Интегрирующий фактор - Integrating factor

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса. используется для имитации воздушного потока вокруг препятствия.
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробный Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связанный / развязанный Точный Однородный  / Неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотический  / Экспоненциальная стабильность Скорость сходимости Серии / Комплексные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разница  (Крэнк – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта

В математика, интегрирующий фактор это функция который выбран, чтобы облегчить решение данного уравнения с участием дифференциалы. Обычно используется для решения обыкновенные дифференциальные уравнения, но также используется в многомерное исчисление при умножении на интегрирующий коэффициент позволяет неточная разница быть превращенным в точный дифференциал (который затем можно интегрировать, чтобы получить скалярное поле ). Это особенно полезно в термодинамика куда температура становится интегрирующим фактором, который делает энтропия точный дифференциал.

Использовать

Коэффициент интеграции - это любое выражение, на которое умножается дифференциальное уравнение для облегчения интегрирования. Например, нелинейное уравнение второго порядка

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = Ay ^ {2/3}}$

признает ${ displaystyle { tfrac {dy} {dt}}}$ как интегрирующий фактор:

${ displaystyle { frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} { frac {dy} {dt}} = Ay ^ {2/3} { frac {dy} {dt}} .}$

Чтобы интегрировать, обратите внимание, что обе части уравнения могут быть выражены как производные, если вернуться назад с Правило цепи:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} left ({ frac {1} {2}} left ({ frac {dy} {dt}} right) ^ {2} right) = { frac {d} {dt}} left (A { frac {3} {5}} y ^ {5/3} right).}$

Следовательно,

${ displaystyle left ({ frac {dy} {dt}} right) ^ {2} = { frac {6A} {5}} y ^ {5/3} + C_ {0}.}$

куда ${ displaystyle C_ {0}}$ является константой.

Эта форма может быть более полезной в зависимости от приложения. Выполнение разделение переменных дам

${ displaystyle int _ {y (0)} ^ {y (t)} { frac {dy} { sqrt {{ frac {6A} {5}} y ^ {5/3} + C_ {0 }}}} = t}$

Это скрытый решение, которое включает неэлементарный интеграл. Этот же метод используется для решения периода простого маятник.

Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Интегрирующие факторы полезны для решения обыкновенные дифференциальные уравнения что может быть выражено в форме

${ Displaystyle у '+ п (х) у = Q (х)}$

Основная идея - найти какую-нибудь функцию, скажем ${ Displaystyle М (х)}$, называемый «интегрирующим коэффициентом», который мы можем умножить с помощью нашего дифференциального уравнения, чтобы подвести левую часть под общую производную. Для канонического первого порядка линейное дифференциальное уравнение как показано выше, интегрирующий коэффициент равен ${ Displaystyle е ^ { int P (x) dx}}$.

Обратите внимание, что нет необходимости включать произвольную константу в интеграл или абсолютные значения, если интеграл от ${ Displaystyle P (x)}$ включает в себя логарифм. Во-первых, нам нужен только один интегрирующий коэффициент для решения уравнения, а не все возможные; во-вторых, такие константы и абсолютные значения аннулируются, даже если они включены. Для абсолютных значений это можно увидеть, написав ${ Displaystyle | е (х) | = е (х) OperatorName {sgn} f (х)}$, куда ${ displaystyle operatorname {sgn}}$ относится к функция знака, который будет постоянным на интервале, если ${ displaystyle f (x)}$ непрерывно. В качестве ${ Displaystyle ln | е (х) |}$ не определено, когда ${ displaystyle f (x) = 0}$, а логарифм в первообразной появляется только тогда, когда исходная функция включает логарифм или обратную величину (ни один из которых не определен для 0), такой интервал будет интервалом действия нашего решения.

Чтобы вывести это, пусть ${ Displaystyle М (х)}$ - интегрирующий множитель линейного дифференциального уравнения первого порядка такого, что умножение на ${ Displaystyle М (х)}$ преобразует частную производную в полную производную, затем:

${ displaystyle { begin {align} (1) qquad {} & M (x) { underset { text {частная производная}} {( underbrace {y '+ P (x) y})}} (2) qquad {} & M (x) y '+ M (x) P (x) y (3) qquad {} & { underset { text {полная производная}} { underbrace {M ( x) y '+ M' (x) y}}} end {выровнено}}}$

Переход от шага 2 к шагу 3 требует, чтобы ${ Displaystyle М (х) Р (х) = М '(х)}$, который является разделимое дифференциальное уравнение, решение которого дает ${ Displaystyle М (х)}$ с точки зрения ${ Displaystyle P (x)}$:

${ Displaystyle { begin {align} (4) qquad & M (x) P (x) = M '(x) (5) qquad & P (x) = { frac {M' (x)} {M (x)}} (6) qquad & int P (x) dx = ln M (x) (7) qquad & e ^ { int P (x) dx} = M ( х) конец {выровнено}}}$

Чтобы проверить, умножая на ${ Displaystyle М (х)}$ дает

${ Displaystyle y'M (x) + P (x) yM (x) = Q (x) M (x)}$

Применяя правило продукта наоборот, мы видим, что левая часть может быть выражена как одна производная от ${ displaystyle x}$

${ Displaystyle y'M (x) + P (x) yM (x) = y'M (x) + yM '(x) = { frac {d} {dx}} (yM (x))}$

Мы используем этот факт, чтобы упростить наше выражение до

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left (yM (x) right) = Q (x) M (x)}$

Интегрируя обе стороны относительно ${ displaystyle x}$

${ Displaystyle ye ^ { int P (x) dx} = int Q (x) e ^ { int P (x) dx} dx + C}$

куда ${ displaystyle C}$ является константой.

Перемещая экспоненту в правую часть общего решения Обыкновенное дифференциальное уравнение является:

${ Displaystyle у = е ^ {- int P (x) dx} int Q (x) e ^ { int P (x) dx} dx + Ce ^ {- int P (x) dx}}$

В случае однородное дифференциальное уравнение, ${ Displaystyle Q (х) = 0}$ и общее решение обыкновенного дифференциального уравнения:

${ Displaystyle у = Ce ^ {- int P (x) dx}}$.

например, рассмотрим дифференциальное уравнение

${ displaystyle y '- { frac {2y} {x}} = 0.}$

Мы видим, что в этом случае ${ Displaystyle P (x) = { frac {-2} {x}}}$

${ Displaystyle М (х) = е ^ { int _ {1} ^ {x} P (x) dx}}$

${ Displaystyle M (x) = e ^ { int _ {1} ^ {x} { frac {-2} {x}} , dx} = e ^ {- 2 ln x} = {(e ^ { ln x})} ^ {- 2} = x ^ {- 2}}$

${ displaystyle M (x) = { frac {1} {x ^ {2}}}.}$

Умножая обе стороны на ${ Displaystyle М (х)}$ мы получаем

${ displaystyle { frac {y '} {x ^ {2}}} - { frac {2y} {x ^ {3}}} = 0}$

Вышеприведенное уравнение можно переписать как

${ displaystyle { frac {d (x ^ {- 2} y)} {dx}} = 0}$

Интегрируя обе части по x, получаем

${ displaystyle x ^ {- 2} y = C}$

или же

${ displaystyle y = Cx ^ {2}}$

Такого же результата можно добиться, используя следующий подход.

${ displaystyle { frac {y '} {x ^ {2}}} - { frac {2y} {x ^ {3}}} = 0}$

${ displaystyle { frac {y'x ^ {3} -2x ^ {2} y} {x ^ {5}}} = 0}$

${ displaystyle { frac {x (y'x ^ {2} -2xy)} {x ^ {5}}} = 0}$

${ displaystyle { frac {y'x ^ {2} -2xy} {x ^ {4}}} = 0.}$

Обращение вспять правило частного дает

${ displaystyle left ({ frac {y} {x ^ {2}}} right) '= 0}$

или же

${ displaystyle { frac {y} {x ^ {2}}} = C,}$

или же

${ displaystyle y = Cx ^ {2}.}$

куда ${ displaystyle C}$ является константой.

Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Метод интегрирования множителей для уравнений первого порядка можно естественным образом распространить и на уравнения второго порядка. Основной целью при решении уравнений первого порядка было найти интегрирующий множитель ${ Displaystyle М (х)}$ такое, что умножение ${ Displaystyle у '+ п (х) у = час (х)}$ этим уступил бы ${ Displaystyle (М (х) у) '= М (х) час (х)}$, после чего последующая интеграция и разделение на ${ Displaystyle М (х)}$ даст ${ displaystyle y}$. Для линейных дифференциальных уравнений второго порядка, если мы хотим ${ Displaystyle М (х) = е ^ { int p (x) dx}}$ работать как интегрирующий фактор, тогда

${ Displaystyle (M (x) y) '' = M (x) (y '' + 2p (x) y '+ (p (x) ^ {2} + p' (x)) y) = M ( х) ч (х)}$

Это означает, что уравнение второго порядка должно иметь именно такой вид ${ displaystyle y '' + 2p (x) y '+ (p (x) ^ {2} + p' (x)) y = h (x)}$ чтобы можно было использовать интегрирующий коэффициент.

Пример 1

Например, дифференциальное уравнение

${ displaystyle y '' + 2xy '+ (x ^ {2} +1) y = 0}$

может быть решена точно с помощью интегрирующих факторов. Соответствующий ${ displaystyle p (x)}$можно сделать вывод, исследуя ${ displaystyle y '}$ срок. В этом случае, ${ displaystyle 2p (x) = 2x}$, так ${ Displaystyle р (х) = х}$. После изучения ${ displaystyle y}$ термин, мы видим, что у нас действительно есть ${ Displaystyle р (х) ^ {2} + р '(х) = х ^ {2} +1}$, поэтому умножим все члены на интегрирующий коэффициент ${ Displaystyle е ^ { int xdx} = е ^ {х ^ {2} / 2}}$. Это дает нам

${ displaystyle e ^ {x ^ {2} / 2} y '' + 2e ^ {x ^ {2} / 2} p (x) y '+ e ^ {x ^ {2} / 2} (p ( х) ^ {2} + р '(х)) у = 0}$

который можно переставить, чтобы получить

${ Displaystyle (е ^ {х ^ {2} / 2} у) '' = 0}$

Интегрируем удвоенную доходность

${ displaystyle e ^ {x ^ {2} / 2} y = c_ {1} x + c_ {2}}$

Деление на интегрирующий коэффициент дает:

${ displaystyle y = { frac {c_ {1} x + c_ {2}} {e ^ {x ^ {2} / 2}}}}$

Пример 2

Несколько менее очевидное применение интегрирующих множителей второго порядка включает следующее дифференциальное уравнение:

${ Displaystyle у '' + 2 кроватка (х) у'-у = 1}$

На первый взгляд, это явно не в той форме, которая нужна для интегрирующих факторов второго порядка. У нас есть ${ displaystyle 2p (x)}$ срок перед ${ displaystyle y '}$ но нет ${ Displaystyle р (х) ^ {2} + р '(х)}$ перед ${ displaystyle y}$. Тем не мение,

${ Displaystyle p (x) ^ {2} + p '(x) = cot ^ {2} (x) - csc ^ {2} (x)}$

и из пифагорейского тождества, относящегося к котангенсу и косекансу,

${ displaystyle cot ^ {2} (x) - csc ^ {2} (x) = - 1}$

так что у нас действительно есть требуемый термин перед ${ displaystyle y}$ и может использовать интегрирующие факторы.

${ Displaystyle е ^ { int cot (x) dx} = e ^ { ln ( sin (x))} = sin (x)}$

Умножая каждый член на ${ Displaystyle грех (х)}$ дает

${ displaystyle sin (x) y '' + 2 cot (x) sin (x) y '- sin (x) y = sin (x)}$

который переставил

${ Displaystyle ( грех (х) у) '' = грех (х)}$

Двойное интегрирование дает

${ displaystyle sin (x) y = - sin (x) + c_ {1} x + c_ {2}}$

Наконец, деление на интегрирующий коэффициент дает

${ Displaystyle у = c_ {1} х csc (x) + c_ {2} csc (x) -1}$

Решение линейных дифференциальных уравнений n-го порядка

Интегрирующие коэффициенты можно расширить до любого порядка, хотя форма уравнения, необходимого для их применения, становится все более и более конкретной по мере увеличения порядка, что делает их менее полезными для порядков 3 и выше. Общая идея состоит в том, чтобы дифференцировать функцию ${ Displaystyle М (х) у}$ ${ displaystyle n}$ раз для ${ displaystyle n}$дифференциальное уравнение-го порядка и объединить похожие члены. Это даст уравнение в виде

${ Displaystyle М (х) F (у, у ', у' ', ... у ^ {(п)})}$

Если ${ displaystyle n}$уравнение порядка соответствует форме ${ Displaystyle F (у, у ', у' ', ... у ^ {(п)})}$ что получается после различения ${ displaystyle n}$ раз можно умножить все члены на интегрирующий коэффициент и проинтегрировать ${ Displaystyle ч (х) М (х)}$ ${ displaystyle n}$ раз, разделив на интегрирующий коэффициент с обеих сторон для достижения конечного результата.

Пример

Использование интегрирующих факторов третьего порядка дает

${ Displaystyle (M (x) y) '' '= M (x) (y' '' + 3p (x) y '' + (3p (x) ^ {2} + 3p '(x)) y' + (p (x) ^ {3} + 3p (x) p '(x) + p' '(x)) y}$

таким образом требуя, чтобы наше уравнение было в виде

${ displaystyle y '' '+ 3p (x) y' '+ (3p (x) ^ {2} + 3p' (x)) y '+ (p (x) ^ {3} + 3p (x) p '(x) + p' '(x)) y = h (x)}$

Например, в дифференциальном уравнении

${ displaystyle y '' '+ 3x ^ {2} y' '+ (3x ^ {4} + 6x) y' + (x ^ {6} + 6x ^ {3} +2) y = 0}$у нас есть ${ Displaystyle р (х) = х ^ {2}}$, поэтому наш интегрирующий коэффициент ${ Displaystyle е ^ {х ^ {3} / 3}}$. Перестановка дает

${ Displaystyle (е ^ {х ^ {3} / 3} у) '' '= 0}$

Трехкратное интегрирование и деление на интегрирующий коэффициент дает

${ displaystyle y = { frac {c_ {1} x ^ {2} + c_ {2} x + c_ {3}} {e ^ {x ^ {3} / 3}}}}$

Смотрите также

• Вариация параметров
• Дифференциальные уравнения
• Правило продукта
• Правило частного
• Точный дифференциал
• Матрица экспоненциальная

внешняя ссылка

• Мунхаммар, Иоаким, «Интегрирующий фактор», MathWorld.