rho over partial t} + mathbf {u} cdot nabla rho + rho nabla cdot mathbf {u} = 0}$

но здесь последний член тождественно равен нулю для ограничения несжимаемости.

Форма сохранения

Несжимаемые уравнения Эйлера в пределе Фруда эквивалентны одному уравнению сохранения с сохраняющейся величиной и связанным потоком соответственно:

${ displaystyle { mathbf {y}} = { begin {pmatrix} rho rho mathbf {u} 0 end {pmatrix}}; qquad { mathbf {F}} = { begin {pmatrix} rho mathbf {u} rho mathbf {u} otimes mathbf {u} + p mathbf {I} mathbf {u} end {pmatrix}}.}$

Вот ${ displaystyle mathbf {y}}$ имеет длину ${ Displaystyle N + 2}$ и ${ displaystyle mathbf {F}}$ имеет размер ${ Displaystyle (N + 2) N}$.^[а] В общем случае (не только в пределе Фруда) уравнения Эйлера выражаются как:

${ displaystyle { frac { partial} { partial t}} { begin {pmatrix} rho rho mathbf {u} 0 end {pmatrix}} + nabla cdot { begin {pmatrix} rho mathbf {u} rho mathbf {u} otimes mathbf {u} + p mathbf {I} mathbf {u} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 0 rho mathbf {g} 0 end {pmatrix}}}$

Переменные сохранения

Переменные для уравнений в форме сохранения еще не оптимизированы. Фактически мы могли бы определить:

${ displaystyle { mathbf {y}} = { begin {pmatrix} rho mathbf {j} 0 end {pmatrix}}; qquad { mathbf {F}} = { begin { pmatrix} mathbf {j} { frac {1} { rho}} , mathbf {j} otimes mathbf {j} + p mathbf {I} { frac { mathbf { j}} { rho}} end {pmatrix}}.}$

где:

• ${ Displaystyle mathbf {j} = rho mathbf {u}}$ это импульс плотность, переменная сохранения.

где:

• ${ Displaystyle mathbf {F} = rho mathbf {g}}$ это плотность силы, сохраняющая переменная.

Уравнения Эйлера

В дифференциально-конвективной форме сжимаемые (и наиболее общие) уравнения Эйлера можно быстро записать с помощью материальная производная обозначение:

где дополнительные переменные здесь:

• ${ displaystyle e}$ это конкретный внутренняя энергия (внутренняя энергия на единицу массы).

Таким образом, приведенные выше уравнения представляют сохранение массы, импульс, и энергия: уравнение энергии, выраженное в переменной внутренней энергии, позволяет понять связь со случаем несжимаемой жидкости, но не в простейшей форме. плотность массы, скорость потока и давление - это так называемые конвективные переменные (или физические переменные, или лагранжевые переменные), в то время как плотность массы, плотность количества движения и плотность полной энергии являются так называемыми сохраняемые переменные (также называемые эйлеровыми или математическими переменными).^[1]

Если указать материальную производную, приведенные выше уравнения будут следующими:

${ displaystyle left {{ begin {align} { partial rho over partial t} + mathbf {u} cdot nabla rho + rho nabla cdot mathbf {u} & = 0 [1.2ex] { frac { partial mathbf {u}} { partial t}} + mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} + { frac { nabla p} { rho}} & = mathbf {g} [1.2ex] { partial e over partial t} + mathbf {u} cdot nabla e + { frac {p} { rho}} набла cdot mathbf {u} & = 0 end {align}} right.}$

Несжимаемое ограничение (пересмотрено)

Возвращаясь к случаю несжимаемой жидкости, теперь становится очевидным, что несжимаемое ограничение для первых случаев типична особая форма, действующая для несжимаемых течений уравнение энергии, а не массового уравнения. В частности, несжимаемая связь соответствует следующему очень простому уравнению энергии:

${ displaystyle {De over Dt} = 0}$

Таким образом для несжимаемой невязкой жидкости удельная внутренняя энергия постоянна вдоль линий потока, также в потоке, зависящем от времени. Давление в несжимаемом потоке действует как Множитель Лагранжа, являясь множителем несжимаемой связи в уравнении энергии, и, следовательно, в несжимаемых потоках он не имеет термодинамического смысла. Фактически термодинамика типична для сжимаемых течений и вырождается в несжимаемых.^[7]

Основываясь на уравнении сохранения массы, это уравнение можно записать в виде сохранения:

${ Displaystyle { partial rho e over partial t} + nabla cdot ( rho e mathbf {u}) = 0}$

Это означает, что для несжимаемого невязкого непроводящего потока выполняется уравнение неразрывности для внутренней энергии.

Сохранение энтальпии

Поскольку по определению удельная энтальпия равна:

${ displaystyle h = e + { frac {p} { rho}}}$

Материальная производная удельной внутренней энергии может быть выражена как:

${ displaystyle {De over Dt} = {Dh over Dt} - { frac {1} { rho}} left ({Dp over Dt} - { frac {p} { rho}} { D rho over Dt} right)}$

Тогда, подставляя уравнение импульса в это выражение, получаем:

${ displaystyle {De over Dt} = {Dh over Dt} - { frac {1} { rho}} left (p nabla cdot mathbf {u} + {Dp over Dt} right )}$

И, подставив последнее в уравнение энергии, можно получить, что выражение энтальпии для уравнения энергии Эйлера:

${ displaystyle {Dh over Dt} = { frac {1} { rho}} {Dp over Dt}}$

В системе отсчета, движущейся с невязким и непроводящим потоком, изменение энтальпии прямо соответствует изменению давления.

Термодинамика идеальных жидкостей

В термодинамика независимыми переменными являются удельный объем, а удельная энтропия, в то время удельная энергия это функция государства этих двух переменных.

Следовательно, для термодинамической жидкости уравнения Эйлера сжимаемой жидкости лучше всего записывать как:

где:

• ${ displaystyle v}$ это удельный объем
• ${ displaystyle mathbf {u}}$ - вектор скорости потока
• ${ displaystyle s}$ это удельная энтропия

В общем случае, а не только в случае несжимаемой жидкости, уравнение энергии означает, что для невязкой термодинамической жидкости удельная энтропия постоянна вдоль выкидные линии, также в потоке, зависящем от времени. Основываясь на уравнении сохранения массы, это уравнение можно записать в виде сохранения:^[8]

${ Displaystyle { partial rho s over partial t} + nabla cdot ( rho s mathbf {u}) = 0}$

это означает, что для невязкого непроводящего потока выполняется уравнение неразрывности для энтропии.

С другой стороны, две частные производные второго порядка от удельной внутренней энергии в уравнении импульса требуют задания основное уравнение состояния рассматриваемого материала, то есть удельной внутренней энергии как функции двух переменных удельного объема и удельной энтропии:

${ Displaystyle е = е (v, s)}$

В фундаментальный уравнение состояния содержит всю термодинамическую информацию о системе (Каллен, 1985),^[9] точно так же, как пара тепловой уравнение состояния вместе с калорийность уравнение состояния.

Форма сохранения

Уравнения Эйлера в пределе Фруда эквивалентны одному уравнению сохранения с сохраняющейся величиной и связанным потоком соответственно:

${ displaystyle { mathbf {y}} = { begin {pmatrix} rho mathbf {j} E ^ {t} end {pmatrix}}; qquad { mathbf {F}} = { begin {pmatrix} mathbf {j} { frac {1} { rho}} mathbf {j} otimes mathbf {j} + p mathbf {I} left (E ^ {t} + p right) { frac {1} { rho}} mathbf {j} end {pmatrix}}.}$

где:

• ${ Displaystyle mathbf {j} = rho mathbf {u}}$ это импульс плотность, переменная сохранения.
• ${ textstyle E ^ {t} = rho e + { frac {1} {2}} rho u ^ {2}}$ это полная энергия плотность (общая энергия на единицу объема).

Вот ${ displaystyle mathbf {y}}$ имеет длину N + 2 и ${ displaystyle mathbf {F}}$ имеет размер N (N + 2).^[b] В общем случае (не только в пределе Фруда) уравнения Эйлера выражаются как:

где:

• ${ Displaystyle mathbf {F} = rho mathbf {g}}$ это плотность силы, сохраняющая переменная.

Отметим, что уравнение Эйлера даже в консервативном (отсутствие внешнего поля, предел Фруда) имеет нет Инварианты Римана в общем.^[10] Требуются некоторые дополнительные предположения

Однако мы уже упоминали, что для термодинамической жидкости уравнение для полной плотности энергии эквивалентно уравнению сохранения:

${ Displaystyle { partial over partial t} ( rho s) + nabla cdot ( rho s mathbf {u}) = 0}$

Тогда уравнения сохранения в случае термодинамической жидкости проще выразить как:

где:

• ${ Displaystyle S = rho s}$ - плотность энтропии, термодинамическая переменная сохранения.

Другая возможная форма уравнения энергии, особенно полезная для изобарики, является:

${ displaystyle { frac { partial H ^ {t}} { partial t}} + nabla cdot left (H ^ {t} mathbf {u} right) = mathbf {u} cdot mathbf {f} - { frac { partial p} { partial t}}}$

где:

• ${ textstyle H ^ {t} = E ^ {t} + p = rho e + p + { frac {1} {2}} rho u ^ {2}}$ это общая энтальпия плотность.

Квазилинейная форма и характеристические уравнения

Расширение потоки может быть важной частью строительства числовые решатели, например, используя (приблизительный ) решения Проблема Римана. В регионах, где вектор состояния у изменяется плавно, уравнения в консервативной форме можно записать в квазилинейной форме:

${ displaystyle { frac { partial mathbf {y}} { partial t}} + mathbf {A} _ {i} { frac { partial mathbf {y}} { partial r_ {i} }} = { mathbf {0}}.}$

где ${ displaystyle mathbf {A} _ {i}}$ называются потоком Якобианцы определяется как матрицы:

${ displaystyle mathbf {A} _ {i} ( mathbf {y}) = { frac { partial mathbf {f} _ {i} ( mathbf {y})} { partial mathbf {y }}}.}$

Очевидно, что этот якобиан не существует в областях разрывов (например, контактных разрывов, ударных волн в невязких непроводящих потоках). Если поток якобианов ${ displaystyle mathbf {A} _ {i}}$ не являются функциями вектора состояния ${ displaystyle mathbf {y}}$, уравнения показывает линейный.

Характеристические уравнения

Сжимаемые уравнения Эйлера можно разделить на набор из N + 2 волна уравнения, описывающие звук в континууме Эйлера, если они выражаются в характеристические переменные вместо сохраняемых переменных.

Фактически тензор А является всегда диагонализуемый. Если собственные значения (случай уравнений Эйлера) все действительны, система определена гиперболический, а физически собственные значения представляют скорости распространения информации.^[11] Если они все различаются, система определяется строго гиперболический (будет доказано, что это случай одномерных уравнений Эйлера). Кроме того, диагонализация сжимаемого уравнения Эйлера проще, когда уравнение энергии выражается в переменной энтропии (то есть уравнениями для термодинамических жидкостей), чем в других переменных энергии. Это станет ясно при рассмотрении одномерного случая.

Если ${ displaystyle mathbf {p} _ {i}}$ это правый собственный вектор матрицы ${ displaystyle mathbf {A}}$ соответствующий собственное значение ${ displaystyle lambda _ {i}}$, построив матрица проекции:

${ displaystyle mathbf {P} = left [ mathbf {p} _ {1}, mathbf {p} _ {2}, ..., mathbf {p} _ {n} right]}$

Наконец-то можно найти характеристические переменные так как:

${ displaystyle mathbf {w} = mathbf {P} ^ {- 1} mathbf {y},}$

поскольку А постоянна, умножая исходное одномерное уравнение в потоково-якобианской форме на п⁻¹ дает характеристические уравнения:^[12]

${ displaystyle { frac { partial w_ {i}} { partial t}} + lambda _ {j} { frac { partial w_ {i}} { partial r_ {j}}} = 0_ { я}}$

Исходные уравнения были развязанный в N + 2 характеристических уравнения, каждое из которых описывает простую волну, причем собственными значениями являются скорости волны. Переменные ш_я называются характеристические переменные и являются подмножеством консервативных переменных. Наконец, решение задачи начального значения в терминах характеристических переменных оказывается очень простым. В одном пространственном измерении это:

${ displaystyle w_ {i} (x, t) = w_ {i} left (x- lambda _ {i} t, 0 right)}$

Затем решение в терминах исходных консервативных переменных получается путем обратного преобразования:

${ Displaystyle mathbf {y} = mathbf {P} mathbf {w},}$

это вычисление может быть выражено как линейная комбинация собственных векторов:

${ displaystyle mathbf {y} (x, t) = sum _ {i = 1} ^ {m} w_ {i} left (x- lambda _ {i} t, 0 right) mathbf { Пи},}$

Теперь становится очевидным, что характеристические переменные действуют как веса в линейной комбинации собственных векторов якобиана. Решение можно рассматривать как суперпозицию волн, каждая из которых переносится независимо без изменения формы. Каждый я-я волна имеет форму ш_яп_я и скорость распространения λ_я. Ниже мы покажем очень простой пример этой процедуры решения.

Волны в одномерной невязкой непроводящей термодинамической жидкости

Если рассматривать уравнения Эйлера для термодинамической жидкости с двумя дополнительными предположениями об одном пространственном измерении и свободном (без внешнего поля: г = 0) :

${ displaystyle left {{ begin {align} { partial v over partial t} + u { partial v over partial x} -v { partial u over partial x} & = 0 [1.2ex] { partial u over partial t} + u { partial u over partial x} -e_ {vv} v { partial v over partial x} -e_ {vs} v { partial s over partial x} & = 0 [1.2ex] { partial s over partial t} + u { partial s over partial x} & = 0 end {выровнено}} правильно.}$

Если определить вектор переменных:

${ Displaystyle mathbf {y} = { begin {pmatrix} v u s end {pmatrix}}}$

напоминая, что ${ displaystyle v}$ - удельный объем, ${ displaystyle u}$ скорость потока, ${ displaystyle s}$ удельной энтропии соответствующая матрица якобиана имеет вид:

${ displaystyle { mathbf {A}} = { begin {pmatrix} u & -v & 0 - e_ {vv} v & u & -e_ {vs} v 0 & 0 & u end {pmatrix}}.}$

Сначала нужно найти собственные значения этой матрицы, решив характеристическое уравнение:

${ Displaystyle Det ( mathbf {A} ( mathbf {y}) - lambda ( mathbf {y}) mathbf {I}) = 0}$

это явно:

${ displaystyle det { begin {bmatrix} u- lambda & -v & 0 - e_ {vv} v & u- lambda & -e_ {vs} v 0 & 0 & u- lambda end {bmatrix}} = 0 }$

Эта детерминант очень просто: самое быстрое вычисление начинается с последней строки, так как она имеет наибольшее количество нулевых элементов.

${ displaystyle (u- lambda) det { begin {bmatrix} u- lambda & -v - e_ {vv} v & u- lambda end {bmatrix}} = 0}$

Теперь вычислив определитель 2 × 2:

${ Displaystyle (и- лямбда) влево ((и- лямбда) ^ {2} -e_ {vv} v ^ {2} right) = 0}$

путем определения параметра:

${ Displaystyle а (v, s) эквив v { sqrt {e_ {vv}}}}$

или, что эквивалентно, в механических переменных, как:

${ Displaystyle а ( rho, p) экв { sqrt { partial p over partial rho}}}$

Этот параметр всегда действителен согласно второй закон термодинамики. На самом деле второй закон термодинамики можно выразить несколькими постулатами. Самым элементарным из них в математическом плане является утверждение о выпуклости основного уравнения состояния, т. Е. гессианская матрица удельной энергии, выраженной как функция удельного объема и удельной энтропии:

${ displaystyle { begin {pmatrix} e_ {vv} & e_ {vs} e_ {vs} & e_ {ss} end {pmatrix}}}$

определяется положительно. Это утверждение соответствует двум условиям:

${ displaystyle left {{ begin {align} e_ {vv} &> 0 [1.2ex] e_ {vv} e_ {ss} -e_ {vs} ^ {2} &> 0 end {выравнивается }}правильно.}$

Первое условие - это то, что обеспечивает параметр а определяется реальным.

В итоге получается характеристическое уравнение:

${ Displaystyle (и- лямбда) влево ((и- лямбда) ^ {2} -а ^ {2} вправо) = 0}$

У этого есть три реальных решения:

${ displaystyle lambda _ {1} (v, u, s) = ua (v, s) quad lambda _ {2} (u) = u, quad lambda _ {3} (v, u, s) = u + a (v, s)}$

Тогда матрица имеет три выделенных действительных собственных значения: одномерные уравнения Эйлера представляют собой строго гиперболическая система.

На этом этапе нужно определить три собственных вектора: каждый получается путем подстановки одного собственного значения в уравнение собственных значений и последующего его решения. Подставляя первое собственное значение λ₁ получается:

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & -v & 0 - e_ {vv} v & a & -e_ {vs} v 0 & 0 & a end {pmatrix}} { begin {pmatrix} v_ {1} u_ {1 } s_ {1} end {pmatrix}} = 0}$

На основе третьего уравнения, которое просто имеет решение s₁= 0, система сводится к:

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & -v - a ^ {2} / v & a end {pmatrix}} { begin {pmatrix} v_ {1} u_ {1} end {pmatrix}} = 0}$

Два уравнения, как обычно, являются избыточными, тогда собственный вектор определяется с помощью постоянной умножения. Выберем правильный собственный вектор:

${ Displaystyle mathbf {p} _ {1} = { begin {pmatrix} v a 0 end {pmatrix}}}$

Два других собственных вектора могут быть найдены аналогичной процедурой:

${ displaystyle mathbf {p} _ {2} = { begin {pmatrix} e_ {vs} 0 - left ({ frac {a} {v}} right) ^ {2} конец {pmatrix}}, qquad mathbf {p} _ {3} = { begin {pmatrix} v - a 0 end {pmatrix}}}$

Тогда матрицу проекции можно построить:

${ displaystyle mathbf {P} (v, u, s) = ( mathbf {p} _ {1}, mathbf {p} _ {2}, mathbf {p} _ {3}) = { begin {pmatrix} v & e_ {vs} & v a & 0 & -a 0 & - left ({ frac {a} {v}} right) ^ {2} & 0 end {pmatrix}}}$

Наконец становится очевидным, что реальный параметр а ранее определенная скорость распространения информации, характерной для гиперболической системы уравнений Эйлера, т.е. скорость волны. Остается показать, что скорость звука соответствует частному случаю изэнтропическое преобразование:

${ displaystyle a_ {s} Equiv { sqrt { left ({ partial p over partial rho} right) _ {s}}}}$

Сжимаемость и скорость звука

Скорость звука определяется как скорость волны изоэнтропического преобразования:

${ displaystyle a_ {s} ( rho, p) Equiv { sqrt { left ({ partial p over partial rho} right) _ {s}}}}$

по определению изоэнтропической сжимаемости:

${ Displaystyle K_ {s} ( rho, p) Equiv { frac {1} { rho}} left ({ partial p over partial rho} right) _ {s}}$

звуковая скорость всегда вычисляется как квадратный корень из отношения между изоэнтропической сжимаемостью и плотностью:

${ displaystyle a_ {s} Equiv { sqrt { frac {K_ {s}} { rho}}}}$

Идеальный газ

Скорость звука в идеальном газе зависит только от его температуры:

${ displaystyle a_ {s} (T) = { sqrt { gamma { frac {T} {m}}}}}$

Поскольку удельная энтальпия в идеальном газе пропорциональна его температуре:

${ displaystyle h = c_ {p} T = { frac { gamma} { gamma -1}} { frac {T} {m}}}$

скорость звука в идеальном газе также может зависеть только от его удельной энтальпии:

${ displaystyle a_ {s} (h) = { sqrt {( gamma -1) h}}}$

Теорема Бернулли для установившегося невязкого потока

Теорема Бернулли является прямым следствием уравнений Эйлера.

Несжимаемый падеж и форма Лэмба

В тождество с векторным исчислением из перекрестное произведение локона держит:

${ Displaystyle mathbf {v times} left ( mathbf { nabla times F} right) = nabla _ {F} left ( mathbf {v cdot F} right) - mathbf {v cdot nabla} mathbf {F} ,}$

где индекс Фейнмана ${ displaystyle nabla _ {F}}$ используется, что означает, что индексированный градиент действует только на множитель ${ displaystyle mathbf {F}}$.

ягненок в своей знаменитой классической книге «Гидродинамика» (1895 г.), которая все еще находится в печати, это тождество использовалось для изменения конвективного члена скорости потока во вращательной форме:^[13]

${ displaystyle mathbf {u} cdot nabla mathbf {u} = { frac {1} {2}} nabla left (u ^ {2} right) + ( nabla times mathbf { u}) times mathbf {u}}$

уравнение импульса Эйлера в форме Лэмба принимает следующий вид:

${ displaystyle { frac { partial mathbf {u}} { partial t}} + { frac {1} {2}} nabla left (u ^ {2} right) + ( nabla раз mathbf {u}) times mathbf {u} + { frac { nabla p} { rho}} = mathbf {g} = { frac { partial mathbf {u}} { partial t}} + { frac {1} {2}} nabla left (u ^ {2} right) - mathbf {u} times ( nabla times mathbf {u}) + { frac { nabla p} { rho}}}$

Теперь, исходя из другой идентичности:

${ displaystyle nabla left ({ frac {p} { rho}} right) = { frac { nabla p} { rho}} - { frac {p} { rho ^ {2} }} nabla rho}$

уравнение импульса Эйлера принимает форму, оптимальную для демонстрации Теорема Бернулли для установившихся потоков:

${ displaystyle nabla left ({ frac {1} {2}} u ^ {2} + { frac {p} { rho}} right) - mathbf {g} = - { frac { p} { rho ^ {2}}} nabla rho + mathbf {u} times ( nabla times mathbf {u}) - { frac { partial mathbf {u}} { partial t}}}$

Фактически, в случае внешнего консервативное поле, определив его потенциал φ:

${ displaystyle nabla left ({ frac {1} {2}} u ^ {2} + phi + { frac {p} { rho}} right) = - { frac {p} { rho ^ {2}}} nabla rho + mathbf {u} times ( nabla times mathbf {u}) - { frac { partial mathbf {u}} { partial t}} }$

В случае установившегося потока производная скорости потока по времени исчезает, поэтому уравнение количества движения принимает следующий вид:

${ displaystyle nabla left ({ frac {1} {2}} u ^ {2} + phi + { frac {p} { rho}} right) = - { frac {p} { rho ^ {2}}} nabla rho + mathbf {u} times ( nabla times mathbf {u})}$

И, проецируя уравнение количества движения на направление потока, т.е. рационализировать, перекрестное произведение исчезает, потому что его результат всегда перпендикулярен скорости:

${ displaystyle mathbf {u} cdot nabla left ({ frac {1} {2}} u ^ {2} + phi + { frac {p} { rho}} right) = - { гидроразрыва {p} { rho ^ {2}}} mathbf {u} cdot nabla rho}$

В случае установившейся несжимаемой жидкости массовое уравнение просто:

${ Displaystyle mathbf {u} cdot nabla rho = 0}$,

это закон сохранения массы для установившегося потока несжимаемой жидкости утверждает, что плотность вдоль линии тока постоянна. Тогда уравнение импульса Эйлера в стационарном случае несжимаемой жидкости принимает вид:

${ displaystyle mathbf {u} cdot nabla left ({ frac {1} {2}} u ^ {2} + phi + { frac {p} { rho}} right) = 0 }$

Удобство определения общая голова для невязкой жидкости поток теперь очевиден:

${ displaystyle b_ {l} Equiv { frac {1} {2}} u ^ {2} + phi + { frac {p} { rho}},}$

который можно просто записать как:

${ Displaystyle mathbf {u} cdot nabla b_ {l} = 0}$

Это, баланс количества движения для устойчивого невязкого и несжимаемого потока во внешнем консервативном поле утверждает, что полный напор вдоль линии тока постоянен.

Сжимаемый корпус

В наиболее общем стационарном (сжимаемом) случае массовое уравнение в форме сохранения имеет следующий вид:

${ Displaystyle набла cdot mathbf {J} = ро набла cdot mathbf {u} + mathbf {u} cdot nabla rho = 0}$ .

Следовательно, предыдущее выражение скорее

${ displaystyle mathbf {u} cdot nabla left ({ frac {1} {2}} u ^ {2} + phi + { frac {p} { rho}} right) = { гидроразрыва {p} { rho}} набла cdot mathbf {u}}$

Правая часть появляется в уравнении энергии в конвективной форме, которая в установившемся состоянии выглядит так:

${ displaystyle mathbf {u} cdot nabla e = - { frac {p} { rho}} nabla cdot mathbf {u}}$

Таким образом, уравнение энергии принимает следующий вид:

${ displaystyle mathbf {u} cdot nabla left (е + { frac {p} { rho}} + { frac {1} {2}} u ^ {2} + phi right) = 0,}$

так что внутренняя удельная энергия теперь присутствует в голове.

Поскольку потенциал внешнего поля обычно мал по сравнению с другими членами, последние удобно сгруппировать в полная энтальпия:

${ displaystyle h ^ {t} Equiv e + { frac {p} { rho}} + { frac {1} {2}} u ^ {2}}$

и Инвариант Бернулли для потока невязкого газа составляет:

${ Displaystyle b_ {g} Equiv h ^ {t} + phi = b_ {l} + e,}$

который можно записать как:

${ Displaystyle mathbf {u} cdot nabla b_ {g} = 0}$

Это, баланс энергии для устойчивого невязкого потока во внешнем консервативном поле утверждает, что сумма полной энтальпии и внешнего потенциала постоянна вдоль линии тока.

В обычном случае малого потенциального поля просто:

${ displaystyle mathbf {u} cdot nabla h ^ {t} sim 0}$

Форма Фридмана и форма Крокко

Подставив градиент давления градиентом энтропии и энтальпии, согласно первому закону термодинамики в форме энтальпии:

${ Displaystyle v nabla p = -T nabla s + nabla h}$

в конвективной форме уравнения импульса Эйлера получаем:

${ displaystyle { frac {D mathbf {u}} {Dt}} = T nabla , s- nabla , h}$

Фридман вывел это уравнение для частного случая идеальный газ и опубликовал его в 1922 году.^[14] Однако это уравнение является общим для невязкой непроводящей жидкости, и оно не подразумевает никакого уравнения состояния.

С другой стороны, подставляя энтальпийную форму первого закона термодинамики во вращательную форму уравнения импульса Эйлера, получаем:

${ displaystyle { frac { partial mathbf {u}} { partial t}} + { frac {1} {2}} nabla left (u ^ {2} right) + ( nabla раз mathbf {u}) times mathbf {u} + { frac { nabla p} { rho}} = mathbf {g}}$

и определив удельную общую энтальпию:

${ displaystyle h ^ {t} = h + { frac {1} {2}} u ^ {2}}$

один прибывает в Форма Crocco – Vazsonyi^[15] (Crocco, 1937) уравнения импульса Эйлера:

${ displaystyle { frac { partial mathbf {u}} { partial t}} + ( nabla times mathbf {u}) times mathbf {u} -T nabla s + nabla h ^ { t} = mathbf {g}}$

В стационарном случае две переменные энтропия и полная энтальпия особенно полезны, поскольку уравнения Эйлера могут быть преобразованы в форму Крокко:

${ displaystyle left {{ begin {align} mathbf {u} times nabla times mathbf {u} + T nabla s- nabla h ^ {t} & = mathbf {g} mathbf {u} cdot nabla s & = 0 mathbf {u} cdot nabla h ^ {t} & = 0 end {align}} right.}$

Наконец, если поток также изотермический:

${ Displaystyle Т набла s = набла (Ц)}$

путем определения конкретной суммы Свободная энергия Гиббса:

${ Displaystyle г ^ {т} эквив ч ^ {т} + Ц}$

Форма Крокко сводится к:

${ Displaystyle left {{ begin {align} mathbf {u} times nabla times mathbf {u} - nabla g ^ {t} & = mathbf {g} mathbf {u } cdot nabla g ^ {t} & = 0 end {align}} right.}$

Из этих соотношений можно сделать вывод, что удельная полная свободная энергия однородна в стационарном, безвихревом, изотермическом, изоэнтропическом невязком потоке.

Разрывы

Уравнения Эйлера: квазилинейный гиперболический уравнения и их общие решения волны. При определенных предположениях их можно упростить, что приведет к Уравнение Бюргерса. Подобно знакомому океану волны, волны, описываемые уравнениями Эйлера 'перерыв' и так называемые ударные волны формируются; это нелинейный эффект и представляет собой решение, которое становится многозначный. Физически это представляет собой нарушение предположений, которые привели к формулировке дифференциальных уравнений, и для извлечения дополнительной информации из уравнений мы должны вернуться к более фундаментальной интегральной форме. Потом, слабые решения формулируются путем работы «скачками» (разрывами) в величинах потока - плотности, скорости, давлении, энтропии - с использованием Уравнения Ренкина – Гюгонио. Физические величины редко бывают прерывистыми; в реальных потоках эти разрывы сглаживаются вязкость и по теплопередача. (Увидеть Уравнения Навье – Стокса )

Распространение ударной волны изучается - среди многих других областей - в аэродинамика и ракетный двигатель, где возникают достаточно быстрые потоки.

Чтобы правильно вычислить континуальные величины в разрывных зонах (например, ударных волнах или пограничных слоях) из местный формы^[c] (все указанные формы являются локальными формами, поскольку описываемые переменные типичны для одной точки рассматриваемого пространства, т.е. локальные переменные) уравнений Эйлера через методы конечных разностей как правило, для памяти компьютеров сейчас и в ближайшем будущем потребуется слишком много пространственных точек и временных шагов. В этих случаях обязательно избегать локальных форм уравнений сохранения, пропуская некоторые слабые формы, словно конечный том один.

Уравнения Ренкина – Гюгонио

Начиная с простейшего случая, рассмотрим стационарное уравнение свободного сохранения в форме сохранения в пространственной области:

${ Displaystyle набла cdot mathbf {F} = mathbf {0}}$

где вообще F - матрица потока. Интегрируя это локальное уравнение по фиксированному объему V_м, это становится:

${ displaystyle int _ {V_ {m}} nabla cdot mathbf {F} dV = mathbf {0}.}$

Затем, исходя из теорема расходимости, мы можем преобразовать этот интеграл в граничный интеграл потока:

${ displaystyle oint _ { partial V_ {m}} mathbf {F} ds = mathbf {0}.}$

Эта глобальная форма просто утверждает, что нет чистого потока сохраняющейся величины, проходящей через область в случае устойчивого и без источника. В 1D объем уменьшается до интервал, граница которого является его экстремумом, то теорема о расходимости сводится к основная теорема исчисления:

${ displaystyle int _ {x_ {m}} ^ {x_ {m + 1}} mathbf {F} left (x ' right) dx' = mathbf {0},}$

это просто конечно-разностное уравнение, известный как отношение скачка:

${ displaystyle Delta mathbf {F} = mathbf {0}.}$

Это можно сделать явным образом:

${ displaystyle mathbf {F} _ {m + 1} - mathbf {F} _ {m} = mathbf {0}}$

где используются следующие обозначения:

${ displaystyle mathbf {F} _ {m} = mathbf {F} (x_ {m}).}$

Или, если выполнить неопределенный интеграл:

${ displaystyle mathbf {F} - mathbf {F} _ {0} = mathbf {0}.}$

С другой стороны, временное уравнение сохранения:

${ displaystyle { partial y over partial t} + nabla cdot mathbf {F} = mathbf {0}}$

приводит к соотношению скачка:

${ displaystyle { frac {dx} {dt}} , Delta u = Delta mathbf {F}.}$

Для одномерных уравнений Эйлера переменные сохранения и поток являются векторами:

${ displaystyle mathbf {y} = { begin {pmatrix} { frac {1} {v}} j E ^ {t} end {pmatrix}},}$

${ Displaystyle mathbf {F} = { begin {pmatrix} j vj ^ {2} + p vj left (E ^ {t} + p right) end {pmatrix}},}$

где:

• ${ displaystyle v}$ - удельный объем,
• ${ displaystyle j}$ поток массы.

В одномерном случае соответствующие соотношения скачков, называемые Уравнения Ренкина – Гюгонио, являются: <^[16]

${ displaystyle left {{ begin {align} { frac {dx} {dt}} Delta left ({ frac {1} {v}} right) & = Delta j [1.2 пример] { frac {dx} {dt}} Delta j & = Delta left (vj ^ {2} + p right) [1.2ex] { frac {dx} {dt}} Delta E ^ {t} & = Delta left (jv left (E ^ {t} + p right) right) end {align}} right ..}$

В устойчивом одномерном случае это становится просто:

${ Displaystyle left {{ begin {выровнено} Delta j & = 0 [1.2ex] Delta left (vj ^ {2} + p right) & = 0 [1.2ex] Delta left (j left ({ frac {E ^ {t}} { rho}} + { frac {p} { rho}} right) right) right) & = 0 end {align}} правильно..}$

Благодаря уравнению разности масс уравнение разности энергий можно упростить без каких-либо ограничений:

${ Displaystyle left {{ begin {выровнено} Delta j & = 0 [1.2ex] Delta left (vj ^ {2} + p right) & = 0 [1.2ex] Delta h ^ {t} & = 0 end {align}} right.,}$

где ${ displaystyle h ^ {t}}$ - удельная полная энтальпия.

Обычно они выражаются в конвективных переменных:

${ Displaystyle left {{ begin {align} Delta j & = 0 [1.2ex] Delta left ({ frac {u ^ {2}} {v}} + p right) & = 0 [1.2ex] Delta left (e + { frac {1} {2}} u ^ {2} + pv right) & = 0 end {align}} right.,}$

где:

• ${ displaystyle u}$ скорость потока
• ${ displaystyle e}$ - удельная внутренняя энергия.

Уравнение энергии представляет собой интегральную форму Уравнение Бернулли в сжимаемом корпусе. Прежние уравнения массы и импульса путем подстановки приводят к уравнению Рэлея:

${ displaystyle { frac { Delta p} { Delta v}} = - { frac {u_ {0} ^ {2}} {v_ {0}}}.}$

Поскольку второй член является константой, уравнение Рэлея всегда описывает простой линия в плоскость объема давления не зависящие от какого-либо уравнения состояния, т.е. Линия Рэлея. Путем подстановки в уравнения Ренкина – Гюгонио это также можно сделать явным:

${ Displaystyle left {{ begin {align} rho u & = rho _ {0} u_ {0} [1.2ex] rho u ^ {2} + p & = rho _ {0} u_ {0} ^ {2} + p_ {0} [1.2ex] e + { frac {1} {2}} u ^ {2} + { frac {p} { rho}} & = e_ { 0} + { frac {1} {2}} u_ {0} ^ {2} + { frac {p_ {0}} { rho _ {0}}} end {align}} right .. }$

Можно также получить кинетическое уравнение и уравнение Гюгонио. Аналитические отрывки здесь для краткости не показаны.

Это соответственно:

${ displaystyle left {{ begin {align} u ^ {2} (v, p) & = u_ {0} ^ {2} + left (p-p_ {0} right) left (v_ {0} + v right) [1.2ex] e (v, p) & = e_ {0} + { frac {1} {2}} left (p + p_ {0} right) слева (v_ {0} -v right) end {выровнено}} right ..}$

Уравнение Гюгонио в сочетании с фундаментальным уравнением состояния материала:

${ Displaystyle е = е (v, p)}$

в общем случае описывает в плоскости объема давления кривую, проходящую при условиях (v₀, п₀), т.е. Кривая Гюгонио, форма которого сильно зависит от типа рассматриваемого материала.

Также принято определять Функция Гюгонио:^[17]

${ displaystyle { mathfrak {h}} (v, s) Equiv e (v, s) -e_ {0} + { frac {1} {2}} left (p (v, s) + p_ {0} right) left (v-v_ {0} right)}$

позволяя количественно определять отклонения от уравнения Гюгонио, аналогично предыдущему определению гидравлическая головка, полезный для отклонений от уравнения Бернулли.

Форма конечного объема

С другой стороны, интегрируя общее уравнение сохранения:

${ displaystyle { frac { partial mathbf {y}} { partial t}} + nabla cdot mathbf {F} = mathbf {s}}$