Перевод (геометрия) - Translation (geometry)

Перевод перемещает каждую точку фигуры или пространства на одинаковую величину в заданном направлении.

В отражение красной формы относительно оси с последующим отражением результирующей зеленой формы относительно второй оси, параллельной первой, приводит к общему движению, которое является перемещением красной формы в положение синей формы.

В Евклидова геометрия, а перевод это геометрическое преобразование который перемещает каждую точку фигуры или пространства на одинаковое расстояние в заданном направлении. Перевод также можно интерпретировать как добавление константы вектор к каждой точке, или как смещение происхождение из система координат. В Евклидово пространство, любой перевод - это изометрия.

Как функция

Если ${ displaystyle mathbf {v}}$ фиксированный вектор, известный как вектор перевода, и ${ displaystyle mathbf {p}}$ - начальная позиция некоторого объекта, тогда функция перевода ${ Displaystyle Т _ { mathbf {v}}}$ будет работать как ${ Displaystyle Т _ { mathbf {v}} ( mathbf {p}) = mathbf {p} + mathbf {v}}$.

Если ${ displaystyle T}$ перевод, то изображение подмножества ${ displaystyle A}$ под функция ${ displaystyle T}$ это перевести из ${ displaystyle A}$ к ${ displaystyle T}$. Перевод ${ displaystyle A}$ к ${ Displaystyle Т _ { mathbf {v}}}$ часто пишется ${ Displaystyle А + mathbf {v}}$.

Горизонтальные и вертикальные переводы

В геометрия, а вертикальный перевод (также известен как вертикальный сдвиг) это перевод геометрического объекта в направлении, параллельном вертикальной оси Декартова система координат.^[1][2][3]

Графики различных первообразных функции ж(Икс) = 3Икс² - 2. Все являются вертикальными переводами друг друга.

Часто вертикальные переводы рассматриваются для график функции. Если ж любая функцияИкс, то график функции ж(Икс) + c (значения которых задаются добавлением постоянный c к значениям ж) может быть получен вертикальным переносом графика ж(Икс) по расстоянию c. По этой причине функция ж(Икс) + c иногда называют вертикальный перевод из ж(Икс).^[4] Например, первообразные функции все отличаются друг от друга на постоянная интеграции и поэтому являются вертикальными переводами друг друга.^[5]

В построение графиков функций, а горизонтальный перевод это трансформация что приводит к графику, который эквивалентен смещению базового графа влево или вправо в направлении Икс-ось. График переведен k единиц по горизонтали, перемещая каждую точку на графике k единиц по горизонтали.

Для базовая функция ж(Икс) и постоянный k, функция, заданная грамм(Икс) = ж(Икс − k), можно зарисовать ж(Икс) сдвинутый k единиц по горизонтали.

Если говорить о преобразовании функций в терминах геометрических преобразований, может быть понятнее, почему функции переводятся по горизонтали так, как они это делают. При обращении к переводам на Декартова плоскость переводы естественно вводить в такой нотации:

${ displaystyle (x, y) rightarrow (x + a, y + b)}$

или

${ Displaystyle Т (х, у) = (х + а, y + b)}$

куда ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$ - горизонтальные и вертикальные изменения соответственно.

Пример

Принимая парабола у = Икс² , горизонтальный сдвиг на 5 единиц вправо будет представлен Т((Икс,у)) = (Икс + 5, у). Теперь мы должны связать это обозначение преобразования с алгебраическим обозначением. Рассмотрим точку (а.б) на исходной параболе, которая движется в точку (c,d) на переведенной параболе. Согласно нашему переводу, c = а + 5 и d = б. Точка исходной параболы была б = а². Нашу новую точку зрения можно описать, связав d и c в том же уравнении. б = d и а = c - 5. Итак d = б = а² = (c − 5)² Поскольку это верно для всех точек нашей новой параболы, новое уравнение имеет вид у = (Икс − 5)².

Применение в классической физике

В классическая физика поступательное движение - это движение, которое изменяет позиция объекта, в отличие от вращение. Например, по словам Уиттакера:^[6]

Если тело перемещается из одного положения в другое, и если линии, соединяющие начальную и конечную точки каждой из точек тела, представляют собой набор параллельных прямых линий длины ℓ, так что ориентация тела в пространстве не меняется, перемещение называется перевод параллельно направлению линий на расстояние ℓ.

— Э. Т. Уиттакер: Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел., п. 1

Перевод - это операция изменения положения всех точек. ${ Displaystyle (х, у, г)}$ объекта по формуле

${ displaystyle (x, y, z) к (x + Delta x, y + Delta y, z + Delta z)}$

куда ${ Displaystyle ( Delta x, Delta y, Delta z)}$ та же вектор для каждой точки объекта. Вектор перевода ${ Displaystyle ( Delta x, Delta y, Delta z)}$ общий для всех точек объекта описывает конкретный тип смещение объекта, обычно называемого линейный смещение, чтобы отличить его от смещений, связанных с вращением, называемых угловатый смещения.

При рассмотрении пространство-время, изменение время координата считается переводом.

Как оператор

В оператор перевода поворачивает функцию исходного положения, ${ Displaystyle е ( mathbf {v})}$, в функцию конечной позиции, ${ Displaystyle е ( mathbf {v} + mathbf { delta})}$. Другими словами, ${ Displaystyle Т _ { mathbf { delta}}}$ определяется так, что ${ displaystyle T _ { mathbf { delta}} f ( mathbf {v}) = f ( mathbf {v} + mathbf { delta}).}$ Этот оператор является более абстрактным, чем функция, поскольку ${ Displaystyle Т _ { mathbf { delta}}}$ определяет отношения между двумя функциями, а не самими базовыми векторами. Оператор трансляции может работать со многими видами функций, например, когда оператор трансляции действует на волновую функцию, который изучается в области квантовой механики.

Как группа

Набор всех переводов составляет группа переводов ${ displaystyle mathbb {T}}$, которое изоморфно самому пространству, и a нормальная подгруппа из Евклидова группа ${ Displaystyle E (п)}$. В факторгруппа из ${ Displaystyle E (п)}$ к ${ displaystyle mathbb {T}}$ изоморфен ортогональная группа ${ Displaystyle О (п)}$:

${ Displaystyle Е (п) / mathbb {T} cong O (п)}$

Поскольку перевод коммутативен, группа переводов абелевский. Существует бесконечное количество возможных переводов, поэтому группа переводов является бесконечная группа.

в теория относительности, благодаря трактовке пространства и времени как единого пространство-время, переводы также могут относиться к изменениям в координата времени. Например, Галилейская группа и Группа Пуанкаре включать переводы с учетом времени.

Группы решеток

Один вид подгруппа группы трехмерного перевода являются группы решеток, которые бесконечные группы, но в отличие от групп перевода конечно порожденный. То есть конечный генераторная установка генерирует всю группу.

Матричное представление

Перевод - это аффинное преобразование с нет фиксированные точки. Матричные умножения всегда иметь происхождение как фиксированная точка. Тем не менее, есть общий обходной путь с помощью однородные координаты представлять перевод векторное пространство с матричное умножение: Написать трехмерный вектор ${ Displaystyle mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$ используя 4 однородные координаты как ${ Displaystyle mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}, 1)}$.^[7]

Чтобы перевести объект по вектор ${ displaystyle mathbf {v}}$, каждый однородный вектор ${ displaystyle mathbf {p}}$ (записанные в однородных координатах) можно умножить на это матрица перевода:

${ displaystyle T _ { mathbf {v}} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} 0 & 1 & 0 & v_ {y} 0 & 0 & 1 & v_ {z} 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}}$

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

${ displaystyle T _ { mathbf {v}} mathbf {p} = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} 0 & 1 & 0 & v_ {y} 0 & 0 & 1 & v_ {z} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} p_ {x} p_ {y} p_ {z} 1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} p_ {x} + v_ {x} p_ {y } + v_ {y} p_ {z} + v_ {z} 1 end {bmatrix}} = mathbf {p} + mathbf {v}}$

Обратную матрицу перевода можно получить, изменив направление вектора на противоположное:

${ displaystyle T _ { mathbf {v}} ^ {- 1} = T _ {- mathbf {v}}. !}$

Точно так же продукт матриц перевода получается путем сложения векторов:

${ displaystyle T _ { mathbf {v}} T _ { mathbf {w}} = T _ { mathbf {v} + mathbf {w}}. !}$

Поскольку сложение векторов коммутативный, поэтому умножение матриц трансляции также коммутативно (в отличие от умножения произвольных матриц).

Перевод осей

В то время как геометрический перенос часто рассматривается как активный процесс, который изменяет положение геометрического объекта, аналогичный результат может быть достигнуто с помощью пассивного преобразования, которое перемещает саму систему координат, но оставляет объект неподвижным. Пассивная версия активного геометрического перевода известна как перевод осей.

Трансляционная симметрия

Говорят, что объект, который выглядит одинаково до и после перевода, имеет поступательная симметрия. Типичный пример: периодические функции, которые собственные функции оператора перевода.

Смотрите также

внешняя ссылка

• Преобразование перевода в завязать узел
• Геометрический перевод (интерактивная анимация) в Math Is Fun
• Понимание 2D-перевода и Понимание 3D-перевода Роджер Гермундссон, Демонстрационный проект Wolfram.

Рекомендации

• Зазкис, Р., Лильедал, П., и Гадовски, К. Концепции трансляции функций: препятствия, интуиция и изменение маршрута. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. Получено 29 апреля 2014 г. с веб-сайта www.elsevier.com/locate/jmathb.
• Преобразования графов: горизонтальные переводы. (2006, 1 января). Биоматематика: преобразование графиков. Проверено 29 апреля 2014 г.