Интегро-дифференциальное уравнение - Википедия - Integro-differential equation

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса. используется для имитации воздушного потока вокруг препятствия.
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связанный / развязанный Точный Однородный  / Неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотический  / Экспоненциальная стабильность Скорость сходимости Серии / Комплексные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разница  (Крэнк – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта

В математика, интегро-дифференциальное уравнение является уравнение это включает в себя как интегралы и производные из функция.

Общие линейные уравнения первого порядка

Общее линейное (только по отношению к члену, содержащему производную) интегро-дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

${ displaystyle { frac {d} {dx}} u (x) + int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t, u (t)) , dt = g (x, u ( x)), qquad u (x_ {0}) = u_ {0}, qquad x_ {0} geq 0.}$

Как это типично для дифференциальные уравнения, получение решения в закрытой форме часто бывает затруднительным. В относительно немногих случаях, когда решение может быть найдено, это часто происходит с помощью какого-либо интегрального преобразования, когда проблема сначала преобразуется в алгебраическую постановку. В таких ситуациях решение проблемы может быть получено путем применения обратного преобразования к решению этого алгебраического уравнения.

Пример

Рассмотрим следующую задачу второго порядка:

${ displaystyle u '(x) + 2u (x) +5 int _ {0} ^ {x} u (t) , dt = theta (x) qquad { text {with}} qquad u (0) = 0,}$

куда

${ displaystyle theta (x) = left {{ begin {array} {ll} 1, qquad x geq 0 0, qquad x <0 end {array}} right.}$

это Ступенчатая функция Хевисайда. В Преобразование Лапласа определяется как,

${ Displaystyle U (s) = { mathcal {L}} left {u (x) right } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- sx} u (x) , dx.}$

После почленного преобразования Лапласа и использования правил для производных и интегралов интегро-дифференциальное уравнение преобразуется в следующее алгебраическое уравнение:

${ displaystyle sU (s) -u (0) + 2U (s) + { frac {5} {s}} U (s) = { frac {1} {s}}.}$

Таким образом,

${ Displaystyle U (s) = { frac {1} {s ^ {2} + 2s + 5}}}$.

Обращение преобразования Лапласа с помощью контурные интегральные методы затем дает

${ Displaystyle и (х) = { гидроразрыва {1} {2}} е ^ {- х} грех (2х) тета (х)}$.

В качестве альтернативы можно завершить квадрат и используйте таблицу Преобразования Лапласа («экспоненциально затухающая синусоида») или вызовите из памяти, чтобы продолжить:

${ Displaystyle U (s) = { frac {1} {s ^ {2} + 2s + 5}} = { frac {1} {2}} { frac {2} {(s + 1) ^ {2} +4}} Rightarrow u (x) = { mathcal {L}} ^ {- 1} left {U (s) right } = { frac {1} {2}} e ^ {- х} sin (2x) theta (x)}$.

Приложения

Интегро-дифференциальные уравнения моделируют многие ситуации из наука и инженерное дело, например, при анализе цепей. К Второй закон Кирхгофа, чистое падение напряжения в замкнутом контуре равно приложенному напряжению ${ displaystyle E (t)}$. (По сути, это приложение для сохранения энергии.) Таким образом, цепь RLC подчиняется

${ displaystyle L { frac {d} {dt}} I (t) + RI (t) + { frac {1} {C}} int _ {0} ^ {t} I ( tau) d tau = E (t),}$

куда ${ Displaystyle I (т)}$ ток как функция времени, ${ displaystyle R}$ это сопротивление, ${ displaystyle L}$ индуктивность, и ${ displaystyle C}$ емкость.^[1]

Активность взаимодействия тормозящий и возбуждающий нейроны можно описать системой интегро-дифференциальных уравнений, см., например, Модель Уилсона-Коуэна.

Эпидемиология

Интегро-дифференциальные уравнения нашли применение в эпидемиология, математическое моделирование эпидемии, особенно когда модели содержат возрастная структура^[2] или описать пространственные эпидемии.^[3]

Смотрите также

• Дифференциальное уравнение задержки
• Дифференциальное уравнение
• Интегральное уравнение
• Уравнение интегроразличия

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Вангипурам Лакшмикантам, М. Рама Мохана Рао, «Теория интегродифференциальных уравнений. », CRC Press, 1995 г.

внешняя ссылка

• Интерактивная математика
• Численное решение примера с использованием Chebfun