Симметрия вторых производных - Symmetry of second derivatives

В математика, то симметрия вторых производных (также называемый равенство смешанных частных) относится к возможности при определенных условиях (см. ниже) изменить порядок приема частные производные из функция

${ displaystyle f left (x_ {1}, , x_ {2}, , ldots, , x_ {n} right)}$

из п переменные. Симметрия - это утверждение, что частные производные второго порядка удовлетворяют тождеству

${ displaystyle { frac { partial} { partial x_ {i}}} left ({ frac { partial f} { partial x_ {j}}} right) = { frac { partial} { partial x_ {j}}} left ({ frac { partial f} { partial x_ {i}}} right)}$

так что они образуют п × п симметричная матрица. Иногда это называют Теорема Шварца, Теорема Клеро, или же Теорема Юнга.^[1][2]

В контексте уравнения в частных производных это называетсяШварц интегрируемость условие.

Формальные выражения симметрии

В символах симметрия может быть выражена как:

${ displaystyle { frac { partial} { partial x}} left ({ frac { partial f} { partial y}} right) = { frac { partial} { partial y }} left ({ frac { partial f} { partial x}} right) qquad { text {или}} qquad { frac { partial ^ {2} ! f} { partial x , partial y}} = { frac { partial ^ {2} ! f} { partial y , partial x}}.}$

Другое обозначение:

${ displaystyle partial _ {x} partial _ {y} f = partial _ {y} partial _ {x} f qquad { text {or}} qquad f_ {yx} = f_ {xy} .}$

С точки зрения сочинение из дифференциальный оператор D_я который принимает частную производную по Икс_я:

${ displaystyle D_ {i} circ D_ {j} = D_ {j} circ D_ {i}}$.

Из этого соотношения следует, что звенеть дифференциальных операторов с постоянные коэффициенты, порожденный D_я, является коммутативный; но это верно только как операторы в области достаточно дифференцируемых функций. Симметрию легко проверить применительно к мономы, так что можно взять многочлены в Икс_я как домен. Фактически гладкие функции еще один действующий домен.

История

Результат о равенстве смешанных частных производных при определенных условиях имеет давнюю историю. Список неудачных предложенных доказательств начинается с Эйлер х, изданных в 1740 г., хотя уже в 1721 г. Бернулли неявно предполагал результат без формального обоснования.^[3][4] Clairaut также опубликовал предложенное доказательство в 1740 году, без каких-либо других попыток до конца 18 века. Начиная с этого периода в течение 70 лет был предложен ряд неполных доказательств. Доказательство Лагранж (1797) был улучшен Коши (1823), но предполагал существование и непрерывность частных производных ${ Displaystyle { tfrac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}}}}$ и ${ Displaystyle { tfrac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}}}}$.^[5] Другие попытки были предприняты П. Бланше (1841 г.), Дюамель (1856), Штурм (1857), Schlömilch (1862), и Бертран (1864 г.). Наконец в 1867 г. Линделёф систематически проанализировал все ранние ошибочные доказательства и смог показать конкретный контрпример, когда смешанные производные не могут быть равны.^[6][7]

Через шесть лет после этого Шварц удалось дать первое строгое доказательство.^[8] Дини позже внес свой вклад, найдя более общие условия, чем у Шварца. В конце концов, чистая и более общая версия была найдена Иордания в 1883 году это доказательство до сих пор можно найти в большинстве учебников. Незначительные варианты более ранних доказательств были опубликованы Лоран (1885), Пеано (1889 и 1893), Дж. Эдвардс (1892), П. Хааг (1893), Дж. К. Виттемор (1898), Виванти (1899) и Pierpont (1905). Дальнейший прогресс был достигнут в 1907-1909 гг., Когда Э. В. Хобсон и В. Х. Янг нашел доказательства с более слабыми условиями, чем у Шварца и Дини. В 1918 г. Каратеодори дал другое доказательство, основанное на Интеграл Лебега.^[7]

Теорема Шварца

В математический анализ, Теорема Шварца (или же Теорема Клеро о равенстве смешанных частных)^[9] названный в честь Алексис Клеро и Герман Шварц, утверждает, что для функции ${ Displaystyle f двоеточие Omega to mathbb {R}}$ определяется на множестве ${ displaystyle Omega subset mathbb {R} ^ {n}}$, если ${ displaystyle mathbf {p} in mathbb {R} ^ {n}}$ такая точка, что некоторые район из ${ displaystyle mathbf {p}}$ содержится в ${ displaystyle Omega}$и ${ displaystyle f}$ имеет непрерывный второй частные производные в момент ${ displaystyle mathbf {p}}$, тогда ${ displaystyle forall i, j in {1, , 2, , ldots, , n },}$

${ displaystyle { frac { partial ^ {2}} { partial x_ {i} , partial x_ {j}}} f ( mathbf {p}) = { frac { partial ^ {2} } { partial x_ {j} , partial x_ {i}}} f ( mathbf {p}).}$

В этой точке коммутируют частные производные этой функции.

Один простой способ установить эту теорему (в случае, когда ${ displaystyle n = 2}$, ${ displaystyle i = 1}$, и ${ displaystyle j = 2}$, что в общем случае влечет за собой результат) заключается в применении Теорема Грина к градиент из ${ displaystyle f.}$

Элементарное доказательство для функций на открытых подмножествах плоскости состоит в следующем (простой редукцией общий случай теоремы Шварца явно сводится к плоскому случаю).^[10] Позволять ${ displaystyle f}$ - дифференцируемая функция на открытом прямоугольнике, содержащем ${ Displaystyle (а, б)}$ и предположим, что ${ displaystyle df}$ продолжается с ${ displaystyle partial _ {x} partial _ {y} f}$ и ${ displaystyle partial _ {y} partial _ {x} f}$ оба сплошные. Определять

${ Displaystyle { begin {align} и влево (ч, , к вправо) & = е влево (а + ч, , b + к вправо) -f влево (а + ч, , b right), v left (h, , k right) & = f left (a + h, , b + k right) -f left (a, , b + k справа), w left (h, , k right) & = f left (a + h, , b + k right) -f left (a + h, , b right) -f left (a, , b + k right) + f left (a, , b right). end {align}}}$

Эти функции определены для ${ Displaystyle влево | час вправо |, , влево | к вправо | < varepsilon}$, куда ${ displaystyle varepsilon> 0}$ и ${ displaystyle left [a- varepsilon, , a + varepsilon right] times left [b- varepsilon, , b + varepsilon right] subset Omega}$.

Посредством теорема о среднем значении, промежуточные значения ${ displaystyle theta, , theta ^ { prime}, , , phi, , , phi ^ { prime}}$ можно найти в ${ displaystyle (0,1)}$ с

${ Displaystyle { begin {align} w left (h, , k right) & = u left (h, , k right) -u left (0, , k right) = h , partial _ {x} u left ( theta h, , k right) & = h , left [ partial _ {x} f left (a + theta h, , b + k right) - partial _ {x} f left (a + theta h, , b right) right] & = hk , partial _ {y} partial _ {x} f left (a + theta h, , b + theta ^ { prime} k right) w left (h, , k right) & = v left (h, , k right) -v left (h, , 0 right) = k , partial _ {y} v left (h, , phi k right) & = k left [ partial _ {y } f left (a + h, , b + phi k right) - partial _ {y} f left (a, , b + phi k right) right] & = hk , partial _ {x} partial _ {y} f left (a + phi ^ { prime} h, , b + phi k right). end {align}}}$

С ${ Displaystyle ч, , к neq 0}$, первое равенство, приведенное ниже, можно разделить на ${ displaystyle hk}$:

${ Displaystyle { begin {align} hk , partial _ {y} partial _ {x} f left (a + theta h, , b + theta ^ { prime} k right) & = hk , partial _ {x} partial _ {y} f left (a + phi ^ { prime} h, , b + phi k right), partial _ {y} partial _ { x} f left (a + theta h, , b + theta ^ { prime} k right) & = partial _ {x} partial _ {y} f left (a + phi ^ { prime } h, , b + phi k right). end {align}}}$

Сдача ${ displaystyle h, , k}$ стремятся к нулю в последнем равенстве, предположения непрерывности ${ displaystyle partial _ {y} partial _ {x} f}$ и ${ displaystyle partial _ {x} partial _ {y} f}$ теперь подразумевают, что

${ displaystyle { frac { partial ^ {2}} { partial x partial y}} f left (a, , b right) = { frac { partial ^ {2}} { partial y partial x}} f left (a, , b right).}$

Это простой классический метод, который можно найти во многих учебниках, например, в Burkill, Apostol и Rudin.^[11][12]

Хотя приведенный выше вывод является элементарным, подход также можно рассматривать с более концептуальной точки зрения, чтобы результат стал более очевидным.^{[13][14][15][16][17]} Действительно операторы разницы ${ Displaystyle Delta _ {x} ^ {t}, , , Delta _ {y} ^ {t}}$ ездить на работу и ${ displaystyle Delta _ {x} ^ {t} f, , , Delta _ {y} ^ {t} f}$ как правило ${ displaystyle partial _ {x} f, , , partial _ {y} f}$ в качестве ${ displaystyle t}$ стремится к 0 с аналогичным утверждением для операторов второго порядка.^[18] Здесь для ${ displaystyle z}$ вектор на плоскости и ${ displaystyle u}$ направленный вектор, оператор разности определяется как

${ displaystyle Delta _ {u} ^ {t} f (z) = {f (z + tu) -f (z) over t}.}$

Посредством основная теорема исчисления за ${ displaystyle C ^ {1}}$ функции ${ displaystyle f}$ на открытом интервале ${ displaystyle I}$ с ${ displaystyle (a.b) subset I}$

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f ^ { prime} (x) , dx = f (b) -f (a).}$

Следовательно

${ Displaystyle | е (б) -f (а) | Leq (б-а) , sup _ {с в (а, б)} | е ^ { простое} (с) |}$.

Это обобщенная версия теорема о среднем значении. Напомним, что элементарное обсуждение максимумов или минимумов для вещественнозначных функций означает, что если ${ displaystyle f}$ продолжается на ${ Displaystyle [а, б]}$ и дифференцируемый на ${ Displaystyle (а, б)}$, то есть точка ${ displaystyle c}$ в ${ Displaystyle (а, б)}$ такой, что

${ Displaystyle {f (b) -f (a) over b-a} = f ^ { prime} (c).}$

Для вектор-функций с ${ displaystyle V}$ в конечномерном нормированном пространстве аналога приведенного выше равенства не существует, оно действительно не выполняется. Но с тех пор ${ Displaystyle Inf е ^ { прайм} Leq е ^ { прайм} (с) Leq sup е ^ { прайм}}$, указанное выше неравенство является полезной заменой. Более того, используя спаривание двойственного ${ displaystyle V}$ с двойственной нормой дает следующее равенство:

${ Displaystyle | е (б) -f (а) | Leq (б-а) , sup _ {с в (а, б)} | е ^ { простое} (с) |}$.

Эти версии теоремы о среднем обсуждаются у Рудина, Хёрмандера и в других местах.^[19][12]

За ${ displaystyle f}$ а ${ displaystyle C ^ {2}}$ функцию на открытом множестве в плоскости, определим ${ displaystyle D_ {1} = partial _ {x}}$ и ${ displaystyle D_ {2} = partial _ {y}}$. Кроме того, для ${ Displaystyle т neq 0}$ набор

${ Displaystyle Delta _ {1} ^ {t} е (х, у) = [е (х + т, у) -f (х, у)] / т, , , , , , , Delta _ {2} ^ {t} f (x, y) = [f (x, y + t) -f (x, y)] / t}$.

Тогда для ${ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ в открытом множестве обобщенную теорему о среднем можно применить дважды:

${ displaystyle left | Delta _ {1} ^ {t} Delta _ {2} ^ {t} f (x_ {0}, y_ {0}) - D_ {1} D_ {2} f (x_ {0}, y_ {0}) right | leq sup _ {0 leq s leq 1} left | Delta _ {1} ^ {t} D_ {2} f (x_ {0}, y_ {0} + ts) -D_ {1} D_ {2} f (x_ {0}, y_ {0}) right | leq sup _ {0 leq r, s leq 1} left | D_ {1} D_ {2} f (x_ {0} + tr, y_ {0} + ts) -D_ {1} D_ {2} f (x_ {0}, y_ {0}) right |.}$

Таким образом ${ displaystyle Delta _ {1} ^ {t} Delta _ {2} ^ {t} f (x_ {0}, y_ {0})}$ как правило ${ displaystyle D_ {1} D_ {2} f (x_ {0}, y_ {0})}$ в качестве ${ displaystyle t}$ стремится к 0. Тот же аргумент показывает, что ${ displaystyle Delta _ {2} ^ {t} Delta _ {1} ^ {t} f (x_ {0}, y_ {0})}$ как правило ${ displaystyle D_ {2} D_ {1} f (x_ {0}, y_ {0})}$. Следовательно, поскольку разностные операторы коммутируют, коммутируют и операторы в частных производных ${ displaystyle D_ {1}}$ и ${ displaystyle D_ {2}}$, как утверждается.^{[20][21][22][23][24]}

Замечание. С помощью двух приложений классической теоремы о среднем значении

${ displaystyle Delta _ {1} ^ {t} Delta _ {2} ^ {t} f (x_ {0}, y_ {0}) = D_ {1} D_ {2} f (x_ {0} + t theta, y_ {0} + t theta ^ { prime})}$

для некоторых ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle theta ^ { prime}}$ в ${ displaystyle (0,1)}$. Таким образом, первое элементарное доказательство может быть переинтерпретировано с помощью разностных операторов. И наоборот, вместо использования обобщенной теоремы о среднем значении во втором доказательстве можно было бы использовать классическую теорему о среднем значении.

Доказательство теоремы Клеро с использованием повторных интегралов

Свойства повторных интегралов Римана непрерывной функции F на компактном прямоугольнике [а,б] × [c,d] легко устанавливаются.^[25] В равномерная преемственность из F сразу следует, что функции ${ Displaystyle г (х) = int _ {с} ^ {d} F (х, у) , dy}$ и ${ Displaystyle час (y) = int _ {a} ^ {b} F (x, y) , dx}$ непрерывны.^[26] Следует, что

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} int _ {c} ^ {d} F (x, y) , dy , dx = int _ {c} ^ {d} int _ { a} ^ {b} F (x, y) , dx , dy}$;

кроме того, сразу же повторный интеграл положительно, если F положительный.^[27] Приведенное выше равенство представляет собой простой случай Теорема Фубини, не включая теория меры. Титчмарш (1939) доказывает это простым способом, используя Приближающие суммы Римана соответствующие делениям прямоугольника на меньшие прямоугольники.

Чтобы доказать теорему Клеро, предположим ж дифференцируемая функция на открытом множестве U, для которых смешанные вторые частные производные ж_yx и ж_ху существуют и непрерывны. С использованием основная теорема исчисления дважды,

${ displaystyle int _ {c} ^ {d} int _ {a} ^ {b} f_ {yx} (x, y) , dx , dy = int _ {c} ^ {d} f_ {y} (b, y) -f_ {y} (a, y) , dy = f (b, d) -f (a, d) -f (b, c) + f (a, c). }$

по аналогии

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} int _ {c} ^ {d} f_ {xy} (x, y) , dy , dx = int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, d) -f_ {x} (x, c) , dx = f (b, d) -f (a, d) -f (b, c) + f (a, c). }$

Таким образом, два повторных интеграла равны. С другой стороны, поскольку ж_ху(Икс,у) непрерывна, второй повторный интеграл может быть выполнен первым интегрированием по Икс а затем после у. Но тогда повторный интеграл от ж_yx − ж_ху на [а,б] × [c,d] должен исчезнуть. Однако если повторный интеграл непрерывной функции-функции F исчезает для всех прямоугольников, тогда F должен быть тождественно нулем; в противном случае F или же −F будет строго положительным в какой-то момент и, следовательно, по непрерывности на прямоугольнике, что невозможно. Следовательно ж_yx − ж_ху должно исчезнуть одинаково, так что ж_yx = ж_ху повсюду.^{[28][29][30][31][32]}

Достаточность дважды дифференцируемости

Более слабым условием, чем непрерывность вторых частных производных (что подразумевается последними), которого достаточно для обеспечения симметрии, является то, что все частные производные сами являются дифференцируемый.^[33] Еще одно усиление теоремы, в которой существование пермутированного смешанного партиала, было представлено Пеано в короткой заметке 1890 г. Матезис:

Если ${ displaystyle f: E to mathbb {R}}$ определено на открытом множестве ${ Displaystyle E подмножество mathbb {R} ^ {2}}$; ${ Displaystyle partial _ {1} е (х, , у)}$ и ${ Displaystyle partial _ {2,1} е (х, , у)}$ существуют везде на ${ displaystyle E}$; ${ displaystyle partial _ {2,1} f}$ непрерывно на ${ displaystyle left (x_ {0}, , y_ {0} right) in E}$, и если ${ Displaystyle partial _ {2} е (х, , y_ {0})}$ существует в окрестностях ${ displaystyle x = x_ {0}}$, тогда ${ displaystyle partial _ {1,2} f}$ существует в ${ displaystyle left (x_ {0}, , y_ {0} right)}$ и ${ displaystyle partial _ {1,2} f left (x_ {0}, , y_ {0} right) = partial _ {2,1} f left (x_ {0}, , y_ {0} right)}$.^[34]

Формулировка теории распределения

Теория распределения (обобщенные функции) устраняет аналитические проблемы с симметрией. Производная от интегрируемый функцию всегда можно определить как распределение, а симметрия смешанных частных производных всегда выполняется как равенство распределений. Использование формального интеграция по частям чтобы определить дифференциацию распределений, снова ставит вопрос о симметрии тестовые функции, которые являются гладкими и заведомо удовлетворяют этой симметрии. Более подробно (где ж - это распределение, записанное как оператор над тестовыми функциями, и φ - тестовая функция),

${ displaystyle left (D_ {1} D_ {2} f right) [ phi] = - left (D_ {2} f right) left [D_ {1} phi right] = f влево [D_ {2} D_ {1} phi right] = f left [D_ {1} D_ {2} phi right] = - left (D_ {1} f right) left [D_ {2} phi right] = left (D_ {2} D_ {1} f right) [ phi].}$

Другой подход, определяющий преобразование Фурье функции, следует отметить, что при таких преобразованиях частные производные становятся операторами умножения, которые коммутируют гораздо более очевидно.^[18]

Требование преемственности

Симметрия может быть нарушена, если функция не имеет дифференцируемых частных производных, что возможно, если не выполняется теорема Клеро (вторые частные производные не являются непрерывный ).

Функция ж(Икс, у), как показано в уравнении (1), не имеет симметричных вторых производных в начале координат.

Примером несимметрии является функция (из-за Пеано )^[35][36]

${ displaystyle f (x, , y) = { begin {case} { frac {xy left (x ^ {2} -y ^ {2} right)} {x ^ {2} + y ^ {2}}} & { mbox {for}} (x, , y) neq (0, , 0), 0 & { mbox {for}} (x, , y) = (0 , , 0). End {case}}}$

(1)

Это можно визуализировать с помощью полярной формы ${ Displaystyle е (г соз ( тета), г грех ( тета)) = г ^ {2} грех (4 тета)}$; он всюду непрерывен, но его производные в (0, 0) не могут быть вычислены алгебраически. Скорее, предел коэффициентов разности показывает, что ${ displaystyle f_ {x} (0,0) = f_ {y} (0,0) = 0}$, поэтому график ${ Displaystyle г = е (х, у)}$ имеет горизонтальную касательную плоскость в точке (0, 0), а частные производные ${ displaystyle f_ {x}, f_ {y}}$ существуют и всюду непрерывны. Однако вторые частные производные не являются непрерывными при (0, 0), и симметрия нарушается. Фактически, по Икс- ось у-производная ${ displaystyle f_ {y} (х, 0) = х}$, и так:

${ displaystyle f_ {yx} (0,0) = lim _ { varepsilon to 0} { frac {f_ {y} ( varepsilon, 0) -f_ {y} (0,0)} { varepsilon}} = 1.}$

Напротив, вдоль у- ось Икс-производный ${ displaystyle f_ {x} (0, y) = - y}$, и так ${ displaystyle f_ {xy} (0,0) = - 1}$. То есть, ${ displaystyle f_ {yx} neq f_ {xy}}$ в (0, 0), хотя смешанные частные производные существуют, и в каждой другой точке симметрия сохраняется.

Вышеупомянутая функция, записанная в цилиндрической системе координат, может быть выражена как

${ Displaystyle е (г, , тета) = { гидроразрыва {г ^ {2} грех {4 тета}} {4}},}$

показывая, что функция осциллирует четыре раза, когда проходит один раз вокруг произвольно малого цикла, содержащего начало координат. Интуитивно поэтому, локальное поведение функции в (0, 0) не может быть описано как квадратичная форма, и, таким образом, матрица Гессе не может быть симметричной.

В целом обмен ограничивающими операциями не нужно ездить. Учитывая две переменные около (0, 0) и два предельных процесса на

${ Displaystyle е (час, , к) -f (час, , 0) -f (0, , к) + f (0, , 0)}$

соответствует созданию час → 0, и сделать k → 0 сначала. Это может иметь значение, если посмотреть на условия первого порядка, которые применяются в первую очередь. Это приводит к построению патологический примеры, в которых вторые производные несимметричны. Такого рода пример относится к теории реальный анализ где имеет значение поточечное значение функций. Если рассматривать как распределение, значения второй частной производной могут быть изменены в произвольном наборе точек, пока это Мера Лебега 0. Поскольку в примере гессиан симметричен везде, кроме (0, 0), нет противоречия с тем фактом, что гессиан, рассматриваемый как Распределение Шварца, является симметричным.

В теории лжи

Рассмотрим дифференциальные операторы первого порядка D_я быть инфинитезимальные операторы на Евклидово пространство. То есть, D_я в некотором смысле генерирует однопараметрическая группа из переводы параллельно с Икс_я-ось. Эти группы коммутируют друг с другом, и поэтому бесконечно малые генераторы делать также; то Кронштейн лжи

[D_я, D_j] = 0

является отражением этого свойства. Другими словами, производная Ли одной координаты по другой равна нулю.

Приложение к дифференциальным формам

Теорема Клеро-Шварца - ключевой факт, необходимый для доказательства того, что для каждого ${ Displaystyle C ^ { infty}}$ (или хотя бы дважды дифференцируемый) дифференциальная форма ${ displaystyle omega in Omega ^ {k} (M)}$, вторая внешняя производная обращается в нуль: ${ displaystyle d ^ {2} omega: = d (d omega) = 0}$. Это означает, что каждый дифференцируемый точный форма (т.е. форма ${ displaystyle alpha}$ такой, что ${ Displaystyle альфа = д омега}$ для какой-то формы ${ displaystyle omega}$) является закрыто (т.е. ${ displaystyle d alpha = 0}$), поскольку ${ Displaystyle д альфа = д (д омега) = 0}$.^[37]

В середине XVIII века теория дифференциальных форм впервые была изучена в простейшем случае 1-форм на плоскости, т. Е. ${ displaystyle Adx + Bdy}$, куда ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ - функции на плоскости. Изучение 1-форм и дифференциалов функций началось с работ Клеро 1739 и 1740 годов. На этом этапе его исследования интерпретировались как способы решения обыкновенные дифференциальные уравнения. Формально Клеро показал, что 1-форма ${ displaystyle omega = Adx + Bdy}$ на открытом прямоугольнике закрывается, т.е. ${ displaystyle d omega = 0}$, если и только ${ displaystyle omega}$ имеет форму ${ displaystyle df}$ для какой-то функции ${ displaystyle f}$ на диске. Решение для ${ displaystyle f}$ можно записать интегральной формулой Коши

${ displaystyle f (x, y) = int _ {x_ {0}} ^ {x} A (x, y) , dx + int _ {y_ {0}} ^ {y} B (x, y ) , dy;}$

а если ${ displaystyle omega = df}$, закрытое имущество ${ displaystyle d omega = 0}$ это личность ${ displaystyle partial _ {x} partial _ {y} f = partial _ {y} partial _ {x} f}$. (На современном языке это одна из версий Лемма Пуанкаре.)^[38]

Примечания

Рекомендации

• Аксой, А .; Мартелли, М. (2002), «Смешанные частные производные и теорема Фубини», Математический журнал колледжа MAA, 33 (2): 126–130, Дои:10.1080/07468342.2002.11921930, S2CID  124561972
• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ, Эддисон-Уэсли, ISBN  9780201002881
• Бурбаки, Николас (1952), "Глава III: Измерения в компактных локальных пространствах", Eléments de mathématique, Livre VI: Integration (на французском языке), Hermann et Cie
• Буркилл, Дж. (1962), Первый курс математического анализа, Издательство Кембриджского университета, ISBN  9780521294683 (перепечатано в 1978 г.)
• Картан, Анри (1971), Рассчитать дифференциал (На французском), Германн, ISBN  9780395120330
• Клеро, А.С. (1739), "Recherches générales sur le Calcul intégral", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences: 425–436
• Клеро, А.С. (1740), "Sur l'integration ou la конструкция des différentielles du premier ordre", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, 2: 293–323
• Дьедонне, Ж. (1937), "Sur les fonctions продолжает numérique définies dans une produit de deux espaces compacts", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 205: 593–595
• Дьедонне, Ж. (1960), Основы современного анализа, Чистая и прикладная математика, 10, Academic Press, ISBN  9780122155505
• Дьедонне, Ж. (1976), Трактат по анализу. Vol. II., Чистая и прикладная математика, 10-II, перевод: И. Г. Макдональд, Academic Press, ISBN  9780122155024
• Гилки, Питер; Пак, Чонхён; Васкес-Лоренцо, Рамон (2015), Аспекты дифференциальной геометрии I, Синтез лекций по математике и статистике, 15, Морган и Клейпул, ISBN  9781627056632
• Годеман, Роджер (1998a), Анализируйте математику I (PDF), Springer
• Годеман, Роджер (1998b), Анализируйте математику II (PDF), Springer
• Хобсон, Э. (1921), Теория функций действительного переменного и теория рядов Фурье. Vol. Я., Издательство Кембриджского университета
• Хёрмандер, Ларс (2015), Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I: теория распределений и анализ Фурье, Classics in Mathematics (2nd ed.), Springer, ISBN  9783642614972
• Иордания, Камилла (1893), Cours d'analyse de l'École polytechnique. Том I. Calcul différentiel (Les Grands Classiques Gauthier-Villars), Éditions Jacques Gaba]
• Кац, Виктор Дж. (1981), "История дифференциальных форм от Клеро до Пуанкаре", Historia Mathematica, 8 (2): 161–188, Дои:10.1016/0315-0860(81)90027-6
• Ланг, Серж (1969), Реальный анализ, Эддисон-Уэсли, ISBN  0201041790
• Линделёф, Э. (1867), "Remarques sur les différentes manières d'établir la formule d² z / dx dy = d² z / dy dx ", Acta Societatis Scientiarum Fennicae, 8: 205–213
• Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ, Д. Ван Ностранд
• Маршалл, Дональд Э. (2010), Неформальная заметка о теоремах Фубини и Клеро (PDF), Вашингтонский университет
• МакГрат, Питер Дж. (2014), «Еще одно доказательство теоремы Клеро», Амер. Математика. Ежемесячно, 121 (2): 165–166, Дои:10.4169 / amer.math.monthly.121.02.165, S2CID  12698408
• Начбин, Леопольдо (1965), Элементы теории приближений, Notas de Matemática, 33, Рио-де-Жанейро: Fascículo publicado pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Conselho Nacional de Pesquisas
• Рудин, Вальтер (1976), Принципы математического анализа, Международная серия по чистой и прикладной математике, McGraw-Hill, ISBN  007054235X
• Шварц, Х.А. (1873), "Коммуникация", Archives des Sciences Physiques et Naturelles, 48: 38–44
• Спивак Михаил (1965), Исчисление на многообразиях. Современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления, В. А. Бенджамин
• Тао, Теренс (2006), Анализ II (PDF), Тексты и материалы по математике, 38, Книжное агентство Индостан, Дои:10.1007/978-981-10-1804-6, ISBN  8185931631
• Титчмарш, Э. (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press

дальнейшее чтение

• "Частная производная", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]