Оператор перевода (квантовая механика) - Википедия - Translation operator (quantum mechanics)

В квантовая механика, а оператор перевода определяется как оператор который сдвигает частицы и поля на определенную сумму в определенном направлении.

Точнее, для любого вектор смещения ${ displaystyle mathbf {x}}$, есть соответствующий оператор перевода ${ Displaystyle { шляпа {T}} ( mathbf {x})}$ который сдвигает частицы и поля на величину ${ displaystyle mathbf {x}}$.

Например, если ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ действует на частицу, находящуюся в положении ${ displaystyle mathbf {r}}$, результатом будет частица в позиции ${ Displaystyle mathbf {г + х}}$.

Операторы перевода унитарный.

Операторы перевода тесно связаны с оператор импульса; например, оператор перевода, который перемещается на бесконечно малую величину в ${ displaystyle y}$ направление имеет простое отношение к ${ displaystyle y}$-компонента оператора импульса. Из-за этих отношений сохранение импульса выполняется, когда операторы трансляции коммутируют с гамильтонианом, т.е. когда законы физики трансляционно-инвариантны. Это пример Теорема Нётер.

Действия над собственными позициями и волновыми функциями

Оператор перевода ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ перемещает частицы и поля на величину ${ displaystyle mathbf {x}}$. Следовательно, если частица находится в собственное состояние ${ displaystyle | mathbf {r} rangle}$ из оператор позиции (т.е. точно расположен в позиции ${ displaystyle mathbf {r}}$), затем после ${ Displaystyle { шляпа {T}} ( mathbf {x})}$ действует на него, частица находится в положении ${ displaystyle mathbf {r} + mathbf {x}}$:

$${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) | mathbf {r} rangle = | mathbf {r} + mathbf {x} rangle.}$$

Альтернативный (и эквивалентный) способ описания того, что определяет оператор перевода, основан на позиционном пространстве волновые функции. Если частица имеет пространственно-позиционную волновую функцию ${ displaystyle psi ( mathbf {r})}$, и ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ действует на частицу, новая волновая функция пространственного положения ${ displaystyle psi '( mathbf {r}) = { hat {T}} ( mathbf {x}) psi ( mathbf {r})}$ определяется

${ Displaystyle psi '( mathbf {r}) = psi ( mathbf {r} - mathbf {x})}$.

Это отношение легче запомнить как ${ Displaystyle psi '( mathbf {r} + mathbf {x}) = psi ( mathbf {r}),}$ который можно читать как: «Значение новой волновой функции в новой точке равно значению старой волновой функции в старой точке».^[1]

Вот пример, показывающий, что эти два описания эквивалентны. Штат ${ displaystyle | mathbf {a} rangle}$ соответствует волновой функции ${ Displaystyle psi ( mathbf {r}) = delta ( mathbf {r} - mathbf {a})}$ (куда ${ displaystyle delta}$ это Дельта-функция Дирака ), а состояние ${ Displaystyle { шляпа {T}} ( mathbf {x}) | mathbf {a} rangle = | mathbf {a} + mathbf {x} rangle}$ соответствует волновой функции ${ displaystyle psi '( mathbf {r}) = delta ( mathbf {r} - ( mathbf {a} + mathbf {x})).}$ Это действительно удовлетворяет ${ displaystyle psi '( mathbf {r}) = psi ( mathbf {r} - mathbf {x}).}$

Momentum как генератор переводов

Во вводной физике импульс обычно определяется как масса, умноженная на скорость. Однако есть более фундаментальный способ определения импульса в терминах операторов трансляции. Это более конкретно называется канонический импульс, и обычно, но не всегда, равна массе, умноженной на скорость; один контрпример - заряженная частица в магнитном поле.^[1] Это определение импульса особенно важно, потому что закон сохранение импульса применяется только к каноническому импульсу и не является универсальным, если импульс определяется вместо этого как масса, умноженная на скорость (так называемый «кинетический импульс»), по причинам, объясненным ниже.

(Канонический) оператор импульса определяется как градиент операторов перевода рядом с исходной точкой:

куда ${ displaystyle hbar}$ это приведенная постоянная Планка. Например, каков результат, когда ${ displaystyle { hat {p}} _ {x}}$ оператор действует на квантовое состояние? Чтобы найти ответ, переведите состояние на бесконечно малую величину в ${ displaystyle x}$-направление, вычислить скорость изменения состояния и умножить ее на ${ displaystyle i hbar}$. Например, если состояние вообще не меняется при переводе в ${ displaystyle x}$-направление, то его ${ displaystyle x}$-компонента импульса равна 0.

Более конкретно, ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$ является векторным оператором (т.е. вектором, состоящим из трех операторов ${ displaystyle ({ hat {p}} _ {x}, { hat {p}} _ {y}, { hat {p}} _ {z})}$), определяется:

${ displaystyle { hat {p}} _ {x} = я hbar lim _ {a rightarrow 0} { frac {{ hat {T}} (a mathbf { hat {x}}) - { hat { mathbb {I}}}} {a}}}$

куда ${ displaystyle { hat { mathbb {I}}}}$ это оператор идентификации и ${ displaystyle mathbf { hat {x}}}$ - единичный вектор в ${ displaystyle x}$-направление. (${ displaystyle { hat {p}} _ {y}, { hat {p}} _ {z}}$ определяются аналогично.)

Приведенное выше уравнение является наиболее общим определением ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$. В частном случае одиночной частицы с волновой функцией ${ displaystyle psi ( mathbf {r})}$, ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$ можно написать в более конкретной и полезной форме. В одном измерении:

${ displaystyle { begin {align} ({ hat {p}} psi) (r) & = i hbar lim _ {a rightarrow 0} { frac {({ hat {T}} ( a) psi) (r) - psi (r)} {a}} & = i hbar lim _ {a rightarrow 0} { frac { psi (ra) - psi (r) } {a}} & = - i hbar left ({ frac { partial psi} { partial r}} right) (r) end {выравнивается}}}$

или в трех измерениях,

${ displaystyle mathbf { hat {p}} = -i hbar nabla}$

как оператор, действующий на волновые функции пространственного положения. Это известное квантово-механическое выражение для ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$, но мы взяли его здесь из более простой отправной точки.

Мы определили ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$ с точки зрения операторов перевода. Также можно написать оператор перевода как функцию ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$. Метод заключается в выражении данного перевода в виде огромного числа ${ displaystyle N}$ последовательных крошечных переводов, а затем использовать тот факт, что бесконечно малые переводы могут быть записаны в терминах ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$:

${ displaystyle { begin {align} { hat {T}} ( mathbf {x}) & = lim _ {N to infty} ({ hat {T}} ( mathbf {x} / N)) ^ {N} & = lim _ {N rightarrow infty} left [1 - { frac {i mathbf {x} cdot mathbf { hat {p}}} {N hbar}} right] ^ {N} end {align}}}$

что дает окончательное выражение:

куда ${ displaystyle exp}$ это оператор экспоненциальный а правая часть - это Серия Тейлор расширение. Для очень маленьких ${ displaystyle mathbf {x}}$, можно использовать приближение:

${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) приблизительно 1-я mathbf {x} cdot mathbf { hat {p}} / hbar}$

Следовательно оператор импульса называется генератор перевода.^[2]

Хороший способ еще раз проверить правильность этих соотношений - это выполнить разложение Тейлора оператора трансляции, действующего на волновую функцию пространственного положения. Расширяя экспоненту на все заказы, оператор перевода генерирует в точности полную Расширение Тейлора тестовой функции:

${ displaystyle { begin {align} psi ( mathbf {r} - mathbf {x}) & = { hat {T}} ( mathbf {x}) psi ( mathbf {r}) & = exp left (- { frac {i mathbf {x} cdot mathbf { hat {p}}} { hbar}} right) psi ( mathbf {r}) & = left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} (- { frac {i} { hbar}} mathbf {x} cdot mathbf { hat {p}}) ^ {n} right) psi ( mathbf {r}) & = left ( sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1 } {n!}} (- mathbf {x} cdot mathbf { nabla}) ^ {n} right) psi ( mathbf {r}) & = psi ( mathbf {r} ) - mathbf {x} cdot mathbf { nabla} psi ( mathbf {r}) + { frac {1} {2!}} ( mathbf {x} cdot mathbf { nabla} ) ^ {2} psi ( mathbf {r}) - точки конец {выровнены}}}$

Таким образом, каждый оператор перевода генерирует в точности ожидаемый перевод тестовой функции, если функция аналитический в некоторой области комплексной плоскости.

Характеристики

Последовательные переводы

• ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1}) { hat {T}} ( mathbf {x} _ {2}) = { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1} + mathbf {x} _ {2})}$

Другими словами, если частицы и поля перемещаются на величину ${ displaystyle mathbf {x} _ {2}}$ а затем по сумме ${ displaystyle mathbf {x} _ {1}}$, в целом они были перемещены на сумму ${ displaystyle mathbf {x} _ {1} + mathbf {x} _ {2}}$. Для математического доказательства можно посмотреть, что эти операторы делают с частицей в собственном состоянии позиции:

${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1}) { hat {T}} ( mathbf {x} _ {2}) | mathbf {r} rangle = { шляпа {T}} ( mathbf {x} _ {1}) | mathbf {x} _ {2} + mathbf {r} rangle = | mathbf {x} _ {1} + mathbf {x } _ {2} + mathbf {r} rangle = { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1} + mathbf {x} _ {2}) | mathbf {r} rangle }$

Поскольку операторы ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1}) { hat {T}} ( mathbf {x} _ {2})}$ и ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1} + mathbf {x} _ {2})}$ одинаково влияют на каждое состояние на собственном базисе, отсюда следует, что операторы равны.

Обратный

Операторы перевода обратимы, а их обратные:

• ${ Displaystyle ({ шляпа {T}} ( mathbf {x})) ^ {- 1} = { шляпа {T}} (- mathbf {x})}$

Это следует из свойства "последовательные переводы" выше и того факта, что ${ Displaystyle { шляпа {T}} ( mathbf {0}) = { шляпа { mathbb {I}}}}$, то есть перевод на расстояние 0 совпадает с оператором идентичности, который оставляет все состояния неизменными.

Операторы переводов ездят друг с другом

• ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) { hat {T}} ( mathbf {y}) = { hat {T}} ( mathbf {y}) { hat { T}} ( mathbf {x})}$

потому что обе стороны равны ${ Displaystyle { шляпа {T}} ( mathbf {x} + mathbf {y})}$.^[1]

Операторы перевода унитарные

Если ${ displaystyle psi ( mathbf {r})}$ и ${ displaystyle phi ( mathbf {r})}$ две волновые функции в пространстве позиций, то внутренний продукт из ${ displaystyle psi}$ с ${ displaystyle phi}$ является:

${ Displaystyle int d ^ {3} mathbf {r} , psi ^ {*} ( mathbf {r}) phi ( mathbf {r})}$

в то время как внутренний продукт ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {a}) psi}$ с ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {a}) phi}$ является:

${ displaystyle int d ^ {3} mathbf {r} , psi ^ {*} ( mathbf {r} - mathbf {a}) phi ( mathbf {r} - mathbf {a} )}$

При замене переменных эти два внутренних продукта в точности совпадают. Следовательно, операторы перевода унитарный, и в частности:

• ${ displaystyle ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ { dagger} = ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ {- 1}.}$

Тот факт, что операторы сдвига унитарны, означает, что оператор импульса имеет вид Эрмитский.^[1]

Перевод на бюстгальтер

Оператор перевода, работающий с бюстгальтером в позиции eigenbasis, дает:

• ${ displaystyle langle mathbf {r} | { hat {T}} ( mathbf {x}) = langle mathbf {r} - mathbf {x} |}$

Доказательство:

${ Displaystyle { шляпа {T}} ( mathbf {x}) | mathbf {r} rangle = | mathbf {r} + mathbf {x} rangle}$ Его прилегающий выражение: ${ displaystyle langle mathbf {r} | ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ { dagger} = langle mathbf {r} + mathbf {x} |}$ Используя результаты выше, ${ displaystyle ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ { dagger} = ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ {- 1} = { hat {T}} (- mathbf {x})}$: ${ displaystyle langle mathbf {r} | { hat {T}} (- mathbf {x}) = langle mathbf {r} + mathbf {x} |}$ Замена ${ displaystyle mathbf {x}}$ к ${ displaystyle - mathbf {x}}$, ${ displaystyle langle mathbf {r} | { hat {T}} ( mathbf {x}) = langle mathbf {r} - mathbf {x} |}$

Разделение перевода на компоненты

Согласно приведенному выше свойству "последовательные переводы" перевод по вектору ${ Displaystyle mathbf {x} = (х, y, z)}$ можно записать как продукт переводов по компонентным направлениям:

• ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) = { hat {T}} (x mathbf { hat {x}}) , { hat {T}} (y ​​ mathbf { hat {y}}) , { hat {T}} (z mathbf { hat {z}})}$

куда ${ displaystyle mathbf { hat {x}}, mathbf { hat {y}}, mathbf { hat {z}}}$ являются единичными векторами.

Коммутатор с оператором положения

Предполагать ${ displaystyle | mathbf {r} rangle}$ является собственный вектор оператора позиции ${ displaystyle mathbf { hat {r}}}$ с собственное значение ${ displaystyle mathbf {r}}$. У нас есть

${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) mathbf { hat {r}} | mathbf {r} rangle = { hat {T}} ( mathbf {x}) mathbf {r} | mathbf {r} rangle = mathbf {r} | mathbf {x} + mathbf {r} rangle}$

пока

${ displaystyle mathbf { hat {r}} { hat {T}} ( mathbf {x}) | mathbf {r} rangle = { hat { mathbf {r}}} | mathbf { x} + mathbf {r} rangle = ( mathbf {x} + mathbf {r}) | mathbf {x} + mathbf {r} rangle}$

Следовательно коммутатор между оператором перевода и оператором позиции:

• ${ displaystyle [ mathbf { hat {r}}, { hat {T}} ( mathbf {x})] эквив mathbf { hat {r}} { hat {T}} ( mathbf {x}) - { hat {T}} ( mathbf {x}) mathbf { hat {r}} = mathbf {x} { hat {T}} ( mathbf {x})}$

Это также можно записать (используя указанные выше свойства) как:

• ${ displaystyle ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ {- 1} mathbf { hat {r}} { hat {T}} ( mathbf {x}) = mathbf { hat {r}} + mathbf {x} { hat { mathbb {I}}}}$

куда ${ displaystyle { hat { mathbb {I}}}}$ это оператор идентификации.

Коммутатор с оператором импульса

Поскольку все операторы трансляции коммутируют друг с другом (см. Выше), и поскольку каждый компонент оператора импульса является суммой двух масштабированных операторов трансляции (например, ${ displaystyle { hat {p}} _ {y} = lim _ { epsilon rightarrow 0} { frac {i hbar} { epsilon}} left ({ hat {T}} (( 0, epsilon, 0)) - { hat {T}} ((0,0,0)) right)}$), то все операторы сдвига коммутируют с оператором импульса, т. е.

• ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x}) { hat { mathbf {p}}} = { hat { mathbf {p}}} { hat {T}} ( mathbf {Икс} )}$

Эта коммутация с оператором импульса обычно выполняется, даже если система не изолирована, где энергия или импульс могут не сохраняться.

Группа переводов

Набор ${ Displaystyle { mathfrak {T}}}$ операторов перевода ${ Displaystyle { шляпа {T}} ( mathbf {x})}$ для всех ${ displaystyle mathbf {x}}$, с операцией умножения, определяемой как результат последовательных переводов (т.е. функциональная композиция ), удовлетворяет всем аксиомам группа:

• Закрытие: Когда вы делаете два перевода подряд, в результате получается один другой перевод. (См. Свойство «последовательные переводы» выше.)
• Наличие идентичности: Перевод по вектору ${ displaystyle mathbf {0}}$ это оператор идентификации, т.е. оператор, ни на что не влияющий. Он функционирует как элемент идентичности группы.
• У каждого элемента есть обратное: Как показано выше, любой оператор перевода ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ является инверсией обратного перевода ${ displaystyle { hat {T}} (- mathbf {x})}$.
• Ассоциативность: Это утверждение, что ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x} _ {1}) left ({ hat {T}} ( mathbf {x} _ {2}) { hat {T}} ( mathbf {x} _ {3}) right) = left ({ hat {T}} ( mathbf {x} _ {1}) { hat {T}} ( mathbf {x} _ { 2}) right) { hat {T}} ( mathbf {x} _ {3})}$. Это верно по определению, как и в случае любой группы, основанной на функциональная композиция.

Следовательно, множество ${ Displaystyle { mathfrak {T}}}$ операторов перевода ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ для всех ${ displaystyle mathbf {x}}$ образует группа.^[3] Поскольку существует непрерывно бесконечное число элементов, группа переводов является непрерывной группой. Более того, операторы трансляции коммутируют между собой, т.е. результат двух трансляций. (перевод, за которым следует другой) не зависит от их порядка. Следовательно, группа переводов - это абелева группа.^[4]

Группа переводов, действующая на Гильбертово пространство собственных состояний позиции изоморфный к группе вектор дополнения в Евклидово пространство.

Ожидаемые значения позиции и импульса в переведенном состоянии

Рассмотрим одну частицу в одном измерении. В отличие от классическая механика, в квантовой механике частица не имеет четко определенного положения или четко определенного импульса. В квантовой формулировке ожидаемые значения^[5] играют роль классических переменных. Например, если частица находится в состоянии ${ displaystyle | psi rangle}$, то математическое ожидание позиции равно ${ Displaystyle langle psi | mathbf { hat {r}} | psi rangle}$, куда ${ displaystyle mathbf { hat {r}}}$ - оператор позиции.

Если оператор перевода ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ действует на государство ${ displaystyle | psi rangle}$, создавая новое состояние ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$ тогда математическое ожидание позиции для ${ displaystyle | psi _ {2} rangle}$ равно математическому ожиданию позиции для ${ displaystyle | psi rangle}$ плюс вектор ${ displaystyle mathbf {x}}$. Этот результат согласуется с тем, что вы ожидаете от операции, сдвигающей частицу на эту величину.

Доказательство того, что оператор перевода изменяет математическое ожидание позиции ожидаемым образом:

Предполагать ${ Displaystyle | psi _ {2} rangle = { hat {T}} ( mathbf {x}) | psi rangle}$ как указано выше. ${ displaystyle { begin {align} langle psi _ {2} | { hat { mathbf {r}}} | psi _ {2} rangle & = ( langle psi | ({ hat {T}} ( mathbf {x})) ^ { dagger}) { hat { mathbf {r}}} ({ hat {T}} ( mathbf {x}) | psi rangle) & = langle psi | { hat { mathbf {r}}} | psi rangle + mathbf {x} end {align}}}$ используя условие нормировки ${ Displaystyle langle psi | psi rangle = 1}$, и коммутаторный результат, доказанный в предыдущем разделе.

С другой стороны, когда оператор трансляции действует на состояние, математическое ожидание импульса равно нет измененный. Это может быть доказано аналогично предыдущему, но с использованием того факта, что операторы сдвига коммутируют с оператором импульса. Этот результат снова согласуется с ожиданиями: перемещение частицы не изменяет ее скорость или массу, поэтому ее импульс не должен изменяться.

Трансляционная инвариантность

В квантовой механике Гамильтониан представляет энергию и динамику системы. Позволять ${ Displaystyle | mathbf {r} _ {T} rangle Equiv { hat {T}} | mathbf {r} rangle}$быть недавно переведенным состоянием (аргумент ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ здесь не имеет значения и временно опущен для краткости). Гамильтониан называется инвариантным, если

${ displaystyle langle mathbf {r} _ {T} | { hat {H}} | mathbf {r} _ {T} rangle = langle mathbf {r} | { hat {H}} | mathbf {r} rangle}$

или же

${ displaystyle langle mathbf {r} | { hat {T}} ^ {- 1} { hat {H}} { hat {T}} | mathbf {r} rangle = langle mathbf {r} | { hat {H}} | mathbf {r} rangle}$

Отсюда следует, что

${ displaystyle { hat {T}} ^ {- 1} { hat {H}} { hat {T}} = { hat {H}}}$

${ displaystyle { hat {H}} { hat {T}} - { hat {T}} { hat {H}} = [{ hat {H}}, { hat {T}}] = 0}$

Таким образом, если гамильтониан инвариантен относительно сдвига, гамильтониан коммутирует с оператором сдвига (грубо говоря, если мы переводим систему, затем измеряем ее энергию, а затем переводим обратно, это равносильно прямому измерению ее энергии) .

Непрерывная трансляционная симметрия

Сначала рассмотрим случай, когда все операторы трансляции - это симметрии системы. Как мы увидим, в этом случае сохранение импульса происходит.

Например, если ${ displaystyle { hat {H}}}$ гамильтониан, описывающий все частицы и поля во Вселенной, и ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ является оператором трансляции, который сдвигает все частицы и поля во Вселенной одновременно на одинаковую величину, тогда это всегда симметрия: ${ displaystyle { hat {H}}}$ описывает полные законы физики в нашей Вселенной, которые не зависят от местоположения. Как следствие, сохранение импульса универсально.

С другой стороны, возможно ${ displaystyle { hat {H}}}$ и ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ относятся только к одной частице. Тогда операторы перевода ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ являются точными симметриями, только если частица находится одна в вакууме. Соответственно, импульс отдельной частицы обычно не сохраняется (он изменяется, когда частица сталкивается с другими объектами), но он является сохраняется, если частица находится одна в вакууме.

Поскольку гамильтониан коммутирует с оператором сдвига, когда перенос инвариантен

${ displaystyle left [{ hat {H}}, { hat {T}} ( mathbf {x}) right] = 0 ,,}$

он также коммутирует с оператором бесконечно малого преобразования

${ displaystyle { begin {align} & left [{ hat {H}}, 1 - { frac {i mathbf {x} cdot { hat { mathbf {p}}}} {N hbar}} right] = 0 & Rightarrow [{ hat {H}}, { hat { mathbf {p}}}] = 0 & Rightarrow { frac {d} {dt} } langle { hat { mathbf {p}}} rangle = { frac {i} { hbar}} [{ hat {H}}, { hat { mathbf {p}}}] = 0 конец {выровнено}}}$

Таким образом, всякий раз, когда гамильтониан системы остается инвариантным относительно непрерывного сдвига, система имеет сохранение импульса, что означает, что ожидаемое значение оператора импульса остается постоянным. Это пример Теорема Нётер.

Дискретная трансляционная симметрия

Есть еще один частный случай, когда гамильтониан может быть трансляционно-инвариантным. Этот тип трансляционной симметрии наблюдается, когда потенциал равен периодический:^[6]

${ Displaystyle V (r_ {j} pm a) = V (r_ {j})}$

В общем случае гамильтониан не инвариантен относительно любого сдвига, представленного ${ displaystyle { hat {T}} _ {j} (x_ {j})}$ с ${ displaystyle x_ {j}}$ произвольно, где ${ displaystyle { hat {T}} _ {j} (x_ {j})}$ имеет свойство:

${ displaystyle { hat {T}} _ {j} (x_ {j}) | r_ {j} rangle = | r_ {j} + x_ {j} rangle}$

и,

${ displaystyle ({ hat {T}} _ {j} (x_ {j})) ^ { dagger} { hat {r}} _ {j} { hat {T}} _ {j} ( x_ {j}) = { hat {r}} _ {j} + x_ {j} { hat { mathbb {I}}}}$

(куда ${ displaystyle { hat { mathbb {I}}}}$ это оператор идентификации; см. доказательство выше).

Но всякий раз, когда ${ displaystyle x_ {j}}$ совпадает с периодом потенциального ${ displaystyle a}$,

${ displaystyle ({ hat {T}} _ {j} (a)) ^ { dagger} V ({ hat {r}} _ {j}) { hat {T}} _ {j} ( а) = V ({ hat {r}} _ {j} + a { hat { mathbb {I}}}) = V ({ hat {r}} _ {j})}$

Поскольку кинетическая энергетическая часть гамильтониана ${ displaystyle { hat {H}}}$ уже инвариантно относительно любого произвольного перевода, будучи функцией ${ displaystyle mathbf { hat {p}}}$, весь гамильтониан удовлетворяет

${ displaystyle ({ hat {T}} _ {j} (a)) ^ { dagger} { hat {H}} { hat {T}} _ {j} (a) = { hat { ЧАС}}}$

Теперь гамильтониан коммутирует с оператором сдвига, т.е. они могут быть одновременно диагонализованный. Следовательно, гамильтониан инвариантен относительно такого переноса (который больше не остается непрерывным). Перевод становится дискретным с периодом потенциала.

Дискретный перенос в периодическом потенциале: теорема Блоха

Ионы в идеальный кристалл расположены в регулярном периодическом массиве. Итак, мы приходим к проблеме электрона в потенциале ${ Displaystyle V ( mathbf {r})}$ с периодичностью основного Решетка Браве

${ Displaystyle В ( mathbf {г + R}) = В ( mathbf {г})}$

для всех векторов решетки Браве ${ displaystyle mathbf {R}}$

Однако идеальная периодичность - это идеализация. Настоящие твердые тела никогда не бывают абсолютно чистыми, и в окрестностях примесных атомов твердое тело не такое же, как где-либо еще в кристалле. Более того, ионы на самом деле не являются стационарными, а постоянно подвергаются тепловым колебаниям около своего положения равновесия. Они разрушают идеальное поступательная симметрия кристалла. Для решения этого типа проблем основная проблема искусственно разделена на две части: (а) идеальный фиктивный совершенный кристалл, в котором потенциал действительно периодичен, и (б) влияние на свойства гипотетического совершенного кристалла всех отклонения от идеальной периодичности, рассматриваемые как малые возмущения.

Хотя проблема электронов в твердом теле в принципе является многоэлектронной проблемой, в независимое электронное приближение каждый электрон подвергается одноэлектронному Уравнение Шредингера с периодическим потенциалом и известен как Блоховский электрон^[7] (в отличие от свободные частицы, к которому блоховские электроны сводятся, когда периодический потенциал тождественно равен нулю.)

Для каждого вектора решетки Браве ${ displaystyle mathbf {R}}$ мы определяем оператор перевода ${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}}}$ который при работе с любой функцией ${ Displaystyle F ( mathbf {r})}$ сдвигает аргумент на ${ displaystyle mathbf {R}}$:

${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}} f ( mathbf {r}) = f ( mathbf {r} + mathbf {R})}$

Поскольку все переводы образуют абелеву группу, результат применения двух последовательных переводов не зависит от порядка, в котором они применяются, т. Е.

${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {1}} { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {2}} = { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {2}} { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {1}} = { hat {T}} _ { mathbf {R_ {1} + R_ { 2}}}}$

Кроме того, поскольку гамильтониан периодичен, мы имеем

${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}} { hat {H}} = { hat {H}} { hat {T}} _ { mathbf {R}}}$

Следовательно ${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}}}$ для всех векторов решетки Браве ${ displaystyle mathbf {R}}$ и гамильтониан ${ displaystyle { hat {H}}}$ сформировать набор коммутирующих операторов. Следовательно, собственные состояния ${ displaystyle { hat {H}}}$ могут быть выбраны как одновременные собственные состояния всех ${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}}}$:

${ displaystyle { hat {H}} psi = { mathcal {E}} psi}$

${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}} psi = c ( mathbf {R}) psi}$

Собственные значения ${ Displaystyle с ( mathbf {R})}$ операторов перевода связаны из-за условия:

${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {1}} { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {2}} = { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {2}} { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {1}} = { hat {T}} _ { mathbf {R_ {1} + R_ { 2}}}}$

У нас есть,

${ displaystyle { begin {align} { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {1}} { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {2}} psi & = c ( mathbf {R} _ {1}) { hat {T}} _ { mathbf {R} _ {2}} psi & = c ( mathbf {R} _ {1}) с ( mathbf {R} _ {2}) psi end {выравнивается}}}$

И,

${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R_ {1} + R_ {2}}} psi = c ( mathbf {R} _ {1} + mathbf {R} _ {2} ) psi}$

Следовательно,

${ Displaystyle с ( mathbf {R} _ {1} + mathbf {R} _ {2}) = с ( mathbf {R} _ {1}) с ( mathbf {R} _ {2}) }$

Теперь пусть ${ Displaystyle mathbf {а} _ {я}}$- это три примитивных вектора для решетки Браве. Подходящим выбором ${ displaystyle x_ {i}}$, мы всегда можем написать ${ Displaystyle с ( mathbf {а} _ {я})}$ в виде

${ Displaystyle с ( mathbf {а} _ {я}) = е ^ {2 пи ix_ {я}}}$

Если ${ displaystyle mathbf {R}}$ - общий вектор решетки Браве, задаваемый формулой

${ displaystyle mathbf {R} = n_ {1} mathbf {a} _ {1} + n_ {2} mathbf {a} _ {2} + n_ {3} mathbf {a} _ {3} }$

из этого следует,

${ displaystyle { begin {align} c ( mathbf {R}) & = c (n_ {1} mathbf {a} _ {1} + n_ {2} mathbf {a} _ {2} + n_ {3} mathbf {a} _ {3}) & = c (n_ {1} mathbf {a} _ {1}) c (n_ {2} mathbf {a} _ {2}) c (n_ {3} mathbf {a} _ {3}) & = c ( mathbf {a} _ {1}) ^ {n_ {1}} c ( mathbf {a} _ {2}) ^ {n_ {2}} c ( mathbf {a} _ {3}) ^ {n_ {3}} end {выровнено}}}$

Подстановка ${ Displaystyle с ( mathbf {а} _ {я}) = е ^ {2 пи ix_ {я}}}$ один получает,

${ Displaystyle { begin {align} c ( mathbf {R}) & = e ^ {2 pi i (n_ {1} x_ {1} + n_ {2} x_ {2} + n_ {3} x_ {3})} & = e ^ {я mathbf {k} cdot mathbf {R}} end {выравнивается}}}$

куда ${ displaystyle mathbf {k} = x_ {1} mathbf {b} _ {1} + x_ {2} mathbf {b} _ {2} + x_ {3} mathbf {b} _ {3} }$ и ${ displaystyle mathbf {b} _ {i}}$это обратная решетка векторы, удовлетворяющие уравнению ${ displaystyle mathbf {b} _ {i} cdot mathbf {a} _ {j} = 2 pi delta _ {ij}}$

Следовательно, можно выбрать одновременные собственные состояния ${ displaystyle psi}$ гамильтониана ${ displaystyle { hat {H}}}$ и ${ displaystyle { hat {T}} _ { mathbf {R}}}$ так что для каждого вектора решетки Браве ${ displaystyle mathbf {R}}$,

${ Displaystyle { begin {align} psi ( mathbf {r + R}) & = { hat {T}} _ { mathbf {R}} psi ( mathbf {r}) & = c ( mathbf {R}) psi ( mathbf {r}) & = e ^ {i mathbf {k} cdot mathbf {R}} psi ( mathbf {r}) end { выровнен}}}$

Так,

Этот результат известен как Теорема Блоха.

Временная эволюция и трансляционная инвариантность

Трансляционная инвариантность: временная эволюция волновых функций.

В картине пассивного преобразования трансляционная инвариантность требует,

${ Displaystyle [{ шляпа {T}} ( mathbf {x}), { шляпа {H}}] = 0}$

Следует, что

${ Displaystyle [{ шляпа {T}} ( mathbf {x}), { шляпа {U}} (т)] = 0}$

куда ${ displaystyle { hat {U}} (т)}$ - унитарный оператор эволюции во времени.^[8] Когда гамильтониан не зависящий от времени,

${ displaystyle { hat {U}} (t) = exp left ({ frac {-i { hat {H}} t} { hbar}} right)}$

Если гамильтониан зависит от времени, указанное выше коммутационное соотношение выполняется, если ${ displaystyle { hat {p}}}$ или же ${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {x})}$ ездит с ${ displaystyle { hat {H}} (т)}$ для всех т.к.

Пример

Предположим в ${ displaystyle t = 0}$ два наблюдателя A и B готовят идентичные системы на ${ displaystyle x = 0}$ и ${ Displaystyle х = а}$ (рис.1) соответственно. Если ${ displaystyle | psi (0) rangle}$ - вектор состояния системы, подготовленной A, тогда вектор состояния системы, подготовленной B, будет иметь вид

${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {a}) | psi (0) rangle}$

Обе системы выглядят одинаково для наблюдателей, которые их подготовили. По истечении времени ${ displaystyle t}$, векторы состояния эволюционируют в ${ displaystyle { hat {U}} (t) | psi (0) rangle}$ и ${ displaystyle { hat {U}} (t) { hat {T}} ( mathbf {a}) | psi (0) rangle}$ соответственно. Используя указанное выше коммутационное соотношение, последнее можно записать как,

${ displaystyle { hat {T}} ( mathbf {a}) { hat {U}} (t) | psi (0) rangle}$

это просто переведенная версия системы, подготовленная A в то время ${ displaystyle t}$. Следовательно, две системы, которые отличались только переводом на ${ displaystyle t = 0}$, отличаются только одним и тем же переводом в любой момент времени. Временная эволюция обеих систем кажется наблюдателям, которые их подготовили, одинаковыми. Можно сделать вывод, что трансляционная инвариантность гамильтониана означает, что один и тот же эксперимент, повторенный в двух разных местах, даст один и тот же результат (как это видят местные наблюдатели).

Смотрите также

• Состояние Блоха
• Группа
• Периодическая функция
• Оператор сдвига
• Симметрии в квантовой механике
• Симметрия перевода времени
• Трансляционная симметрия

Рекомендации