Метод неопределенных коэффициентов - Method of undetermined coefficients

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса. используется для имитации воздушного потока вокруг препятствия.
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обыкновенный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связано / развязано Точный Однородный  / Неоднородный особенности порядок Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задержка
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотический  / Экспоненциальная стабильность Скорость сходимости Серии / Комплексные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разница  (Крэнк – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта

В математика, то метод неопределенных коэффициентов это подход к поиску частного решения некоторых неоднородных обыкновенные дифференциальные уравнения и повторяющиеся отношения. Это тесно связано с аннигиляторный метод, но вместо использования определенного вида дифференциальный оператор (аннигилятор), чтобы найти наилучшую возможную форму конкретного решения, делается «предположение» относительно соответствующей формы, которое затем проверяется путем дифференцирования полученного уравнения. Для сложных уравнений метод аннигилятора или вариация параметров требует меньше времени на выполнение.

Неопределенные коэффициенты - не такой общий метод, как вариация параметров, поскольку он работает только для дифференциальных уравнений определенной формы.^[1]

Описание метода

Рассмотрим линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение вида

${ Displaystyle сумма _ {я = 0} ^ {п} с_ {я} у ^ {(я)} + у ^ {(п + 1)} = г (х)}$

где ${ Displaystyle у ^ {(я)}}$ обозначает i-ю производную от ${ displaystyle y}$, и ${ displaystyle c_ {i}}$ обозначает функцию ${ displaystyle x}$.

Метод неопределенных коэффициентов обеспечивает простой метод получения решения этого ОДУ при соблюдении двух критериев:^[2]

1. ${ displaystyle c_ {i}}$ являются константами.
2. g (x) - константа, полиномиальная функция, экспоненциальная функция ${ Displaystyle е ^ { альфа х}}$, функции синуса или косинуса ${ displaystyle sin { beta x}}$ или ${ displaystyle cos { beta x}}$, или конечные суммы и произведения этих функций (${ displaystyle { alpha}}$, ${ displaystyle { beta}}$ константы).

Метод заключается в нахождении общего однородный решение ${ displaystyle y_ {c}}$ для дополнительного линейного однородное дифференциальное уравнение

${ displaystyle sum _ {я = 0} ^ {n} c_ {i} y ^ {(i)} + y ^ {(n + 1)} = 0,}$

и частный интеграл ${ displaystyle y_ {p}}$ линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения на основе ${ displaystyle g (x)}$. Тогда общее решение ${ displaystyle y}$ к линейному неоднородному обыкновенному дифференциальному уравнению будет

${ displaystyle y = y_ {c} + y_ {p}.}$^[3]

Если ${ displaystyle g (x)}$ состоит из суммы двух функций ${ Displaystyle ч (х) + ш (х)}$ и мы говорим, что ${ displaystyle y_ {p_ {1}}}$ решение основано на ${ Displaystyle ч (х)}$ и ${ displaystyle y_ {p_ {2}}}$ решение на основе ${ Displaystyle ш (х)}$. Затем, используя принцип суперпозиции, можно сказать, что частный интеграл ${ displaystyle y_ {p}}$ является

${ displaystyle y_ {p} = y_ {p_ {1}} + y_ {p_ {2}}.}$^[3]

Типичные формы частного интеграла

Чтобы найти конкретный интеграл, нам нужно «угадать» его форму, оставив некоторые коэффициенты в качестве переменных, для которых необходимо решить. Это принимает форму первой производной дополнительной функции. Ниже приводится таблица некоторых типичных функций и решение для них.

Функция Икс	Форма для y
${ displaystyle ke ^ {ax} !}$	${ displaystyle Ce ^ {ax} !}$
${ Displaystyle кх ^ {п}, ; п = 0,1,2, ldots !}$	${ displaystyle sum _ {я = 0} ^ {n} K_ {i} x ^ {i} !}$
${ Displaystyle к соз (топор) { текст {или}} к грех (топор) !}$	${ Displaystyle К соз (топор) + М грех (топор) !}$
${ displaystyle ke ^ {ax} cos (bx) { text {or}} ke ^ {ax} sin (bx) !}$	${ Displaystyle е ^ {ах} (К соз (bx) + M sin (bx)) !}$
${ displaystyle left ( sum _ {i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} right) cos (bx) { text {или}} left ( sum _ { я = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} right) sin (bx) !}$	${ displaystyle left ( sum _ {i = 0} ^ {n} Q_ {i} x ^ {i} right) cos (bx) + left ( sum _ {i = 0} ^ {n } R_ {i} x ^ {i} right) sin (bx)}$
${ displaystyle left ( sum _ {i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} right) e ^ {ax} cos (bx) { text {или}} left ( sum _ {i = 0} ^ {n} k_ {i} x ^ {i} right) e ^ {ax} sin (bx) !}$	${ displaystyle e ^ {ax} left ( left ( sum _ {i = 0} ^ {n} Q_ {i} x ^ {i} right) cos (bx) + left ( sum _ {i = 0} ^ {n} R_ {i} x ^ {i} right) sin (bx) right)}$

Если член в приведенном выше частном интеграле для y появляется в однородном растворе, необходимо умножить на достаточно большую степень Икс чтобы решение было независимым. Если функция Икс представляет собой сумму членов в приведенной выше таблице, конкретный интеграл можно угадать, используя сумму соответствующих членов для y.^[1]

Примеры

Пример 1

Найдите конкретный интеграл уравнения

${ Displaystyle у '' + у = т соз т.}$

Правая сторона т потому чтот имеет форму

${ Displaystyle P_ {п} е ^ { альфа т} соз { бета т}}$

с участием п = 2, α = 0 и β = 1.

поскольку α + iβ = я является простой корень характеристического уравнения

${ displaystyle lambda ^ {2} + 1 = 0}$

мы должны попробовать конкретный интеграл формы

${ Displaystyle { begin {выровнено} y_ {p} & = t left [F_ {1} (t) e ^ { alpha t} cos { beta t} + G_ {1} (t) e ^ { alpha t} sin { beta t} right] & = t left [F_ {1} (t) cos t + G_ {1} (t) sin t right] & = t left [ left (A_ {0} t + A_ {1} right) cos t + left (B_ {0} t + B_ {1} right) sin t right] & = left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t right) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t right) sin t. конец {выровнен}}}$

Подстановка y_п в дифференциальное уравнение имеем тождество

${ displaystyle { begin {align} t cos t & = y_ {p} '' + y_ {p} & = left [ left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t right) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t right) sin t right] '' + left [ left (A_ {0} t ^ {2 } + A_ {1} t right) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t right) sin t right] & = left [2A_ {0 } cos t + 2 left (2A_ {0} t + A_ {1} right) (- sin t) + left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t right) (- cos t) + 2B_ {0} sin t + 2 left (2B_ {0} t + B_ {1} right) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ { 1} t right) (- sin t) right] & qquad + left [ left (A_ {0} t ^ {2} + A_ {1} t right) cos t + left (B_ {0} t ^ {2} + B_ {1} t right) sin t right] & = [4B_ {0} t + (2A_ {0} + 2B_ {1})] cos t + [-4A_ {0} t + (- 2A_ {1} + 2B_ {0})] sin t. End {выравнивается}}}$

Сравнивая обе стороны, мы имеем

${ displaystyle { begin {cases} 1 = 4B_ {0} 0 = 2A_ {0} + 2B_ {1} 0 = -4A_ {0} 0 = -2A_ {1} + 2B_ {0 } end {case}}}$

который имеет решение

${ displaystyle A_ {0} = 0, quad A_ {1} = B_ {0} = { frac {1} {4}}, quad B_ {1} = 0.}$

Тогда у нас есть частный интеграл

${ displaystyle y_ {p} = { frac {1} {4}} t cos t + { frac {1} {4}} t ^ {2} sin t.}$

Пример 2

Рассмотрим следующее линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = y + e ^ {x}.}$

Это похоже на первый пример выше, за исключением того, что неоднородная часть (${ displaystyle e ^ {x}}$) является не линейно не зависит от общего решения однородной части (${ displaystyle c_ {1} e ^ {x}}$); в результате мы должны умножить наше предположение на достаточно большую степень Икс сделать его линейно независимым.

Вот наша догадка:

${ displaystyle y_ {p} = Ax ^ {x}.}$

Подставляя эту функцию и ее производную в дифференциальное уравнение, можно найти А:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left (Ax ^ {x} right) = Ax ^ {x} + e ^ {x}}$

${ displaystyle Ax ^ {x} + Ae ^ {x} = Ax ^ {x} + e ^ {x}}$

${ displaystyle A = 1.}$

Итак, общее решение этого дифференциального уравнения:

${ displaystyle y = c_ {1} e ^ {x} + xe ^ {x}.}$

Пример 3

Найдите общее решение уравнения:

${ displaystyle { frac {dy} {dt}} = t ^ {2} -y}$

${ displaystyle t ^ {2}}$ является многочленом степени 2, поэтому мы ищем решение в том же виде,

${ displaystyle y_ {p} = At ​​^ {2} + Bt + C,}$

Подставляя эту конкретную функцию в исходное уравнение, получаем,

${ displaystyle 2At + B = t ^ {2} - (At ^ {2} + Bt + C),}$

${ displaystyle 2At + B = (1-A) t ^ {2} -Bt-C,}$

${ Displaystyle (A-1) t ^ {2} + (2A + B) t + (B + C) = 0.}$

который дает:

${ displaystyle A-1 = 0, quad 2A + B = 0, quad B + C = 0.}$

Решая константы, получаем:

${ displaystyle y_ {p} = t ^ {2} -2t + 2}$

Чтобы найти общее решение,

${ displaystyle y = y_ {p} + y_ {c}}$

где ${ displaystyle y_ {c}}$ однородный раствор ${ displaystyle y_ {c} = c_ {1} e ^ {- t}}$, поэтому общее решение:

${ displaystyle y = t ^ {2} -2t + 2 + c_ {1} e ^ {- t}}$

использованная литература

• Boyce, W. E .; ДиПрима, Р. К. (1986). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи. (4-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-83824-1.
• Райли, К. Ф .; Бенс, С. Дж. (2010). Математические методы для физики и инженерии. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-86153-3.
• Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (1985). Обыкновенные дифференциальные уравнения.. Дувр. ISBN  978-0-486-64940-5.
• де Оливейра, О. Р. Б. (2013). «Формула замены неопределенных коэффициентов и методы аннигиляции». Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 44 (3): 462–468. Bibcode:2013IJMES..44..462R. Дои:10.1080 / 0020739X.2012.714496. S2CID  55834468.