Интегро-дифференциальное уравнение - Википедия - Integro-differential equation

В математика, интегро-дифференциальное уравнение является уравнение это включает в себя как интегралы и производные из функция.

Общие линейные уравнения первого порядка

Общее линейное (только по отношению к члену, содержащему производную) интегро-дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

Как это типично для дифференциальные уравнения, получение решения в закрытой форме часто бывает затруднительным. В относительно немногих случаях, когда решение может быть найдено, это часто происходит с помощью какого-либо интегрального преобразования, когда проблема сначала преобразуется в алгебраическую постановку. В таких ситуациях решение проблемы может быть получено путем применения обратного преобразования к решению этого алгебраического уравнения.

Пример

Рассмотрим следующую задачу второго порядка:

куда

это Ступенчатая функция Хевисайда. В Преобразование Лапласа определяется как,

После почленного преобразования Лапласа и использования правил для производных и интегралов интегро-дифференциальное уравнение преобразуется в следующее алгебраическое уравнение:

Таким образом,

.

Обращение преобразования Лапласа с помощью контурные интегральные методы затем дает

.

В качестве альтернативы можно завершить квадрат и используйте таблицу Преобразования Лапласа («экспоненциально затухающая синусоида») или вызовите из памяти, чтобы продолжить:

.

Приложения

Интегро-дифференциальные уравнения моделируют многие ситуации из наука и инженерное дело, например, при анализе цепей. К Второй закон Кирхгофа, чистое падение напряжения в замкнутом контуре равно приложенному напряжению . (По сути, это приложение для сохранения энергии.) Таким образом, цепь RLC подчиняется

куда ток как функция времени, это сопротивление, индуктивность, и емкость.[1]

Активность взаимодействия тормозящий и возбуждающий нейроны можно описать системой интегро-дифференциальных уравнений, см., например, Модель Уилсона-Коуэна.

Эпидемиология

Интегро-дифференциальные уравнения нашли применение в эпидемиология, математическое моделирование эпидемии, особенно когда модели содержат возрастная структура[2] или описать пространственные эпидемии.[3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Зилл, Деннис Г. и Уоррен С. Райт. «Раздел 7.4: Операционные свойства II». Дифференциальные уравнения с краевыми задачами., 8-е изд., Brooks / Cole Cengage Learning, 2013, стр. 305. ISBN  978-1-111-82706-9. Глава 7 посвящена преобразованию Лапласа.
  2. ^ Брауэр, Фред; ван ден Дрише, Полина; Ву, Цзяньхун, ред. (2008). «Математическая эпидемиология» (PDF). Конспект лекций по математике: 205–227. Дои:10.1007/978-3-540-78911-6. ISSN  0075-8434.
  3. ^ Medlock, янв (16 марта 2005 г.). «Модели интегро-дифференциального уравнения для инфекционных заболеваний» (PDF). Йельский университет.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка