Теорема существования Каратеодори - Википедия - Carathéodorys existence theorem

В математика, Теорема существования Каратеодори говорит, что обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение в относительно мягких условиях. Это обобщение Теорема существования Пеано. Теорема Пеано требует, чтобы правая часть дифференциального уравнения была непрерывной, тогда как теорема Каратеодори показывает существование решений (в более общем смысле) для некоторых разрывных уравнений. Теорема названа в честь Константин Каратеодори.

Вступление

Рассмотрим дифференциальное уравнение

{ Displaystyle у '(т) = е (т, у (т))}

с начальным условием

{ displaystyle y (t_ {0}) = y_ {0},}

где функция ƒ определена в прямоугольной области вида

{ Displaystyle R = {(t, y) in mathbf {R} times mathbf {R} ^ {n} ,: , | t-t_ {0} | leq a, | y- y_ {0} | leq b }.}

Теорема существования Пеано утверждает, что если является непрерывный, то дифференциальное уравнение имеет хотя бы одно решение в окрестности начального условия.^[1]

Однако можно также рассматривать дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, например уравнение

{ Displaystyle у '(т) = ЧАС (т), четырехъядерный у (0) = 0,}

куда ЧАС обозначает Функция Хевисайда определяется

{ displaystyle H (t) = { begin {cases} 0, & { text {if}} t leq 0; 1, & { text {if}} t> 0. end {cases} }}

Имеет смысл рассмотреть функция рампы

{ displaystyle y (t) = int _ {0} ^ {t} H (s) , mathrm {d} s = { begin {cases} 0, & { text {if}} t leq 0; t, & { text {if}} t> 0 end {case}}}

как решение дифференциального уравнения. Однако, строго говоря, он не удовлетворяет дифференциальному уравнению при ${ displaystyle t = 0}$ , потому что функция там не дифференцируема. Это предполагает, что идея решения должна быть расширена, чтобы учесть решения, которые не везде дифференцируемы, тем самым мотивируя следующее определение.

Функция у называется решение в расширенном смысле дифференциального уравнения ${ Displaystyle у '= е (т, у)}$ с начальным условием ${ Displaystyle у (т_ {0}) = у_ {0}}$ если у является абсолютно непрерывный, у удовлетворяет дифференциальному уравнению почти всюду и у удовлетворяет начальному условию.^[2] Абсолютная преемственность у означает, что его производная существует почти везде.^[3]

Формулировка теоремы

Рассмотрим дифференциальное уравнение

{ Displaystyle у '(т) = е (т, у (т)), четырехъядерный у (т_ {0}) = у_ {0},}

с ${ displaystyle f}$ определенная в прямоугольной области ${ Displaystyle R = {(t, y) , | , | t-t_ {0} | leq a, | y-y_ {0} | leq b }}$ . Если функция ${ displaystyle f}$ удовлетворяет следующим трем условиям:

${ Displaystyle f (т, у)}$ является непрерывный в ${ displaystyle y}$ для каждого фиксированного ${ displaystyle t}$ ,
${ Displaystyle f (т, у)}$ является измеримый в ${ displaystyle t}$ для каждого фиксированного ${ displaystyle y}$ ,
Существует Интегрируемый по Лебегу функция ${ displaystyle m: [t_ {0} -a, t_ {0} + a] to [0, infty)}$ такой, что ${ Displaystyle | е (т, у) | Leq м (т)}$ для всех ${ displaystyle (t, y) in R}$ ,

то дифференциальное уравнение имеет решение в расширенном смысле в окрестности начального условия.^[4]

Отображение ${ displaystyle f двоеточие R to mathbf {R} ^ {n}}$ считается, что удовлетворяет Условия Каратеодори на ${ displaystyle R}$ если он удовлетворяет условию теоремы.^[5]

Уникальность решения

Предположим, что отображение ${ displaystyle f}$ удовлетворяет условиям Каратеодори на ${ displaystyle R}$ и есть Интегрируемый по Лебегу функция ${ displaystyle k: [t_ {0} -a, t_ {0} + a] to [0, infty)}$ , так что

{ Displaystyle | е (t, y_ {1}) - f (t, y_ {2}) | leq k (t) | y_ {1} -y_ {2} |,}

для всех ${ displaystyle (t, y_ {1}) in R, (t, y_ {2}) in R.}$ Тогда существует единственное решение ${ Displaystyle у (т) = у (т, т_ {0}, у_ {0})}$ к задаче начального значения

{ displaystyle y '(t) = f (t, y (t)), quad y (t_ {0}) = y_ {0}.}

Более того, если отображение ${ displaystyle f}$ определяется на всем пространстве ${ displaystyle mathbf {R} times mathbf {R} ^ {n}}$ и если для любого начального условия ${ displaystyle (t_ {0}, y_ {0}) in mathbf {R} times mathbf {R} ^ {n}}$ существует компактная прямоугольная область ${ displaystyle R _ {(t_ {0}, y_ {0})} subset mathbf {R} times mathbf {R} ^ {n}}$ такое, что отображение ${ displaystyle f}$ удовлетворяет всем условиям сверху ${ displaystyle R _ {(t_ {0}, y_ {0})}}$ . Тогда домен ${ Displaystyle E подмножество mathbf {R} ^ {2 + n}}$ определения функции ${ Displaystyle у (т, т_ {0}, у_ {0})}$ открыт и ${ Displaystyle у (т, т_ {0}, у_ {0})}$ продолжается на ${ displaystyle E}$ .^[6]

Пример

Рассмотрим линейную начальную задачу вида

{ displaystyle y '(t) = A (t) y (t) + b (t), quad y (t_ {0}) = y_ {0}.}

Здесь компоненты матричнозначного отображения ${ Displaystyle А двоеточие mathbf {R} to mathbf {R} ^ {п раз п}}$ и неоднородности ${ Displaystyle б двоеточие mathbf {R} to mathbf {R} ^ {n}}$ считаются интегрируемыми на каждом конечном интервале. Тогда правая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условиям Каратеодори и существует единственное решение начальной задачи.^[7]