Линейное дифференциальное уравнение - Википедия - Linear differential equation

В математика, а линейное дифференциальное уравнение это дифференциальное уравнение что определяется линейный полином в неизвестной функции и ее производных, то есть уравнение формы

{ displaystyle a_ {0} (x) y + a_ {1} (x) y '+ a_ {2} (x) y' '+ cdots + a_ {n} (x) y ^ {(n)} + b (x) = 0,}

куда ${ Displaystyle а_ {0} (х)}$ , ..., ${ Displaystyle а_ {п} (х)}$ и ${ displaystyle b (x)}$ произвольны дифференцируемые функции которые не обязательно должны быть линейными, и ${ Displaystyle у ', ldots, у ^ {(п)}}$ - последовательные производные неизвестной функции $у$ переменной $Икс$ .

Это обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE). Линейное дифференциальное уравнение также может быть линейным уравнение в частных производных (PDE), если неизвестная функция зависит от нескольких переменных, а производные, которые появляются в уравнении, являются частные производные.

Линейное дифференциальное уравнение или система линейных уравнений, такие, что связанные однородные уравнения имеют постоянные коэффициенты, могут быть решены с помощью квадратура, что означает, что решения могут быть выражены через интегралы. Это также верно для линейного уравнения первого порядка с непостоянными коэффициентами. Уравнение второго порядка или выше с непостоянными коэффициентами, как правило, не может быть решено в квадратуре. Для второго заказа Алгоритм Ковачича позволяет решить, есть ли решения в терминах интегралов, и вычислить их, если они есть.

Решения линейных дифференциальных уравнений с многочлен коэффициенты называются голономные функции. Этот класс функций устойчив относительно сумм, произведений, дифференциация, интеграция, и содержит множество обычных функций и специальные функции Такие как экспоненциальная функция, логарифм, синус, косинус, обратные тригонометрические функции, функция ошибки, Функции Бесселя и гипергеометрические функции. Их представление определяющим дифференциальным уравнением и начальными условиями позволяет производить алгоритмически (над этими функциями) большинство операций исчисление, например, вычисление первообразные, пределы, асимптотическое разложение и числовая оценка с любой точностью с сертифицированной границей погрешности.

Основная терминология

Самый высокий порядок вывода которое появляется в дифференцируемом уравнении, является порядок уравнения. Период, термин $б (Икс)$ , не зависящую от неизвестной функции и ее производных, иногда называют постоянный срок уравнения (по аналогии с алгебраические уравнения ), даже если этот член является непостоянной функцией. Если постоянным членом является нулевая функция, то дифференциальное уравнение называется однородный, поскольку это однородный многочлен в неизвестной функции и ее производных. Уравнение, полученное заменой в линейном дифференциальном уравнении постоянного члена нулевой функцией, является связанное однородное уравнение. Дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты если только постоянные функции появляются как коэффициенты в соответствующем однородном уравнении.

А решение дифференциального уравнения является функцией, удовлетворяющей уравнению. Решения однородного линейного дифференциального уравнения образуют векторное пространство. В обычном случае это векторное пространство имеет конечную размерность, равную порядку уравнения. Все решения линейного дифференциального уравнения находятся путем добавления к частному решению любого решения связанного однородного уравнения.

Линейный дифференциальный оператор

А основной дифференциальный оператор порядка $я$ отображение, отображающее любое дифференцируемая функция к его $я$ th производная, или, в случае нескольких переменных, одной из частные производные порядка $я$ . Обычно обозначается

{ displaystyle { frac {d ^ {i}} {dx ^ {i}}}}

в случае одномерный функции и

{ displaystyle { frac { partial ^ {i_ {1} + cdots + i_ {n}}} { partial x_ {1} ^ {i_ {1}} cdots partial x_ {n} ^ {i_ {n}}}}}

в случае функций $п$ переменные. Основные дифференциальные операторы включают производную порядка 0, которая является тождественным отображением.

А линейный дифференциальный оператор (сокращенно в этой статье, как линейный оператор или просто оператор) это линейная комбинация основных дифференциальных операторов с дифференцируемыми функциями в качестве коэффициентов. Таким образом, в одномерном случае линейный оператор имеет вид^[1]

{ displaystyle a_ {0} (x) + a_ {1} (x) { frac {d} {dx}} + cdots + a_ {n} (x) { frac {d ^ {n}} { dx ^ {n}}},}

куда ${ Displaystyle а_ {0} (х), ldots, а_ {п} (х)}$ - дифференцируемые функции, а целое неотрицательное число $п$ это порядок оператора (если ${ Displaystyle а_ {п} (х)}$ это не нулевая функция ).

Позволять $L$ - линейный дифференциальный оператор. Применение $L$ к функции $ж$ обычно обозначается $Lf$ или же $Lf (Икс)$ , если нужно указать переменную (не путать с умножением). Линейный дифференциальный оператор - это линейный оператор, поскольку он отображает суммы в суммы, а произведение скаляр к произведению тем же скаляром.

Поскольку сумма двух линейных операторов является линейным оператором, а также произведением (слева) линейного оператора на дифференцируемую функцию, линейные дифференциальные операторы образуют векторное пространство над действительные числа или сложные числа (в зависимости от характера рассматриваемых функций). Они также образуют бесплатный модуль над звенеть дифференцируемых функций.

Язык операторов позволяет компактно записать дифференцируемые уравнения: если

{ Displaystyle L = a_ {0} (x) + a_ {1} (x) { frac {d} {dx}} + cdots + a_ {n} (x) { frac {d ^ {n} } {dx ^ {n}}},}

- линейный дифференциальный оператор, то уравнение

{ displaystyle a_ {0} (x) y + a_ {1} (x) y '+ a_ {2} (x) y' '+ cdots + a_ {n} (x) y ^ {(n)} = b (x)}

может быть переписан

{ displaystyle Ly = b (x).}

У этой записи может быть несколько вариантов; в частности, переменная дифференцирования может явно или не появляться в $у$ и правая часть уравнения, например ${ Displaystyle Ly (х) = Ь (х)}$ или же ${ displaystyle Ly = b}$

В ядро линейного дифференциального оператора является его ядро как линейное отображение, то есть векторное пространство решений (однородного) дифференциального уравнения ${ displaystyle Ly = 0}$ .

В случае обыкновенного дифференциального оператора порядка $п$ , Теорема существования Каратеодори означает, что в очень мягких условиях ядро $L$ векторное пространство размерности $п$ , и что решения уравнения ${ Displaystyle Ly (х) = Ь (х)}$ иметь форму

{ Displaystyle S_ {0} (х) + c_ {1} S_ {1} (x) + cdots + c_ {n} S_ {n} (x),}

куда ${ Displaystyle c_ {1}, ldots, c_ {n}}$ - произвольные числа. Обычно условия теоремы Каратеодори выполняются в интервале $я$ , если функции ${ displaystyle b, a_ {0}, ldots, a_ {n}}$ непрерывны в $я$ , и есть положительное действительное число $k$ такой, что ${ Displaystyle | а_ {п} (х) |> к}$ для каждого $Икс$ в $я$ .

Однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Однородное линейное дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты если он имеет форму

{ displaystyle a_ {0} y + a_ {1} y '+ a_ {2} y' '+ cdots + a_ {n} y ^ {(n)} = 0}

куда ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n}}$ являются (действительными или комплексными) числами. Другими словами, он имеет постоянные коэффициенты, если он определяется линейным оператором с постоянными коэффициентами.

Изучение этих дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами восходит к Леонард Эйлер, который представил экспоненциальная функция ${ displaystyle e ^ {x}}$ , являющееся единственным решением уравнения ${ displaystyle f '= f}$ такой, что ${ displaystyle f (0) = 1}$ . Отсюда следует, что $п$ -я производная от ${ displaystyle e ^ {cx}}$ является ${ displaystyle c ^ {n} e ^ {cx},}$ что позволяет довольно легко решать однородные линейные дифференциальные уравнения.

Позволять

{ displaystyle a_ {0} y + a_ {1} y '+ a_ {2} y' '+ cdots + a_ {n} y ^ {(n)} = 0}

- однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (т. е. ${ displaystyle a_ {0}, ldots, a_ {n}}$ являются действительными или комплексными числами).

Поиск решений этого уравнения, имеющих вид ${ Displaystyle е ^ { альфа х}}$ эквивалентно поиску констант ${ displaystyle alpha}$ такой, что

{ displaystyle a_ {0} e ^ { alpha x} + a_ {1} alpha e ^ { alpha x} + a_ {2} alpha ^ {2} e ^ { alpha x} + cdots + a_ {n} alpha ^ {n} e ^ { alpha x} = 0.}

Факторинг ${ Displaystyle е ^ { альфа х}}$ (который никогда не равен нулю), показывает, что ${ displaystyle alpha}$ должен быть корнем характеристический многочлен '

{ displaystyle a_ {0} + a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + cdots + a_ {n} t ^ {n}}

дифференциального уравнения, которое является левой частью характеристическое уравнение

{ displaystyle a_ {0} + a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + cdots + a_ {n} t ^ {n} = 0.}

Когда все эти корни отчетливый, надо $п$ различные решения, которые не обязательно являются действительными, даже если коэффициенты уравнения действительны. Эти решения могут быть показаны как линейно независимый, учитывая Определитель Вандермонда значений этих решений при $Икс = 0, ..., п - 1$ . Вместе они образуют основа из векторное пространство решений дифференциального уравнения (то есть ядро дифференциального оператора).

Пример

{ displaystyle y '' '' - 2y '' '+ 2y' '- 2y' + y = 0}

имеет характеристическое уравнение

{ displaystyle z ^ {4} -2z ^ {3} + 2z ^ {2} -2z + 1 = 0.}

Здесь есть нули, $я$ , $- я$ , и $1$ (кратность 2). Таким образом, основой решения является

{ displaystyle e ^ {ix}, ; e ^ {- ix}, ; e ^ {x}, ; xe ^ {x}.}

Таким образом, реальная основа решения

{ Displaystyle соз х, ; грех х, ; е ^ {х}, ; хе ^ {х}.}

В случае, когда характеристический многочлен имеет только простые корни, предыдущее обеспечивает полную основу векторного пространства решений. В случае множественные корни, необходимы более линейно независимые решения, чтобы иметь основу. Они имеют вид

{ Displaystyle х ^ {к} е ^ { альфа х},}

куда $k$ - целое неотрицательное число, ${ displaystyle alpha}$ является корнем характеристического многочлена кратности $м$ , и $k < м$ . Для доказательства того, что эти функции являются решениями, можно заметить, что если ${ displaystyle alpha}$ является корнем характеристического многочлена кратности $м$ , характеристический многочлен можно разложить на множители как ${ Displaystyle Р (т) (т- альфа) ^ {м}.}$ Таким образом, применение дифференциального оператора уравнения эквивалентно применению первого $м$ раз оператор ${ displaystyle { frac {d} {dx}} - alpha,}$ а затем оператор, имеющий $п$ как характеристический многочлен. Посредством теорема об экспоненциальном сдвиге,

{ displaystyle left ({ frac {d} {dx}} - alpha right) left (x ^ {k} e ^ { alpha x} right) = kx ^ {k-1} e ^ { alpha x},}

и, таким образом, после $k + 1$ применение ${ displaystyle { frac {d} {dx}} - alpha.}$

Поскольку, по мнению основная теорема алгебры, сумма кратностей корней многочлена равна степени многочлена, количество приведенных выше решений равно порядку дифференциального уравнения, и эти решения образуют основу векторного пространства решений.

В обычном случае, когда коэффициенты уравнения действительны, обычно удобнее иметь базис из решений, состоящий из действительные функции. Такую основу можно получить из предыдущего, отметив, что если $а + ib$ является корнем характеристического многочлена, то $а - ib$ также является корнем той же кратности. Таким образом, реальный базис получается при использовании Формула Эйлера и заменив ${ Displaystyle х ^ {к} е ^ {(а + ib) х}}$ и ${ displaystyle x ^ {k} e ^ {(a-ib) x}}$ к ${ Displaystyle х ^ {к} е ^ {ах} соз (Ьх)}$ и ${ displaystyle x ^ {k} e ^ {ax} sin (bx).}$

Случай второго порядка

Однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка можно записать

{ displaystyle y '' + ay '+ by = 0,}

и его характеристический многочлен

{ displaystyle r ^ {2} + ar + b.}

Если $а$ и $б$ находятся настоящий, существует три случая решений в зависимости от дискриминанта ${ displaystyle D = a ^ {2} -4b.}$ Во всех трех случаях общее решение зависит от двух произвольных постоянных ${ displaystyle c_ {1}}$ и ${ displaystyle c_ {2}}$ .

Если $D > 0$ , характеристический многочлен имеет два различных действительных корня ${ displaystyle alpha}$ , и ${ displaystyle beta}$ . В этом случае общее решение

{ displaystyle c_ {1} e ^ { alpha x} + c_ {2} e ^ { beta x}.}

Если $D = 0$ , характеристический многочлен имеет двойной корень ${ displaystyle -a / 2}$ , и общее решение

{ displaystyle (c_ {1} + c_ {2} x) e ^ {- ax / 2}.}

Если $D < 0$ , характеристический многочлен имеет два комплексно сопряженный корни ${ displaystyle alpha pm beta i}$ , и общее решение

{ displaystyle c_ {1} e ^ {( alpha + beta i) x} + c_ {2} e ^ {( alpha - beta i) x},}

который можно переписать в реальном выражении, используя Формула Эйлера в качестве

{ displaystyle e ^ { alpha x} (c_ {1} cos ( beta x) + c_ {2} sin ( beta x)).}

Поиск решения ${ Displaystyle у (х)}$ удовлетворение ${ Displaystyle у (0) = d_ {1}}$ и ${ displaystyle y '(0) = d_ {2},}$ значения приведенного выше общего решения приравниваются к $0$ и его производная там ${ displaystyle d_ {1}}$ и ${ displaystyle d_ {2},}$ соответственно. Это приводит к линейной системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными ${ displaystyle c_ {1}}$ и ${ displaystyle c_ {2}.}$ Решение этой системы дает решение для так называемого Задача Коши, в котором значения при $0$ для решения DEQ и его производной указаны.

Неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами

Неоднородное уравнение порядка $п$ с постоянными коэффициентами можно записать

{ displaystyle y ^ {(n)} (x) + a_ {1} y ^ {(n-1)} (x) + cdots + a_ {n-1} y '(x) + a_ {n} y (x) = f (x),}

куда ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n}}$ вещественные или комплексные числа, $ж$ заданная функция $Икс$ , и $у$ - неизвестная функция (для простоты " $(Икс)$ "будет опущено в дальнейшем).

Есть несколько методов решения такого уравнения. Лучший метод зависит от характера функции $ж$ что делает уравнение неоднородным. Если $ж$ является линейной комбинацией экспоненциальной и синусоидальной функций, то формула экспоненциального отклика может быть использовано. Если в более общем плане $ж$ линейная комбинация функций вида ${ displaystyle x ^ {n} e ^ {ax}}$ , ${ Displaystyle х ^ {п} соз {ах}}$ , и ${ Displaystyle х ^ {п} грех {топор}}$ , куда $п$ является целым неотрицательным числом, и $а$ константа (которая не обязательно должна быть одинаковой в каждом члене), тогда метод неопределенных коэффициентов может быть использовано. В более общем плане аннигиляторный метод применяется, когда $ж$ удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению, обычно голономная функция.

Самый общий метод - это вариация констант, который представлен здесь.

Общее решение связанного однородного уравнения

{ displaystyle y ^ {(n)} + a_ {1} y ^ {(n-1)} + cdots + a_ {n-1} y '+ a_ {n} y = 0}

является

{ displaystyle y = u_ {1} y_ {1} + cdots + u_ {n} y_ {n},}

куда ${ displaystyle (y_ {1}, ldots, y_ {n})}$ является базисом векторного пространства решений и ${ Displaystyle и_ {1}, ldots, и_ {п}}$ - произвольные постоянные. Метод изменения констант получил свое название от следующей идеи. Вместо того, чтобы рассматривать ${ Displaystyle и_ {1}, ldots, и_ {п}}$ как константы, их можно рассматривать как неизвестные функции, которые необходимо определить для $у$ решение неоднородного уравнения. Для этого добавляются ограничения

{ displaystyle 0 = u '_ {1} y_ {1} + u' _ {2} y_ {2} + cdots + u '_ {n} y_ {n}}

{ displaystyle 0 = u '_ {1} y' _ {1} + u '_ {2} y' _ {2} + cdots + u '_ {n} y' _ {n}}

{ displaystyle cdots}

{ displaystyle 0 = u '_ {1} y_ {1} ^ {(n-2)} + u' _ {2} y_ {2} ^ {(n-2)} + cdots + u '_ { n} y_ {n} ^ {(n-2)},}

что подразумевает (по правило продукта и индукция )

{ displaystyle y ^ {(i)} = u_ {1} y_ {1} ^ {(i)} + cdots + u_ {n} y_ {n} ^ {(i)}}

за $я = 1, ..., п - 1$ , и

{ displaystyle y ^ {(n)} = u_ {1} y_ {1} ^ {(n)} + cdots + u_ {n} y_ {n} ^ {(n)} + u '_ {1} y_ {1} ^ {(n-1)} + u '_ {2} y_ {2} ^ {(n-1)} + cdots + u' _ {n} y_ {n} ^ {(n- 1)}.}

Замена в исходном уравнении $у$ и его производных этими выражениями, и используя тот факт, что ${ displaystyle y_ {1}, ldots, y_ {n}}$ являются решениями исходного однородного уравнения, получаем

{ displaystyle f = u '_ {1} y_ {1} ^ {(n-1)} + cdots + u' _ {n} y_ {n} ^ {(n-1)}.}

Это уравнение и предыдущие с $0$ в качестве левой части образуют систему $п$ линейные уравнения в ${ displaystyle u '_ {1}, ldots, u' _ {n}}$ коэффициенты которых являются известными функциями ( $ж$ , то $у я$ , и их производные). Эта система может быть решена любым методом линейная алгебра. Расчет первообразные дает ${ displaystyle u_ {1}, ldots, u_ {n},}$ а потом ${ displaystyle y = u_ {1} y_ {1} + cdots + u_ {n} y_ {n}.}$

Поскольку первообразные определены с точностью до добавления константы, снова оказывается, что общее решение неоднородного уравнения является суммой произвольного решения и общего решения связанного однородного уравнения.

Уравнение первого порядка с переменными коэффициентами

Пример

Решение уравнения

{ displaystyle y '(x) + y (x) / x = 3x.}

Соответствующее однородное уравнение ${ Displaystyle у '(х) + у (х) / х = 0}$ дает

{ Displaystyle у '/ у = -1 / х,}

то есть

{ Displaystyle у = с / х.}

Разделив исходное уравнение на одно из этих решений, получим

{ displaystyle xy '+ y = 3x ^ {2}.}

То есть

{ Displaystyle (ху) '= 3x ^ {2},}

{ displaystyle xy = x ^ {3} + c,}

и

{ Displaystyle у (х) = х ^ {2} + с / х.}

Для начального состояния

{ Displaystyle у (1) = альфа,}

можно получить конкретное решение

{ displaystyle y (x) = x ^ {2} + { frac { alpha -1} {x}}.}

Общий вид линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка после деления коэффициента при ${ Displaystyle у '(х)}$ , является:

{ displaystyle y '(x) = f (x) y (x) + g (x).}

Если уравнение однородное, т.е. $грамм (Икс) = 0$ , можно переписать и интегрировать:

{ displaystyle { frac {y '} {y}} = f, qquad log y = k + F,}

куда $k$ произвольный постоянная интеграции и ${ displaystyle textstyle F = int f , dx}$ является первообразный из $ж$ . Таким образом, общее решение однородного уравнения есть

{ displaystyle y = ce ^ {F},}

куда ${ displaystyle c = e ^ {k}}$ - произвольная постоянная.

Для общего неоднородного уравнения его можно умножить на взаимный ${ displaystyle e ^ {- F}}$ решения однородного уравнения.^[2] Это дает

{ displaystyle y'e ^ {- F} -yfe ^ {- F} = ge ^ {- F}.}

В качестве ${ displaystyle -fe ^ {- F} = { tfrac {d} {dx}} left (e ^ {- F} right),}$ в правило продукта позволяет переписать уравнение в виде

{ displaystyle { frac {d} {dx}} left (ye ^ {- F} right) = ge ^ {- F}.}

Таким образом, общее решение

{ displaystyle y = ce ^ {F} + e ^ {F} int ge ^ {- F} dx,}

куда $c$ - постоянная интегрирования, а ${ Displaystyle F = int fdx}$ .

Система линейных дифференциальных уравнений

Система линейных дифференциальных уравнений состоит из нескольких линейных дифференциальных уравнений, включающих несколько неизвестных функций. В общем, исследование ограничивается системами, в которых количество неизвестных функций равно количеству уравнений.

Произвольное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение и система таких уравнений могут быть преобразованы в систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка путем добавления переменных для всех производных, кроме высших производных. То есть, если ${ Displaystyle у ', у' ', ldots, у ^ {(к)}}$ появляются в уравнении, их можно заменить новыми неизвестными функциями ${ displaystyle y_ {1}, ldots, y_ {k}}$ который должен удовлетворять уравнениям ${ displaystyle y '= y_ {1}}$ и ${ Displaystyle у_ {я} '= у_ {я + 1},}$ за $я = 1, ..., k - 1$ .

Линейная система первого порядка, имеющая $п$ неизвестные функции и $п$ дифференциальные уравнения обычно решаются относительно производных неизвестных функций. Если это не так, это дифференциально-алгебраическая система, а это другая теория. Поэтому рассматриваемые здесь системы имеют вид

{ displaystyle { begin {align} y_ {1} '(x) & = b_ {1} (x) + a_ {1,1} (x) y_ {1} + cdots + a_ {1, n} (x) y_ {n} vdots & y_ {n} '(x) & = b_ {n} (x) + a_ {n, 1} (x) y_ {1} + cdots + a_ {n, n} (x) y_ {n}, end {выровнено}}}

куда ${ displaystyle b_ {n}}$ и ${ displaystyle a_ {i, j}}$ являются функциями $Икс$ . В матричной записи эту систему можно записать (опуская " $(Икс)$ ")

{ displaystyle mathbf {y} '= A mathbf {y} + mathbf {b}.}

Метод решения аналогичен методу решения одного линейного дифференциального уравнения первого порядка, но с трудностями, вытекающими из некоммутативности матричного умножения.

Позволять

{ displaystyle mathbf {u} '= A mathbf {u}.}

- однородное уравнение, связанное с указанным выше матричным уравнением, решения которого образуют векторное пространство измерения $п$ , и поэтому являются столбцами квадратная матрица функций ${ Displaystyle U (х)}$ , чей детерминант не является нулевой функцией. Если $п = 1$ , или же $А$ матрица констант, или, в более общем смысле, если $А$ дифференцируема и коммутирует со своей производной, то можно выбрать в качестве $U$ в экспоненциальный из первообразный ${ displaystyle textstyle B = int Adx}$ из $А$ .^{[нужна цитата ]} Фактически, в этих случаях

{ displaystyle { frac {d} {dx}} exp (B) = A exp (B).}

В общем случае решения однородного уравнения в замкнутой форме не существует, и необходимо использовать либо численный метод, или метод приближения, такой как Расширение Магнуса.

Зная матрицу $U$ , общее решение неоднородного уравнения есть

{ displaystyle mathbf {y} (x) = U (x) mathbf {y_ {0}} + U (x) int U ^ {- 1} (x) mathbf {b} (x) , dx,}

где матрица столбцов ${ displaystyle mathbf {y_ {0}}}$ произвольный постоянная интеграции.

Если начальные условия заданы как

{ displaystyle mathbf {y} (x_ {0}) = mathbf {y} _ {0},}

решение, удовлетворяющее этим начальным условиям, есть

{ displaystyle mathbf {y} (x) = U (x) U ^ {- 1} (x_ {0}) mathbf {y_ {0}} + U (x) int _ {x_ {0}} ^ {x} U ^ {- 1} (t) mathbf {b} (t) , dt.}

Высший порядок с переменными коэффициентами

Линейное обыкновенное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами может быть решено следующим образом: квадратура, что означает, что решения могут быть выражены через интегралы. Это не относится к заказу по крайней мере два. Это главный результат Теория Пикара – Вессио который был инициирован Эмиль Пикар и Эрнест Вессио, и последние разработки которого называются дифференциальная теория Галуа.

Невозможность решения в квадратуре можно сравнить с Теорема Абеля – Руффини, в котором говорится, что алгебраическое уравнение степени по крайней мере пять не могут, как правило, решаться радикалами. Эта аналогия распространяется на методы доказательства и мотивирует наименование дифференциальная теория Галуа.

Как и в алгебраическом случае, теория позволяет решить, какие уравнения могут быть решены в квадратуре, и, если возможно, решить их. Однако для обеих теорий необходимые вычисления чрезвычайно трудны даже на самых мощных компьютерах.

Тем не менее, случай второго порядка с рациональными коэффициентами полностью решен Алгоритм Ковачича.

Уравнение Коши – Эйлера

Уравнения Коши – Эйлера являются примерами уравнений любого порядка с переменными коэффициентами, которые можно решить явно. Это уравнения вида

{ displaystyle x ^ {n} y ^ {(n)} (x) + a_ {n-1} x ^ {n-1} y ^ {(n-1)} (x) + cdots + a_ { 0} y (x) = 0,}

куда ${ displaystyle a_ {0}, ldots, a_ {n-1}}$ - постоянные коэффициенты.

Голономные функции

А голономная функция, также называемый D-конечная функция, - функция, являющаяся решением однородного линейного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами.

Большинство функций, которые обычно рассматриваются в математике, являются голономными или частными от голономных функций. Фактически, голономные функции включают многочлены, алгебраические функции, логарифм, экспоненциальная функция, синус, косинус, гиперболический синус, гиперболический косинус, обратная тригонометрия и обратные гиперболические функции, и много специальные функции Такие как Функции Бесселя и гипергеометрические функции.

Голономные функции имеют несколько свойства закрытия; в частности, суммы, продукты, производная и интегралы голономных функций голономны. Более того, эти свойства замыкания эффективны в том смысле, что существуют алгоритмы для вычисления дифференциального уравнения результата любой из этих операций, зная дифференциальные уравнения входа.^[3]

Полезность концепции голономных функций следует из следующей теоремы Зейльбергера.^[3]

А голономная последовательность представляет собой последовательность чисел, которая может быть сгенерирована отношение повторения с полиномиальными коэффициентами. Коэффициенты Серия Тейлор в точке голономной функции образуют голономную последовательность. Наоборот, если последовательность коэффициентов a степенной ряд голономна, то ряд определяет голономную функцию (даже если радиус схождения равно нулю). Существуют эффективные алгоритмы для обоих преобразований, то есть для вычисления рекуррентного отношения из дифференциального уравнения, и наоборот. ^[3]

Отсюда следует, что, если представить (в компьютере) голономные функции их определяющими дифференциальными уравнениями и начальными условиями, большинство исчисление операции могут выполняться автоматически над этими функциями, например производная, неопределенный и определенный интеграл, быстрое вычисление ряда Тейлора (благодаря рекуррентному соотношению его коэффициентов), вычисление с высокой точностью с сертифицированной границей ошибки аппроксимации, пределы, локализация особенности, асимптотическое поведение на бесконечности и вблизи сингулярностей, доказательство тождеств и т. д.^[4]