Стохастическое дифференциальное уравнение - Stochastic differential equation

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июль 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса. используется для имитации воздушного потока вокруг препятствия.
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробный Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связанный / развязанный Точный Однородный  / Неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотический  / Экспоненциальная стабильность Скорость сходимости Серии / Комплексные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разница  (Крэнк – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта

А стохастическое дифференциальное уравнение (SDE) это дифференциальное уравнение в котором один или несколько терминов являются случайный процесс, что приводит к решению, которое также является случайным процессом. SDE используются для модель различные явления, такие как нестабильные цены на акции или физические системы, подлежащие тепловые колебания. Обычно SDE содержат переменную, представляющую случайные белый шум рассчитывается как производная от Броуновское движение или Винеровский процесс. Однако возможны и другие типы случайного поведения, например переходные процессы.Случайные дифференциальные уравнения сопряжены со стохастическими дифференциальными уравнениями^[1].

Фон

Стохастические дифференциальные уравнения возникли в теории Броуновское движение, в работе Альберт Эйнштейн и Смолуховский. Эти ранние примеры были линейными стохастическими дифференциальными уравнениями, которые также назывались уравнениями Ланжевена в честь французского физика. Ланжевен, описывающее движение гармонического осциллятора под действием случайной силы. Математическая теория стохастических дифференциальных уравнений была разработана в 1940-х годах благодаря новаторской работе японского математика. Киёси Ито, который ввел понятие стохастический интеграл и положил начало изучению нелинейных стохастических дифференциальных уравнений. Другой подход был позже предложен российским физиком. Стратонович, что приводит к исчислению, аналогичному обычному исчислению.

Терминология

Наиболее распространенной формой SDE в литературе является обыкновенное дифференциальное уравнение с правой частью, возмущенной членом, зависящим от белый шум Переменная. В большинстве случаев под СДУ понимается непрерывный временной лимит соответствующего стохастические разностные уравнения. Такое понимание СДУ неоднозначно и должно быть дополнено правильным математическим определением соответствующего интеграла. Такое математическое определение было впервые предложено Киёси Ито в 1940-х годах, что привело к тому, что сегодня известно как Исчисление Ито Позже русский физик предложил другую конструкцию. Стратонович, что приводит к так называемой Интеграл Стратоновича. Ито интегральный и Интеграл Стратоновича являются связанными, но разными объектами, и выбор между ними зависит от рассматриваемого приложения. В Исчисление Ито основан на концепции непредвиденности или причинности, которая естественна в приложениях, где переменной является время. исчисление Стратоновича, с другой стороны, имеет правила, которые напоминают обычное исчисление, и имеет внутренние геометрические свойства, которые делают его более естественным при работе с с геометрическими проблемами, такими как случайное движение на коллекторы.

Альтернативный взгляд на СДУ - стохастический поток диффеоморфизмов. Это понимание однозначно и соответствует версии Стратоновича о непрерывном временном пределе стохастических разностных уравнений. С ДЗО связаны Уравнение Смолуховского или Уравнение Фоккера – Планка, уравнение, описывающее временную эволюцию функции распределения вероятностей. Обобщение эволюции Фоккера – Планка на временную эволюцию дифференциальных форм обеспечивается концепцией оператор стохастической эволюции.

В физической науке употребление термина неоднозначно. "СДО Ланжевена". Хотя СДО Ланжевена могут быть более общая форма, этот термин обычно относится к узкому классу SDE с векторными полями градиентного потока. Этот класс СДУ особенно популярен, потому что он является отправной точкой процедуры стохастического квантования Паризи – Сурла,^[2] приводя к N = 2 суперсимметричной модели, тесно связанной с суперсимметричная квантовая механика. Однако с физической точки зрения этот класс СДУ не очень интересен, поскольку в нем никогда не наблюдается спонтанного нарушения топологической суперсимметрии, т.е. (сверхдемпфирование) СДУ Ланжевена никогда не бывает хаотичным.

Стохастическое исчисление

Броуновское движение или Винеровский процесс было обнаружено, что он является исключительно сложным математически. В Винеровский процесс почти наверняка нигде не дифференцируем; таким образом, он требует собственных правил расчета. Существуют две доминирующие версии стохастического исчисления: Стохастическое исчисление Ито и Стохастическое исчисление Стратоновича. У каждого из них есть свои преимущества и недостатки, и новички часто не понимают, подходит ли один из них больше, чем другой в данной ситуации. Существуют руководящие принципы (например, Øksendal, 2003), и для удобства можно легко преобразовать SDE Ито в эквивалентную SDE Стратоновича и обратно. Тем не менее, нужно быть осторожным, какое исчисление использовать при первоначальной записи SDE.

Численные решения

Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений включают: Метод Эйлера – Маруямы, Метод Мильштейна и Метод Рунге – Кутта (SDE).

Использование в физике

В физике СДУ имеют самое широкое применение - от молекулярной динамики до нейродинамики и динамики астрофизических объектов. В частности, СДУ описывают все динамические системы, в которых квантовые эффекты либо не важны, либо могут быть учтены как возмущения. SDE можно рассматривать как обобщение теория динамических систем моделям с шумом. Это важное обобщение, поскольку реальные системы не могут быть полностью изолированы от окружающей среды и по этой причине всегда испытывают внешнее стохастическое влияние.

Существуют стандартные методы преобразования уравнений высшего порядка в несколько связанных уравнений первого порядка путем введения новых неизвестных. Таким образом, наиболее общий класс SDE:

${ displaystyle { frac {dx (t)} {dt}} = F (x (t)) + sum _ { alpha = 1} ^ {n} g _ { alpha} (x (t)) xi ^ { alpha} (t), ,}$

куда ${ displaystyle x in X}$ позиция в системе в ее фазовом (или состоянии) пространстве, ${ displaystyle X}$, предполагаемую дифференцируемым многообразием, ${ displaystyle F in TX}$ - векторное поле потока, представляющее детерминированный закон эволюции, и ${ displaystyle g _ { alpha} in TX}$ представляет собой набор векторных полей, которые определяют связь системы с гауссовским белым шумом, ${ displaystyle xi ^ { alpha}}$. Если ${ displaystyle X}$ является линейным пространством и ${ displaystyle g}$ являются константами, говорят, что система подвержена аддитивному шуму, иначе говорят, что она подвержена мультипликативному шуму. Этот термин несколько вводит в заблуждение, поскольку он стал означать общий случай, хотя он, кажется, подразумевает ограниченный случай, в котором ${ displaystyle g (x) propto x}$.

Для фиксированной конфигурации шума SDE имеет уникальное решение, дифференцируемое по начальному условию.^[3] Нетривиальность стохастического случая проявляется, когда кто-то пытается усреднить различные интересующие объекты по шумовым конфигурациям. В этом смысле SDE не является однозначно определенным объектом, когда шум является мультипликативным и когда SDE понимается как непрерывный временной предел стохастическое разностное уравнение. В этом случае SDE должен быть дополнен так называемыми «интерпретациями SDE», такими как интерпретации SDE Ито или Стратоновича. Тем не менее, когда СДУ рассматривается как стохастический поток диффеоморфизмов с непрерывным временем, это однозначно определенный математический объект что соответствует подходу Стратоновича к непрерывному пределу времени стохастического разностного уравнения.

В физике основным методом решения является нахождение функции распределения вероятностей как функции времени с использованием эквивалентного Уравнение Фоккера – Планка (FPE). Уравнение Фоккера – Планка является детерминированным уравнение в частных производных. Он сообщает, как функция распределения вероятностей изменяется во времени аналогично тому, как Уравнение Шредингера дает временную эволюцию квантовой волновой функции или уравнение диффузии дает изменение химической концентрации во времени. В качестве альтернативы численные решения могут быть получены с помощью Монте-Карло моделирование. Другие методы включают интеграция пути который основан на аналогии между статистической физикой и квантовая механика (например, уравнение Фоккера-Планка может быть преобразовано в Уравнение Шредингера изменив масштаб нескольких переменных) или записав обыкновенные дифференциальные уравнения для статистических моменты функции распределения вероятностей.^{[нужна цитата ]}

Использование в теории вероятностей и математических финансах

Обозначения, используемые в теория вероятности (и во многих приложениях теории вероятностей, например математические финансы ) немного отличается. Это также обозначение, используемое в публикациях по численные методы для решения стохастических дифференциальных уравнений. Эти обозначения делают экзотическую природу случайной функции времени ${ displaystyle eta _ {m}}$ в физике формулировка более явная. В строгих математических терминах ${ displaystyle eta _ {m}}$ не может быть выбрана как обычная функция, а только как обобщенная функция. Математическая формулировка трактует это усложнение менее двусмысленно, чем формулировка физики.

Типичное уравнение имеет вид

${ displaystyle mathrm {d} X_ {t} = mu (X_ {t}, t) , mathrm {d} t + sigma (X_ {t}, t) , mathrm {d} B_ { t},}$

куда ${ displaystyle B}$ обозначает Винеровский процесс (Стандартное броуновское движение). Это уравнение следует интерпретировать как неформальный способ выражения соответствующего интегральное уравнение

${ displaystyle X_ {t + s} -X_ {t} = int _ {t} ^ {t + s} mu (X_ {u}, u) mathrm {d} u + int _ {t} ^ {t + s} sigma (X_ {u}, u) , mathrm {d} B_ {u}.}$

Приведенное выше уравнение характеризует поведение непрерывное время случайный процесс Икс_т как сумма обычных Интеграл Лебега и Ито интегральный. А эвристический (но очень полезная) интерпретация стохастического дифференциального уравнения заключается в том, что в небольшом временном интервале длины δ стохастический процесс Икс_т изменяет свою стоимость на сумму, которая нормально распределенный с ожидание μ(Икс_т, т) δ и отклонение σ(Икс_т, т)² δ и не зависит от поведения процесса в прошлом. Это так, потому что приращения винеровского процесса независимы и нормально распределены. Функция μ называется коэффициентом дрейфа, а σ называется коэффициентом диффузии. Стохастический процесс Икс_т называется диффузионный процесс, и удовлетворяет Марковская собственность.

Формальная интерпретация SDE дается с точки зрения того, что составляет решение SDE. Есть два основных определения решения SDE: сильное решение и слабое решение. Оба требуют наличия процесса Икс_т который решает версию интегрального уравнения SDE. Разница между ними заключается в основном вероятностное пространство (${ Displaystyle Omega, , { mathcal {F}}, , P}$). Слабое решение состоит из вероятностного пространства и процесса, удовлетворяющего интегральному уравнению, а сильное решение - это процесс, который удовлетворяет уравнению и определен в заданном вероятностном пространстве.

Важным примером является уравнение для геометрическое броуновское движение

${ displaystyle mathrm {d} X_ {t} = mu (X_ {t}) , mathrm {d} t + sigma (X_ {t}) , mathrm {d} B_ {t}.}$

что является уравнением динамики цены акции в Блэк – Скоулз модель ценообразования опционов финансовой математики.

Существуют также более общие стохастические дифференциальные уравнения, в которых коэффициенты μ и σ зависят не только от текущей стоимости процесса Икс_т, но также и о предыдущих значениях процесса и, возможно, о текущих или предыдущих значениях других процессов. В этом случае процесс решения, Икс, не является марковским процессом, и он называется процессом Ито, а не диффузионным процессом. Когда коэффициенты зависят только от настоящих и прошлых значений Икс, определяющее уравнение называется стохастическим дифференциальным уравнением с запаздыванием.

Существование и уникальность решений

Как и в случае с детерминированными обыкновенными уравнениями и уравнениями в частных производных, важно знать, имеет ли данное СДУ решение и является ли оно уникальным. Ниже приводится типичная теорема существования и единственности для СДУ Ито, принимающих значения в п-размерный Евклидово пространство р^п и ведомый м-мерное броуновское движение B; доказательство можно найти в Øksendal (2003, §5.2).

Позволять Т > 0, и пусть

${ displaystyle mu: mathbb {R} ^ {n} times [0, T] to mathbb {R} ^ {n};}$

${ displaystyle sigma: mathbb {R} ^ {n} times [0, T] to mathbb {R} ^ {n times m};}$

быть измеримые функции для которых существуют постоянные C и D такой, что

${ displaystyle { big |} mu (x, t) { big |} + { big |} sigma (x, t) { big |} leq C { big (} 1+ | x | { big)};}$

${ displaystyle { big |} mu (x, t) - mu (y, t) { big |} + { big |} sigma (x, t) - sigma (y, t) { big |} leq D | xy |;}$

для всех т ∈ [0, Т] и все Икс и у ∈ р^п, куда

${ displaystyle | sigma | ^ {2} = sum _ {i, j = 1} ^ {n} | sigma _ {ij} | ^ {2}.}$

Позволять Z случайная величина, не зависящая от σ-алгебра, порожденная B_s, s ≥ 0, и с конечным второй момент:

${ displaystyle mathbb {E} { big [} | Z | ^ {2} { big]} <+ infty.}$

Тогда стохастическое дифференциальное уравнение / начальная задача

${ displaystyle mathrm {d} X_ {t} = mu (X_ {t}, t) , mathrm {d} t + sigma (X_ {t}, t) , mathrm {d} B_ { t} { mbox {for}} t in [0, T];}$

${ Displaystyle X_ {0} = Z;}$

имеет P-почти наверняка уникальный т-непрерывное решение (т, ω) ↦ Икс_т(ω) такие, что Икс является адаптированный к фильтрация F_т^Z создано Z и B_s, s ≤ т, и

${ displaystyle mathbb {E} left [ int _ {0} ^ {T} | X_ {t} | ^ {2} , mathrm {d} t right] <+ infty.}$

Некоторые явно решаемые СДУ^[4]

Линейный СДУ: общий случай

${ Displaystyle dX_ {t} = (a (t) X_ {t} + c (t)) dt + (b (t) X_ {t} + d (t)) dW_ {t}}$

${ displaystyle X_ {t} = Phi _ {t, t_ {0}} left (X_ {t_ {0}} + int _ {t_ {0}} ^ {t} Phi _ {s, t_ {0}} ^ {- 1} (c (s) -b (s) d (s)) ds + int _ {t_ {0}} ^ {t} Phi _ {s, t_ {0}} ^ {-1} d (s) dW_ {s} right)}$

куда

${ displaystyle Phi _ {t, t_ {0}} = exp left ( int _ {t_ {0}} ^ {t} left (a (s) - { frac {b ^ {2}) (s)} {2}} right) ds + int _ {t_ {0}} ^ {t} b (s) dW_ {s} right)}$

Редуцируемые SDE: случай 1

${ displaystyle dX_ {t} = { frac {1} {2}} f (X_ {t}) f '(X_ {t}) dt + f (X_ {t}) dW_ {t}}$

для данной дифференцируемой функции ${ displaystyle f}$ эквивалентно СДУ Стратоновича

${ Displaystyle dX_ {t} = е (X_ {t}) circ W_ {t}}$

которое имеет общее решение

${ displaystyle X_ {t} = h ^ {- 1} (W_ {t} + h (X_ {0}))}$

куда

${ displaystyle h (x) = int ^ {x} { frac {ds} {f (s)}}}$

Редуцируемые SDE: случай 2

${ displaystyle dX_ {t} = left ( alpha f (X_ {t}) + { frac {1} {2}} f (X_ {t}) f '(X_ {t}) right) dt + f (X_ {t}) dW_ {t}}$

для данной дифференцируемой функции ${ displaystyle f}$ эквивалентно СДУ Стратоновича

${ Displaystyle dX_ {t} = альфа f (X_ {t}) dt + f (X_ {t}) circ W_ {t}}$

который сводится к

${ displaystyle dY_ {t} = alpha dt + dW_ {t}}$

куда ${ displaystyle Y_ {t} = h (X_ {t})}$ куда ${ displaystyle h}$ определяется, как и раньше. его общее решение

${ displaystyle X_ {t} = h ^ {- 1} ( alpha t + W_ {t} + h (X_ {0}))}$

СДУ и суперсимметрия

В суперсимметричной теории СДУ стохастическая динамика определяется через оператор стохастической эволюции, действующий на дифференциальные формы на фазовом пространстве модели. В этой точной формулировке стохастической динамики все СДУ обладают топологическими суперсимметрия что представляет собой сохранение непрерывности фазового пространства за счет непрерывного потока времени. Спонтанное нарушение этой суперсимметрии является математической сущностью вездесущего динамического явления, известного в разных дисциплинах как хаос, турбулентность, самоорганизованная критичность и т. д. и Теорема Голдстоуна объясняет связанное с ним динамическое поведение на больших расстояниях, т. е. эффект бабочки, 1 / f и треск шумов, а также безмасштабную статистику землетрясений, нейровавзлов, солнечных вспышек и т. д. Теория также предлагает разрешение дилеммы Ито – Стратоновича в пользу подхода Стратоновича.

Смотрите также

• Динамика Ланжевена
• Местная волатильность
• Стохастический процесс
• Стохастическая волатильность
• Стохастические уравнения в частных производных
• Процесс диффузии
• Стохастическое разностное уравнение

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Адомян, Джордж (1983). Стохастические системы. Математика в науке и технике (169). Орландо, Флорида: Academic Press Inc.
• Адомян, Джордж (1986). Нелинейные стохастические операторные уравнения. Орландо, Флорида: Academic Press Inc.
• Адомян, Джордж (1989). Нелинейная теория стохастических систем и приложения к физике. Математика и ее приложения (46). Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group.
• Калин, Овидиу (2015). Неформальное введение в стохастическое исчисление с приложениями. Сингапур: World Scientific Publishing. п. 315. ISBN  978-981-4678-93-3.
• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями. Берлин: Springer. ISBN  3-540-04758-1.
• Teugels, J. и Sund B. (ред.) (2004). Энциклопедия актуарной науки. Чичестер: Вайли. С. 523–527.CS1 maint: дополнительный текст: список авторов (связь)
• К. В. Гардинер (2004). Справочник по стохастическим методам: для физики, химии и естествознания. Springer. п. 415.
• Томас Микош (1998). Элементарное стохастическое исчисление: с финансовой точки зрения. Сингапур: World Scientific Publishing. п. 212. ISBN  981-02-3543-7.
• Сейфедин Кадры (2007). «Решение линейного стохастического дифференциального уравнения». Всемирные труды по математике. США: ОПЕРАЦИИ WSEAS по математике, апрель 2007 г .: 618. ISSN  1109-2769.
• П. Э. Клоеден и Э. Платен (1995). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений.. Springer. ISBN  0-387-54062-8.
• Хайэм., Десмонд Дж. (Январь 2001 г.). «Алгоритмическое введение в численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений». SIAM Обзор. 43 (3): 525–546. Bibcode:2001SIAMR..43..525H. CiteSeerX  10.1.1.137.6375. Дои:10.1137 / S0036144500378302.