Обратная решетка - Reciprocal lattice

Компьютерная обратная решетка вымышленного моноклинический 3D кристалл.

Двумерный кристалл и его обратная решетка

В физика, то обратная решетка представляет преобразование Фурье другой решетки (обычно Решетка Браве ). При обычном использовании исходная решетка (преобразование которой представлено обратной решеткой) обычно является периодической пространственной функцией в реальном пространстве и также известна как прямая решетка. В то время как прямая решетка существует в реальном пространстве и является тем, что обычно называют физической решеткой, обратная решетка существует в обратном пространстве (также известном как импульсное пространство или реже как K-пространство, из-за связи между Понтрягин дуалы импульс и позиция). В взаимный обратной решетки является исходной прямой решеткой, поскольку они являются преобразованиями Фурье друг друга. Математически векторы прямой и обратной решетки представляют собой ковариантные и контравариантные векторы соответственно.

Обратная решетка играет очень фундаментальную роль в большинстве аналитических исследований периодических структур, особенно в теория дифракции. В нейтрон и Рентгеновский дифракция, из-за Условия Лауэ, разность импульсов падающего и дифрагированного рентгеновских лучей кристалла является вектором обратной решетки. Дифракционная картина кристалла может использоваться для определения обратных векторов решетки. Используя этот процесс, можно сделать вывод об атомном расположении кристалла.

В Зона Бриллюэна это Ячейка Вигнера-Зейтца обратной решетки.

Математическое описание

Предполагая двумерный Решетка Браве

${ displaystyle mathbf {R} _ {n} = n_ {1} mathbf {a} _ {1} + n_ {2} mathbf {a} _ {2}}$ где ${ displaystyle n_ {1}, n_ {2} in mathbb {Z}}$.

Принимая функцию ${ Displaystyle F ( mathbf {r})}$ где ${ displaystyle mathbf {r}}$ вектор из начала координат в любую позицию, если ${ Displaystyle F ( mathbf {r})}$ следует периодичности решетки, например электронную плотность в атомном кристалле, полезно написать ${ Displaystyle F ( mathbf {r})}$ как Ряд Фурье

${ Displaystyle сумма _ {м} {е_ {м} е ^ {я mathbf {G} _ {m} cdot mathbf {r}}} = е влево ( mathbf {r} right)}$

Так как ${ Displaystyle F ( mathbf {r})}$ следует периодичности решетки, переводя ${ displaystyle mathbf {r}}$ любым вектором решетки ${ displaystyle mathbf {R} _ {n}}$ мы получаем то же значение, следовательно

${ Displaystyle е ( mathbf {r} + mathbf {R} _ {n}) = f ( mathbf {r})}$

Выражая вышеизложенное через их ряды Фурье, мы имеем

${ displaystyle sum _ {m} {f_ {m} e ^ {i mathbf {G} _ {m} cdot mathbf {r}}} = sum _ {m} {f_ {m} e ^ {я mathbf {G} _ {m} cdot ( mathbf {r} + mathbf {R} _ {n})}} = e ^ {i mathbf {G} _ {m} cdot mathbf {R} _ {n}} sum _ {m} {f_ {m} e ^ {i mathbf {G} _ {m} cdot mathbf {r}}}}$

Чтобы это было правдой, ${ Displaystyle е ^ {я mathbf {G} _ {m} cdot mathbf {R} _ {n}} = 1}$, которое выполняется только тогда, когда

${ displaystyle mathbf {G} _ {m} cdot mathbf {R} _ {n} = 2 pi delta _ {mn} N}$ где ${ displaystyle N in mathbb {Z}}$.

где ${ displaystyle delta _ {mn}}$ это Дельта Кронекера. Этот критерий ограничивает значения ${ displaystyle mathbf {G} _ {m}}$ векторам, удовлетворяющим этому соотношению. Математически обратная решетка - это совокупность всех векторов ${ displaystyle mathbf {G} _ {m}}$ которые удовлетворяют указанному выше тождеству для всех векторов положения точек решетки ${ displaystyle mathbf {R} _ {n}}$. По существу, любая функция, которая демонстрирует ту же периодичность решетки, может быть выражена в виде ряда Фурье с угловыми частотами, взятыми из обратной решетки.

Эта обратная решетка сама по себе является решеткой Браве, а обратная решетка является исходной решеткой, которая обнаруживает Понтрягинская двойственность их соответствующих векторных пространств.

Для бесконечной двумерной решетки, определяемой ее примитивные векторы ${ displaystyle left ( mathbf {a} _ {1}, mathbf {a} _ {2} right)}$, его обратная решетка может быть определена путем генерирования двух обратных примитивных векторов по следующим формулам:

${ displaystyle mathbf {G} _ {m} = m_ {1} mathbf {b} _ {1} + m_ {2} mathbf {b} _ {2}}$

Куда,

${ displaystyle { begin {align} mathbf {b} _ {1} & = 2 pi { frac {- mathbf {R} , mathbf {a} _ {2}} {- mathbf { a} _ {1} cdot mathbf {R} , mathbf {a} _ {2}}} = 2 pi { frac { mathbf {R} , mathbf {a} _ {2} } { mathbf {a} _ {1} cdot mathbf {R} , mathbf {a} _ {2}}} mathbf {b} _ {2} & = 2 pi { frac { mathbf {R} , mathbf {a} _ {1}} { mathbf {a} _ {2} cdot mathbf {R} , mathbf {a} _ {1}}} end {выровнено}}}$

Вот ${ displaystyle mathbf {R}}$ представляет 90 градусов матрица вращения.

Для бесконечной трехмерной решетки, определяемой ее примитивные векторы ${ displaystyle left ( mathbf {a_ {1}}, mathbf {a} _ {2}, mathbf {a} _ {3} right)}$, его обратная решетка может быть определена путем создания трех его взаимных примитивных векторов по формулам

${ displaystyle mathbf {G} _ {m} = m_ {1} mathbf {b} _ {1} + m_ {2} mathbf {b} _ {2} + m_ {3} mathbf {b} _ {3}}$

где для скалярное тройное произведение ${ displaystyle V = mathbf {a} _ {1} cdot left ( mathbf {a} _ {2} times mathbf {a} _ {3} right)}$:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {b} _ {1} & = { frac {2 pi} {V}} mathbf {a} _ {2} times mathbf {a} _ {3} mathbf {b} _ {2} & = { frac {2 pi} {V}} mathbf {a} _ {3} times mathbf {a} _ {1} mathbf {b} _ {3} & = { frac {2 pi} {V}} mathbf {a} _ {1} times mathbf {a} _ {2} end {выровнено} }}$

Используя представление вектор-столбцов (взаимных) примитивных векторов, приведенные выше формулы можно переписать с помощью инверсия матриц:

${ displaystyle left [ mathbf {b} _ {1} mathbf {b} _ {2} mathbf {b} _ {3} right] ^ { mathsf {T}} = 2 pi left [ mathbf {a} _ {1} mathbf {a} _ {2} mathbf {a} _ {3} right] ^ {- 1}.}$

Этот метод обращается к определению и допускает обобщение до произвольных размеров. Формула кросс-продукта преобладает во вводных материалах по кристаллографии.

Приведенное выше определение называется "физическим" определением, поскольку фактор ${ displaystyle 2 pi}$ естественно возникает из изучения периодических структур. Эквивалентное определение, определение «кристаллографа», происходит от определения обратной решетки как ${ Displaystyle е ^ {2 пи я mathbf {K} cdot mathbf {R}} = 1}$ что меняет определения векторов обратной решетки на

${ displaystyle mathbf {b} _ {1} = { frac { mathbf {a} _ {2} times mathbf {a} _ {3}} { mathbf {a} _ {1} cdot left ( mathbf {a} _ {2} times mathbf {a} _ {3} right)}}}$

и так далее для остальных векторов. Определение кристаллографа имеет то преимущество, что определение ${ displaystyle mathbf {b} _ {1}}$ это просто обратная величина ${ Displaystyle mathbf {а} _ {1}}$ в направлении ${ Displaystyle mathbf {а} _ {2} times mathbf {а} _ {3}}$, отбрасывая коэффициент ${ displaystyle 2 pi}$. Это может упростить определенные математические манипуляции и выразить размеры обратной решетки в единицах измерения пространственная частота. Какое определение решетки использовать - дело вкуса, если они не смешиваются.

Каждая точка ${ displaystyle (hkl)}$ в обратной решетке соответствует набору плоскостей решетки ${ displaystyle (hkl)}$ в реальное пространство решетка. Направление вектора обратной решетки соответствует направлению нормальный к реальным космическим самолетам. Величина вектора обратной решетки приведена в обратная длина и равно величине, обратной межплоскостному расстоянию реальных космических плоскостей.

Обратные решетки различных кристаллов

Ответные решетки для кубическая кристаллическая система являются следующими.

Простая кубическая решетка

Простая кубическая Решетка Браве, с кубической примитивная клетка стороны ${ displaystyle a}$, имеет в качестве обратной простой кубическую решетку с кубической примитивной ячейкой со стороной ${ displaystyle textstyle { frac {2 pi} {a}}}$ (${ displaystyle textstyle { frac {1} {a}}}$ в определении кристаллографа). Поэтому кубическая решетка называется самодуальной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве.

Гранецентрированная кубическая (ГЦК) решетка

Обратной решеткой для ГЦК-решетки является объемно-центрированная кубическая (ОЦК) решетка.

Рассмотрим составную элементарную ячейку FCC. Найдите примитивную элементарную ячейку FCC; т.е. элементарная ячейка с одной точкой решетки. Теперь возьмем одну из вершин примитивной элементарной ячейки за начало координат. Приведите базисные векторы реальной решетки. Затем по известным формулам можно вычислить базисные векторы обратной решетки. Эти векторы обратной решетки FCC представляют собой базисные векторы реальной решетки BCC. Обратите внимание, что базисные векторы реальной ОЦК-решетки и обратной решетки ГЦК похожи друг на друга по направлению, но не по величине.

Объемно-центрированная кубическая (ОЦК) решетка

Обратная решетка к BCC решетка FCC решетка.

Легко доказать, что только решетки Браве с углом 90 градусов между ${ displaystyle left ( mathbf {a} _ {1}, mathbf {a} _ {2}, mathbf {a} _ {3} right)}$ (кубическая, тетрагональная, ромбическая) имеют ${ displaystyle left ( mathbf {b} _ {1}, mathbf {b} _ {2}, mathbf {b} _ {3} right)}$ параллельно их векторам в реальном пространстве.

Простая шестиугольная решетка

Обратно простой гексагональной решетке Браве с постоянные решетки c и a - еще одна простая гексагональная решетка с постоянными решетки ${ displaystyle textstyle { frac {2 pi} {c}}}$ и ${ displaystyle textstyle { frac {4 pi} {a { sqrt {3}}}}}$ повернутой на 30 ° вокруг оси c относительно прямой решетки. Поэтому простая гексагональная решетка называется самодуальной, имеющей ту же симметрию в обратном пространстве, что и в реальном пространстве. Векторы a 1 = (a (3) 1/2 / 2) i + (a / 2) j; a 2 = - (a (3) 1/2 / 2) i + (a / 2) j ve a 3 = a k

Произвольный набор атомов

Тень обратной решетки интенсивности граненого углерод-пентакона из 118 атомов, светящаяся красным при дифракции при пересечении сферы Эвальда.

Один путь к обратной решетке произвольного набора атомов исходит из идеи рассеянных волн в Фраунгофер (дальнее расстояние или задняя фокальная плоскость объектива) как В стиле Гюйгенса сумма амплитуд от всех точек рассеяния (в данном случае от каждого отдельного атома).^[1] Эта сумма обозначается комплексная амплитуда F в уравнении ниже, потому что это также преобразование Фурье (как функция пространственной частоты или обратного расстояния) эффективного потенциала рассеяния в прямом пространстве:

${ Displaystyle F [{ vec {g}}] = sum _ {j = 1} ^ {N} f_ {j} left [{ vec {g}} right] e ^ {2 pi i { vec {g}} cdot { vec {r}} _ {j}}.}$

Вот г = q/ (2π) - вектор рассеяния q в единицах кристаллографа, N - число атомов, f_j[г] это фактор атомного рассеяния для атома j и вектора рассеяния г, в то время как р_j - векторное положение атома j. Обратите внимание, что фаза Фурье зависит от выбора начала координат.

Для частного случая бесконечного периодического кристалла амплитуда рассеяния F = M F_hkl из M элементарных ячеек (как и в описанных выше случаях) оказывается ненулевым только для целых значений ${ displaystyle (hkl)}$, где

${ displaystyle F_ {hkl} = sum _ {j = 1} ^ {m} f_ {j} left [g_ {hkl} right] e ^ {2 pi i left (hu_ {j} + kv_ {j} + lw_ {j} right)}}$

когда внутри элементарной ячейки находится j = 1, m атомов, дробные индексы решетки которых соответственно равны {u_j, v_j, w_j}. Чтобы учесть эффекты, связанные с конечным размером кристалла, конечно, вместо этого следует использовать свертку формы для каждой точки или приведенное выше уравнение для конечной решетки.

Независимо от того, является ли массив атомов конечным или бесконечным, можно также представить себе «обратную решетку интенсивности» I [г], которая связана с решеткой амплитуд F обычным соотношением I = F^*F где F^* является комплексно сопряженным к F. Поскольку преобразование Фурье обратимо, этот акт преобразования в интенсивность отбрасывает "всю, кроме 2-го момента" (т.е. фазу) информацию. Следовательно, для случая произвольного набора атомов обратная решетка интенсивности имеет вид:

${ displaystyle I [{ vec {g}}] = sum _ {j = 1} ^ {N} sum _ {k = 1} ^ {N} f_ {j} left [{ vec {g }} right] f_ {k} left [{ vec {g}} right] e ^ {2 pi i { vec {g}} cdot { vec {r}} _ {jk}} .}$

Вот р_jk - векторное разделение между атомом j и атомом k. Это также можно использовать для прогнозирования влияния формы нанокристаллитов и тонких изменений ориентации луча на обнаруженные дифракционные пики, даже если в некоторых направлениях толщина кластера составляет всего один атом. С другой стороны, при расчетах рассеяния с использованием обратной решетки в основном рассматривается падающая плоская волна. Таким образом, после первого взгляда на эффекты обратной решетки (кинематического рассеяния), уширение пучка и многократное рассеяние (т. Е. динамичный ) эффекты также могут быть важны для рассмотрения.

Обобщение дуальной решетки.

На самом деле есть две версии в математика абстрактного двойная решетка концепция, для данного решетка L в реальном векторное пространство V, из конечная размерность.

Первый, который непосредственно обобщает конструкцию обратной решетки, использует Анализ Фурье. Это можно выразить просто в терминах Понтрягинская двойственность. В двойная группа V^ к V снова является вещественным векторным пространством, и его замкнутая подгруппа L^ двойной к L оказывается решеткой в V^. Следовательно, L^ - естественный кандидат на двойная решетка, в другом векторном пространстве (той же размерности).

Другой аспект проявляется в наличии квадратичная форма Q на V; если это невырожденный это позволяет идентифицировать двойное пространство V^* из V с участием V. Отношение V^* к V не является внутренним; это зависит от выбора Мера Хаара (элемент объема) на V. Но учитывая отождествление этих двух, что в любом случае четко определенный до скаляр, Наличие Q позволяет говорить с дуальной решеткой о L оставаясь внутри V.

В математика, то двойная решетка данного решетка L в абелевский локально компактный топологическая группа г это подгруппа L^∗ из двойная группа из г состоящий из всех непрерывных символов, равных единице в каждой точке L.

В дискретной математике решетка - это локально дискретный набор точек, описываемый всеми целыми линейными комбинациями dim = n линейно независимых векторов в R^п. Двойная решетка затем определяется всеми точками в линейной оболочке исходной решетки (обычно все из R ^ n) со свойством, что целое число является результатом внутреннего произведения со всеми элементами исходной решетки. Отсюда следует, что двойственная к двойственной решетке - исходная решетка.

Кроме того, если мы позволим матрице B иметь столбцы в качестве линейно независимых векторов, описывающих решетку, то матрица

${ Displaystyle A = B left (B ^ { mathsf {T}} B right) ^ {- 1}}$имеет столбцы векторов, описывающих двойственную решетку.

Взаимное пространство

Взаимное пространство (также называемое «k-пространством») - это пространство, в котором представлено преобразование Фурье пространственной функции (аналогично частотная область это пространство, в котором преобразование Фурье функции, зависящей от времени). Преобразование Фурье переводит нас из «реального пространства» в обратное пространство или наоборот. В отношении волновой механики в игру вступает взаимное пространство: плоская волна можно записать колебательным членом ${ Displaystyle е ^ {я (кх- омега т)}}$ с волновым вектором ${ displaystyle k}$ и угловая частота ${ displaystyle omega}$, его можно рассматривать как функцию ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle x}$ (и спектроскопическая часть как функция обоих ${ displaystyle omega}$ и ${ displaystyle t}$). В пространстве периодичность колеблется с ${ displaystyle kx = 2 pi}$ - поэтому для данной фазы ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle x}$ взаимны друг с другом: ${ Displaystyle к = 2 пи / х}$ и ${ Displaystyle х = 2 пи / к}$.

Обратная решетка - это периодический набор точек в этом пространстве, содержащий ${ displaystyle { vec {k}}}$ точки, составляющие преобразование Фурье периодической пространственной решетки. В Зона Бриллюэна представляет собой объем в этом пространстве, который содержит все уникальные k-векторы, которые представляют периодичность классических или квантовых волн, разрешенных в периодической структуре.

Смотрите также

• Кристаллография
• Двойная основа
• Сфера Эвальда
• Индекс Миллера
• Порошковая дифракция
• Линия Кикучи
• Зона Бриллюэна
• Ось зоны

использованная литература

внешние ссылки

• http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html - Jmol имитатор дифракции электронов позволяет исследовать пересечение обратной решетки и сферы Эвальда во время наклона.
• Пакет преподавания и обучения DoITPoMS по взаимному пространству и взаимной решетке
• Легко изучите кристаллографию и узнайте, как обратная решетка объясняет явление дифракции, как показано в главах 4 и 5.