Инвариант Римана - Википедия - Riemann invariant

Инварианты Римана находятся математические преобразования сделано по системе уравнения сохранения чтобы облегчить их решение. Инварианты Римана постоянны вдоль характеристические кривые дифференциальных уравнений в частных производных, получивших название инвариантный. Впервые они были получены Бернхард Риманн в работе о плоских волнах в газовой динамике.^[1]

Математическая теория

Рассмотрим набор уравнения сохранения:

{ displaystyle l_ {i} left (A_ {ij} { frac { partial u_ {j}} { partial t}} + a_ {ij} { frac { partial u_ {j}} { partial x}} right) + l_ {j} b_ {j} = 0}

куда ${ displaystyle A_ {ij}}$ и ${ displaystyle a_ {ij}}$ являются элементы из матрицы ${ displaystyle mathbf {A}}$ и ${ Displaystyle mathbf {а}}$ куда ${ displaystyle l_ {i}}$ и ${ displaystyle b_ {i}}$ являются элементами векторов. Будет задан вопрос, можно ли переписать это уравнение на

{ displaystyle m_ {j} left ( beta { frac { partial u_ {j}} { partial t}} + alpha { frac { partial u_ {j}} { partial x}} справа) + l_ {j} b_ {j} = 0}

Для этого кривые будут введены в ${ Displaystyle (х, т)}$ самолет, определяемый векторное поле ${ Displaystyle ( альфа, бета)}$ . Термин в скобках будет переписан в виде полная производная куда ${ displaystyle x, t}$ параметризованы как ${ Displaystyle х = Икс ( eta), t = T ( eta)}$

{ displaystyle { frac {du_ {j}} {d eta}} = T '{ frac { partial u_ {j}} { partial t}} + X' { frac { partial u_ {j }} { partial x}}}

сравнивая последние два уравнения, находим

{ Displaystyle альфа = Икс '( эта), бета = Т' ( эта)}

что теперь можно записать на характерная форма

{ displaystyle m_ {j} { frac {du_ {j}} {d eta}} + l_ {j} b_ {j} = 0}

где у нас должны быть условия

{ displaystyle l_ {i} A_ {ij} = m_ {j} T '}

{ displaystyle l_ {i} a_ {ij} = m_ {j} X '}

куда ${ displaystyle m_ {j}}$ можно исключить, чтобы придать необходимое условие

{ displaystyle l_ {i} (A_ {ij} X'-a_ {ij} T ') = 0}

так что для нетрадиционное решение это определитель

{ displaystyle | A_ {ij} X'-a_ {ij} T '| = 0}

Для инвариантов Римана нас интересует случай, когда матрица ${ displaystyle mathbf {A}}$ является единичная матрица формировать

{ displaystyle { frac { partial u_ {j}} { partial t}} + a_ {ij} { frac { partial u_ {j}} { partial x}} = 0}

обратите внимание, это однородный из-за вектора ${ Displaystyle mathbf {п}}$ быть нулевым. В характерном виде система

{ displaystyle l_ {i} { frac {du_ {i}} {dt}} = 0}

с

{ displaystyle { frac {dx} {dt}} = lambda}

Где ${ displaystyle l}$ левый собственный вектор матрицы ${ displaystyle mathbf {A}}$ и ${ displaystyle lambda 's}$ это характерные скорости из собственные значения матрицы ${ displaystyle mathbf {A}}$ которые удовлетворяют

{ displaystyle | A- lambda delta _ {ij} | = 0}

Чтобы упростить эти характеристические уравнения мы можем сделать такие преобразования, что ${ displaystyle { frac {dr} {dt}} = l_ {i} { frac {du_ {i}} {dt}}}$

какие формы

{ displaystyle mu l_ {i} du_ {i} = dr}

An интегрирующий фактор ${ displaystyle mu}$ можно умножить, чтобы помочь интегрировать это. Итак, система теперь имеет характерный вид

{ displaystyle { frac {dr} {dt}} = 0}

на

{ displaystyle { frac {dx} {dt}} = lambda _ {i}}

что эквивалентно диагональная система^[2]

{ displaystyle r_ {t} ^ {k} + lambda _ {k} r_ {x} ^ {k} = 0,}

{ displaystyle k = 1, ..., N.}

Решение этой системы может быть дано обобщенным метод годографа.^[3]^[4]

Пример

Рассмотрим одномерный Уравнения Эйлера написано в терминах плотности ${ displaystyle rho}$ и скорость ${ displaystyle u}$ находятся

{ Displaystyle rho _ {t} + rho u_ {x} + u rho _ {x} = 0}

{ displaystyle u_ {t} + uu_ {x} + (c ^ {2} / rho) rho _ {x} = 0}

с ${ displaystyle c}$ будучи скорость звука вводится из-за предположения об изэнтропии. Запишите эту систему в матричной форме

{ displaystyle left ({ begin {matrix} rho u end {matrix}} right) _ {t} + left ({ begin {matrix} u & rho { frac {c ^ {2}} { rho}} & u end {matrix}} right) left ({ begin {matrix} rho u end {matrix}} right) _ {x} = left ({ begin {matrix} 0 0 end {matrix}} right)}

где матрица ${ Displaystyle mathbf {а}}$ из приведенного выше анализа необходимо найти собственные значения и собственные векторы. Оказывается, собственные значения удовлетворяют

{ displaystyle lambda ^ {2} -2u lambda + u ^ {2} -c ^ {2} = 0}

давать

{ displaystyle lambda = u pm c}

а собственные векторы оказываются равными

{ displaystyle left ({ begin {matrix} 1 { frac {c} { rho}} end {matrix}} right), left ({ begin {matrix} 1 - { frac {c} { rho}} end {matrix}} right)}

где инварианты Римана равны

{ displaystyle r_ {1} = J _ {+} = u + int { frac {c} { rho}} d rho,}

{ displaystyle r_ {2} = J _ {-} = u- int { frac {c} { rho}} d rho,}

( ${ displaystyle J _ {+}}$ и ${ displaystyle J _ {-}}$ широко используемые обозначения в газовая динамика ). Для идеального газа с постоянной удельной теплоемкостью существует соотношение ${ displaystyle c ^ {2} = { text {const}} , gamma rho ^ { gamma -1}}$ , куда ${ displaystyle gamma}$ это коэффициент удельной теплоемкости, чтобы задать инварианты Римана^[5]^[6]

{ displaystyle J _ {+} = u + { frac {2} { gamma -1}} c,}

{ displaystyle J _ {-} = u - { frac {2} { gamma -1}} c,}

дать уравнения

{ displaystyle { frac { partial J _ {+}} { partial t}} + (u + c) { frac { partial J _ {+}} { partial x}} = 0}

{ displaystyle { frac { partial J _ {-}} { partial t}} + (u-c) { frac { partial J _ {-}} { partial x}} = 0}

Другими словами,

{ displaystyle { begin {align} & dJ _ {+} = 0, , J _ {+} = { text {const}} quad { text {Вдоль}} , , C _ {+} ,: , { frac {dx} {dt}} = u + c, & dJ _ {-} = 0, , J _ {-} = { text {const}} quad { text {along}} , , C _ {-} ,: , { frac {dx} {dt}} = uc, end {align}}}

куда ${ displaystyle C _ {+}}$ и ${ displaystyle C _ {-}}$ - характеристические кривые. Это можно решить с помощью преобразование годографа. В годографической плоскости, если все характеристики сворачиваются в одну кривую, то получаем простые волны. Если матричная форма системы ПДЭ имеет вид