Точное дифференциальное уравнение - Exact differential equation

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Точное дифференциальное уравнение»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июль 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, точное дифференциальное уравнение или же полное дифференциальное уравнение это определенный вид обыкновенное дифференциальное уравнение который широко используется в физика и инженерное дело.

Определение

Учитывая односвязный и открыто подмножество D из р² и две функции я и J которые непрерывный на D, скрытый обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка формы

${ Displaystyle I (x, y) , mathrm {d} x + J (x, y) , mathrm {d} y = 0, , !}$

называется точное дифференциальное уравнение если существует непрерывно дифференцируемый функция F, называется потенциальная функция,^[1][2] так что

${ displaystyle { frac { partial F} { partial x}} = I}$

и

${ displaystyle { frac { partial F} { partial y}} = J.}$

Номенклатура «точное дифференциальное уравнение» относится к точный дифференциал функции. Для функции ${ Displaystyle F (x_ {0}, x_ {1}, ..., x_ {n-1}, x_ {n})}$, точное или полная производная относительно ${ displaystyle x_ {0}}$ дан кем-то

${ displaystyle { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} x_ {0}}} = { frac { partial F} { partial x_ {0}}} + sum _ {i = 1} ^ {n} { frac { partial F} { partial x_ {i}}} { frac { mathrm {d} x_ {i}} { mathrm {d} x_ {0}}} .}$

Пример

Функция ${ Displaystyle F: mathbb {R} ^ {2} to mathbb {R}}$ данный

${ displaystyle F (x, y) = { frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) + c}$

- потенциальная функция для дифференциального уравнения

${ Displaystyle х , mathrm {d} x + y , mathrm {d} y = 0. ,}$

Существование потенциальных функций

В физических приложениях функции я и J обычно не только непрерывны, но даже непрерывно дифференцируемый. Теорема Шварца затем предоставляет нам необходимо критерий существования потенциальной функции. Для дифференциальных уравнений, определенных на односвязных множествах, критерий четный достаточный и мы получаем следующую теорему:

Для дифференциального уравнения вида (например, когда F имеет нулевой наклон в направлении x и y в точке F (x, y)):

${ Displaystyle I (x, y) , mathrm {d} x + J (x, y) , mathrm {d} y = 0, , !}$

с я и J непрерывно дифференцируемый на односвязном и открытом подмножестве D из р² тогда потенциальная функция F существует тогда и только тогда, когда

${ displaystyle { frac { partial I} { partial y}} (x, y) = { frac { partial J} { partial x}} (x, y).}$

Решения точных дифференциальных уравнений

Дано точное дифференциальное уравнение, определенное на некотором односвязном и открытом подмножестве D из р² с потенциальной функцией F, дифференцируемая функция ж с (x, ж(Икс)) в D это решение если и только если Существует настоящий номер c так что

${ Displaystyle F (х, е (х)) = с. ,}$

Для проблема начального значения

${ Displaystyle у (х_ {0}) = у_ {0} ,}$

мы можем локально найти потенциальную функцию с помощью

${ displaystyle F (x, y) = int _ {x_ {0}} ^ {x} I (t, y_ {0}) mathrm {d} t + int _ {y_ {0}} ^ {y } J (x, t) mathrm {d} t = int _ {x_ {0}} ^ {x} I (t, y_ {0}) mathrm {d} t + int _ {y_ {0} } ^ {y} left [J (x_ {0}, t) + int _ {x_ {0}} ^ {x} { frac { partial I} { partial t}} (u, t) , mathrm {d} u , right] mathrm {d} t.}$

Решение

${ Displaystyle F (х, у) = с ,}$

за y, куда c является действительным числом, тогда мы можем построить все решения.

Точные дифференциальные уравнения второго порядка

Понятие точных дифференциальных уравнений можно распространить на уравнения второго порядка.^[3] Начнем с точного уравнения первого порядка:

${ displaystyle I left (x, y right) + J left (x, y right) {dy over dx} = 0}$

Поскольку обе функции ${ Displaystyle I влево (х, у вправо), J влево (х, у вправо)}$ являются функциями двух переменных, неявно дифференцируя многомерную функцию, получаем

${ displaystyle { operatorname {d} ! I over operatorname {d} ! x} + left ({ operatorname {d} ! J over operatorname {d} ! x} right) {dy over dx} + {d ^ {2} y over dx ^ {2}} left (J left (x, y right) right) = 0}$

Разложение полных производных дает, что

${ displaystyle { operatorname {d} ! I over operatorname {d} ! x} = { partial I over partial x} + { partial I over partial y} {dy over dx }}$

и это

${ displaystyle { operatorname {d} ! J over operatorname {d} ! x} = { partial J over partial x} + { partial J over partial y} {dy over dx }}$

Объединение ${ displaystyle {dy over dx}}$ условия дает

${ displaystyle { partial I over partial x} + {dy over dx} left ({ partial I over partial y} + { partial J over partial x} + { partial J over partial y} {dy over dx} right) + {d ^ {2} y over dx ^ {2}} left (J left (x, y right) right) = 0}$

Если уравнение точное, то ${ displaystyle { partial J over partial x} = { partial I over partial y}}$ . Кроме того, полная производная от ${ Displaystyle J влево (х, у вправо)}$ равна своей неявной обыкновенной производной ${ displaystyle {dJ over dx}}$. Это приводит к переписанному уравнению

${ displaystyle { partial I over partial x} + {dy over dx} left ({ partial J over partial x} + {dJ over dx} right) + {d ^ {2} y over dx ^ {2}} left (J left (x, y right) right) = 0}$

Пусть теперь имеется какое-нибудь дифференциальное уравнение второго порядка

${ displaystyle f left (x, y right) + g left (x, y, {dy over dx} right) {dy over dx} + {d ^ {2} y over dx ^ { 2}} left (J left (x, y right) right) = 0}$

Если ${ displaystyle { partial J over partial x} = { partial I over partial y}}$ для точных дифференциальных уравнений, то

${ displaystyle int left ({ partial I over partial y} right) dy = int left ({ partial J over partial x} right) dy}$

и

${ displaystyle int left ({ partial I over partial y} right) dy = int left ({ partial J over partial x} right) dy = I left (x, y right) -h left (x right)}$

куда ${ Displaystyle ч влево (х вправо)}$ является произвольной функцией только от ${ displaystyle x}$ который был дифференцирован до нуля после взятия частной производной от ${ Displaystyle I влево (х, у вправо)}$ относительно ${ displaystyle y}$. Хотя знак на ${ Displaystyle ч влево (х вправо)}$ может быть положительным, более интуитивно понятно думать о результате интеграла как ${ Displaystyle I влево (х, у вправо)}$ что отсутствует какая-то оригинальная дополнительная функция ${ Displaystyle ч влево (х вправо)}$ который был частично дифференцирован до нуля.

Далее, если

${ displaystyle { operatorname {d} ! I over operatorname {d} ! x} = { partial I over partial x} + { partial I over partial y} {dy over dx }}$

тогда срок ${ displaystyle { partial I over partial x}}$ должен быть функцией только ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$, поскольку частичное дифференцирование по ${ displaystyle x}$ будет держать ${ displaystyle y}$ постоянным и не производить производных от ${ displaystyle y}$. В уравнении второго порядка

${ displaystyle f left (x, y right) + g left (x, y, {dy over dx} right) {dy over dx} + {d ^ {2} y over dx ^ { 2}} left (J left (x, y right) right) = 0}$

только срок ${ Displaystyle е влево (х, у вправо)}$ это термин исключительно ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$. Позволять ${ Displaystyle { partial I over partial x} = е влево (х, у вправо)}$. Если ${ Displaystyle { partial I over partial x} = е влево (х, у вправо)}$, тогда

${ displaystyle f left (x, y right) = { operatorname {d} ! I over operatorname {d} ! x} - { partial I over partial y} {dy over dx }}$

Поскольку полная производная от ${ Displaystyle I влево (х, у вправо)}$ относительно ${ displaystyle x}$ эквивалентна неявной обыкновенной производной ${ displaystyle {dI over dx}}$ , тогда

${ displaystyle f left (x, y right) + { partial I over partial y} {dy over dx} = {dI over dx} = {d over dx} left (I left (x, y right) -h left (x right) right) + {dh left (x right) over dx}}$

Так,

${ displaystyle {dh left (x right) over dx} = f left (x, y right) + { partial I over partial y} {dy over dx} - {d over dx } left (I left (x, y right) -h left (x right) right)}$

и

${ displaystyle h left (x right) = int left (е left (x, y right) + { partial I over partial y} {dy over dx} - {d over dx } left (I left (x, y right) -h left (x right) right) right) dx}$

Таким образом, дифференциальное уравнение второго порядка

${ displaystyle f left (x, y right) + g left (x, y, {dy over dx} right) {dy over dx} + {d ^ {2} y over dx ^ { 2}} left (J left (x, y right) right) = 0}$

точно, только если ${ displaystyle g left (x, y, {dy over dx} right) = { operatorname {d} ! J over operatorname {d} ! x} + { partial J over partial x} = {dJ over dx} + { partial J over partial x}}$ и только если приведенное ниже выражение

${ displaystyle int left (е left (x, y right) + { partial I over partial y} {dy over dx} - {d over dx} left (I left (x , y right) -h left (x right) right) right) dx = int left (f left (x, y right) - { partial left (I left (x, y right) -h left (x right) right) over partial x} right) dx}$

является функцией исключительно ${ displaystyle x}$. Один раз ${ Displaystyle ч влево (х вправо)}$ вычисляется с произвольной константой, она добавляется к ${ Displaystyle I влево (х, у вправо) -ч влево (х вправо)}$сделать ${ Displaystyle I влево (х, у вправо)}$. Если уравнение является точным, то мы можем привести к точному виду первого порядка, который разрешается обычным методом для точных уравнений первого порядка.

${ displaystyle I left (x, y right) + J left (x, y right) {dy over dx} = 0}$

Однако теперь в окончательном неявном решении будет ${ displaystyle C_ {1} x}$ срок от интеграции ${ Displaystyle ч влево (х вправо)}$ относительно ${ displaystyle x}$ вдвое лучше ${ displaystyle C_ {2}}$, две произвольные константы, ожидаемые от уравнения второго порядка.

Пример

Учитывая дифференциальное уравнение

${ displaystyle left (1-x ^ {2} right) y '' - 4xy'-2y = 0}$

всегда можно легко проверить на точность, изучив ${ displaystyle y ''}$ срок. В этом случае как частная, так и полная производная от ${ displaystyle 1-x ^ {2}}$ относительно ${ displaystyle x}$ находятся ${ displaystyle -2x}$, поэтому их сумма равна ${ displaystyle -4x}$, что и есть член перед ${ displaystyle y '}$. При соблюдении одного из условий точности можно вычислить, что

${ displaystyle int left (-2x right) dy = I left (x, y right) -h left (x right) = - 2xy}$

Сдача ${ displaystyle f left (x, y right) = - 2y}$, тогда

${ displaystyle int left (-2y-2xy '- {d over dx} left (-2xy right) right) dx = int left (-2y-2xy' + 2xy '+ 2y right ) dx = int left (0 right) dx = h left (x right)}$

Так, ${ Displaystyle ч влево (х вправо)}$ действительно является функцией только ${ displaystyle x}$ и дифференциальное уравнение второго порядка является точным. Следовательно, ${ Displaystyle ч влево (х вправо) = C_ {1}}$ и ${ displaystyle I left (x, y right) = - 2xy + C_ {1}}$. Приведение к точному уравнению первого порядка дает

${ displaystyle -2xy + C_ {1} + left (1-x ^ {2} right) y '= 0}$

Интеграция ${ Displaystyle I влево (х, у вправо)}$ относительно ${ displaystyle x}$ дает

${ displaystyle -x ^ {2} y + C_ {1} x + i left (y right) = 0}$

куда ${ Displaystyle я влево (у вправо)}$ произвольная функция от ${ displaystyle y}$. Дифференцируя по ${ displaystyle y}$ дает уравнение, связывающее производную и ${ displaystyle y '}$ срок.

${ displaystyle -x ^ {2} + i ' left (y right) = 1-x ^ {2}}$

Так, ${ Displaystyle я влево (у вправо) = у + C_ {2}}$ и полное неявное решение становится

${ displaystyle C_ {1} x + C_ {2} + y-x ^ {2} y = 0}$

Явное решение для ${ displaystyle y}$ дает

${ displaystyle y = { frac {C_ {1} x + C_ {2}} {1-x ^ {2}}}}$

Точные дифференциальные уравнения высшего порядка

Понятия точных дифференциальных уравнений могут быть расширены до любого порядка. Начиная с точного уравнения второго порядка

${ displaystyle {d ^ {2} y over dx ^ {2}} left (J left (x, y right) right) + {dy over dx} left ({dJ over dx} + { partial J over partial x} right) + f left (x, y right) = 0}$

ранее было показано, что уравнение определяется так, что

${ displaystyle f left (x, y right) = {dh left (x right) over dx} + {d over dx} left (I left (x, y right) -h left (x right) right) - { partial J over partial x} {dy over dx}}$

Неявное дифференцирование точного уравнения второго порядка ${ displaystyle n}$ раз даст ${ Displaystyle влево (п + 2 вправо)}$Дифференциальное уравнение-го порядка с новыми условиями точности, которые можно легко вывести из формы полученного уравнения. Например, дифференцируя вышеуказанное дифференциальное уравнение второго порядка один раз, чтобы получить точное уравнение третьего порядка, получаем следующую форму

${ displaystyle {d ^ {3} y over dx ^ {3}} left (J left (x, y right) right) + {d ^ {2} y over dx ^ {2}} {dJ over dx} + {d ^ {2} y over dx ^ {2}} left ({dJ over dx} + { partial J over partial x} right) + {dy over dx} left ({d ^ {2} J over dx ^ {2}} + {d over dx} left ({ partial J over partial x} right) right) + {df left (x, y right) over dx} = 0}$

куда

${ displaystyle {df left (x, y right) over dx} = {d ^ {2} h left (x right) over dx ^ {2}} + {d ^ {2} over dx ^ {2}} left (I left (x, y right) -h left (x right) right) - {d ^ {2} y over dx ^ {2}} { partial J over partial x} - {dy over dx} {d over dx} left ({ partial J over partial x} right) = F left (x, y, {dy over dx }верно)}$и где ${ displaystyle F left (x, y, {dy over dx} right)}$

является функцией только ${ displaystyle x, y}$ и ${ displaystyle {dy over dx}}$. Объединяя все ${ displaystyle {dy over dx}}$ и ${ displaystyle {d ^ {2} y over dx ^ {2}}}$ термины не из ${ displaystyle F left (x, y, {dy over dx} right)}$ дает

${ displaystyle {d ^ {3} y over dx ^ {3}} left (J left (x, y right) right) + {d ^ {2} y over dx ^ {2}} left (2 {dJ over dx} + { partial J over partial x} right) + {dy over dx} left ({d ^ {2} J over dx ^ {2}} + {d over dx} left ({ partial J over partial x} right) right) + F left (x, y, {dy over dx} right) = 0}$

Таким образом, тремя условиями точности дифференциального уравнения третьего порядка являются: ${ displaystyle {d ^ {2} y over dx ^ {2}}}$ срок должен быть ${ displaystyle 2 {dJ over dx} + { partial J over partial x}}$, то ${ displaystyle {dy over dx}}$ срок должен быть ${ displaystyle {d ^ {2} J over dx ^ {2}} + {d over dx} left ({ partial J over partial x} right)}$ и

${ displaystyle F left (x, y, {dy over dx} right) - {d ^ {2} over dx ^ {2}} left (I left (x, y right) -h left (x right) right) + {d ^ {2} y over dx ^ {2}} { partial J over partial x} + {dy over dx} {d over dx} left ({ partial J over partial x} right)}$

должен быть функцией исключительно ${ displaystyle x}$.

Пример

Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка

${ displaystyle yy '' '+ 3y'y' '+ 12x ^ {2} = 0}$

Если ${ Displaystyle J влево (х, у вправо) = у}$, тогда ${ displaystyle y '' left (2 {dJ over dx} + { partial J over partial x} right)}$ является ${ displaystyle 2y'y ''}$ и ${ displaystyle y ' left ({d ^ {2} J over dx ^ {2}} + {d over dx} left ({ partial J over partial x} right) right) = y'y ''}$которые вместе составляют ${ displaystyle 3y'y ''}$. К счастью, это присутствует в нашем уравнении. Для последнего условия точности

${ displaystyle F left (x, y, {dy over dx} right) - {d ^ {2} over dx ^ {2}} left (I left (x, y right) -h left (x right) right) + {d ^ {2} y over dx ^ {2}} { partial J over partial x} + {dy over dx} {d over dx} влево ({ partial J over partial x} right) = 12x ^ {2} -0 + 0 + 0 = 12x ^ {2}}$

что действительно является функцией только ${ displaystyle x}$. Итак, дифференциальное уравнение точное. Двойное интегрирование дает, что ${ displaystyle h left (x right) = x ^ {4} + C_ {1} x + C_ {2} = I left (x, y right)}$. Переписывая уравнение в виде точного дифференциального уравнения первого порядка, получаем

${ displaystyle x ^ {4} + C_ {1} x + C_ {2} + yy '= 0}$

Интеграция ${ Displaystyle I влево (х, у вправо)}$ относительно ${ displaystyle x}$ дает это ${ displaystyle {x ^ {5} over 5} + C_ {1} x ^ {2} + C_ {2} x + i left (y right) = 0}$. Дифференцируя по ${ displaystyle y}$ и приравнивая это к термину перед ${ displaystyle y '}$ в уравнении первого порядка дает

${ Displaystyle я ' влево (у вправо) = у}$ и это ${ Displaystyle я влево (у вправо) = {у ^ {2} более 2} + C_ {3}}$. Полное неявное решение становится

${ displaystyle {x ^ {5} over 5} + C_ {1} x ^ {2} + C_ {2} x + C_ {3} + {y ^ {2} over 2} = 0}$

Тогда явным решением будет

${ displaystyle y = pm { sqrt {C_ {1} x ^ {2} + C_ {2} x + C_ {3} - {2x ^ {5} over 5}}}}$

Смотрите также

• Точный дифференциал
• Неточное дифференциальное уравнение

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Бойс, Уильям Э .; ДиПрима, Ричард С. (1986). Элементарные дифференциальные уравнения (4-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-07894-8