Решетка (дискретная подгруппа) - Википедия - Lattice (discrete subgroup)

Часть дискретного Группа Гейзенберга, дискретная подгруппа непрерывной группы Ли Гейзенберга. (Цвет и края предназначены только для наглядности.)

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В Теория лжи и смежных областях математики, решетка в локально компактная группа это дискретная подгруппа с тем свойством, что факторное пространство имеет конечный инвариантная мера. В частном случае подгрупп р^п, это составляет обычный геометрическое понятие решетки как периодическое подмножество точек, и как алгебраическая структура решеток, так и геометрия пространства всех решеток относительно хорошо изучены.

Теория особенно богата решетками в полупростых группах Ли или, в более общем смысле, в решетках. полупростые алгебраические группы над местные поля. В частности, в этой ситуации есть множество результатов о жесткости и знаменитая теорема Григорий Маргулис утверждает, что в большинстве случаев все решетки получаются как арифметические группы.

Решетки также хорошо изучены в некоторых других классах групп, в частности в группах, связанных с Алгебры Каца – Муди и группы автоморфизмов регулярных деревья (последние известны как решетки из дерева).

Решетки представляют интерес во многих областях математики: геометрическая теория групп (как особенно хорошие примеры дискретные группы ), в дифференциальная геометрия (через построение локально однородных многообразий), в теории чисел (через арифметические группы ), в эргодическая теория (через изучение однородных потоки на факторпространствах) и в комбинаторика (путем строительства расширение Графики Кэли и другие комбинаторные объекты).

Общие сведения о решетках

Неформальное обсуждение

Решетки лучше всего рассматривать как дискретные приближения непрерывных групп (таких как группы Ли). Например, интуитивно понятно, что подгруппа ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {п}}$ целочисленных векторов "выглядит" как реальное векторное пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ в некотором смысле, хотя обе группы существенно разные: одна конечно порожденный и счетный, а другой нет (как группа) и имеет мощность континуума.

Строгое определение значения выражения «приближение непрерывной группы дискретной подгруппой» в предыдущем абзаце, чтобы получить понятие, обобщающее пример ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {n} subset mathbb {R} ^ {n}}$ это вопрос того, для чего он предназначен. Возможно, наиболее очевидная идея состоит в том, чтобы сказать, что подгруппа «аппроксимирует» большую группу, состоит в том, что большая группа может быть покрыта трансляциями «малого» подмножества всех элементов в подгруппах. В локально компактной топологической группе сразу доступны два понятия «малый»: топологическое (a компактный, или же относительно компактное подмножество ) или теоретико-меры (подмножество конечной меры Хаара). Обратите внимание, что поскольку мера Хаара является Мера Бореля, в частности придает конечную массу компактным подмножествам, второе определение является более общим. Определение решетки, используемое в математике, основывается на втором значении (в частности, для включения таких примеров, как ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z}) subset mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$), но и первая имеет свой интерес (такие решетки называются равномерными).

Определение

Позволять ${ displaystyle G}$ - локально компактная группа и ${ displaystyle Gamma}$ дискретная подгруппа (это означает, что существует окрестность ${ displaystyle U}$ элемента идентичности ${ displaystyle e_ {G}}$ из ${ displaystyle G}$ такой, что ${ displaystyle Gamma cap U = {e_ {G} }}$). потом ${ displaystyle Gamma}$ называется решеткой в ${ displaystyle G}$ если кроме того существует Мера Бореля ${ displaystyle mu}$ на факторпространстве ${ Displaystyle G / Gamma}$ который конечен (т.е. ${ Displaystyle му (G / Gamma) <+ infty}$) и ${ displaystyle G}$-инвариантный (то есть для любого ${ displaystyle g in G}$ и любое открытое подмножество ${ Displaystyle W подмножество G / Gamma}$ равенство ${ Displaystyle му (gW) = му (W)}$ доволен).

Чуть более сложная формулировка выглядит следующим образом: предположим дополнительно, что ${ displaystyle G}$ унимодулярна, то поскольку ${ displaystyle Gamma}$ дискретно, оно также унимодулярно и по общим теоремам существует единственное ${ displaystyle G}$-инвариантная борелевская мера на ${ Displaystyle G / Gamma}$ вплоть до масштабирования. потом ${ displaystyle Gamma}$ является решеткой тогда и только тогда, когда эта мера конечна.

В случае дискретных подгрупп эта инвариантная мера локально совпадает с Мера Хаара а значит, дискретная подгруппа в локально компактной группе ${ displaystyle G}$ решетка равносильна тому, что она имеет фундаментальную область (для действия на ${ displaystyle G}$ левыми переводами) конечного объема для меры Хаара.

Решетка ${ displaystyle Gamma subset G}$ называется униформа когда факторное пространство ${ Displaystyle G / Gamma}$ компактна (и неоднородный иначе). Эквивалентно дискретная подгруппа ${ displaystyle Gamma subset G}$ является равномерной решеткой тогда и только тогда, когда существует компактное подмножество ${ Displaystyle C подмножество G}$ с ${ Displaystyle G = bigcup {} _ { gamma in Gamma} , C gamma}$. Обратите внимание, что если ${ displaystyle Gamma}$ любая дискретная подгруппа в ${ displaystyle G}$ такой, что ${ Displaystyle G / Gamma}$ компактно, то ${ displaystyle Gamma}$ автоматически является решеткой в ${ displaystyle G}$.

Первые примеры

Основным и наиболее простым примером является подгруппа ${ Displaystyle mathbb {Z} ^ {п}}$ которая является решеткой в ​​группе Ли ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$. Чуть более сложный пример - дискретная Группа Гейзенберга внутри непрерывной группы Гейзенберга.

Если ${ displaystyle G}$ дискретная группа, то решетка в ${ displaystyle G}$ это в точности подгруппа ${ displaystyle Gamma}$ конечного индекса (т.е. фактормножество ${ Displaystyle G / Gamma}$ конечно).

Все эти примеры одинаковы. Неоднородный пример дает модульная группа ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$ внутри ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$, а также многомерными аналогами ${ displaystyle mathrm {SL} _ {n} ( mathbb {Z}) subset mathrm {SL} _ {n} ( mathbb {R})}$.

Любая подгруппа конечного индекса решетки также является решеткой в ​​той же группе. В более общем плане подгруппа соизмеримый к решетке есть решетка.

В каких группах есть решетки?

Не каждая локально компактная группа содержит решетку, и для этого нет общего теоретико-группового достаточного условия. С другой стороны, существует множество более конкретных настроек, в которых существуют такие критерии. Например, наличие или отсутствие решеток в Группы Ли это хорошо понятная тема.

Как уже упоминалось, необходимое условие для того, чтобы группа содержала решетку, состоит в том, что группа должна быть унимодулярный. Это позволяет легко построить группы без решеток, например группу обратимых верхнетреугольные матрицы или аффинные группы. Также не очень сложно найти унимодулярные группы без решеток, например, некоторые нильпотентные группы Ли, как описано ниже.

Более сильным условием, чем унимодулярность, является простота. Этого достаточно, чтобы влечь за собой существование решетки в группе Ли, но в более общем случае локально компактных групп существуют простые группы без решеток, например «группы Неретина».^[1]

Решетки в разрешимых группах Ли

Нильпотентные группы Ли

Для нильпотентных групп теория значительно упрощается по сравнению с общим случаем и остается аналогичной случаю абелевых групп. Все решетки в нильпотентной группе Ли равномерны, и если ${ displaystyle N}$ это связанный односвязный нильпотентная группа Ли (то есть она не содержит нетривиальной компактной подгруппы), то дискретная подгруппа является решеткой тогда и только тогда, когда она не содержится в собственной связной подгруппе^[2] (это обобщает тот факт, что дискретная подгруппа в векторном пространстве является решеткой тогда и только тогда, когда она охватывает векторное пространство).

Нильпотентная группа Ли содержит решетку тогда и только тогда, когда она может быть определена над рациональными числами, то есть тогда и только тогда, когда ее структурные константы - рациональные числа.^[3] Более точно, в нильпотентной группе, удовлетворяющей этому условию, решетки через экспоненциальное отображение соответствуют решеткам (в более элементарном смысле Решетка (группа) ) в алгебре Ли.

Решетка в нильпотентной группе Ли ${ displaystyle N}$ всегда конечно порожденный (и поэтому конечно представленный поскольку он сам по себе нильпотентен); на самом деле он создается не более чем ${ displaystyle dim (N)}$ элементы.^[4]

Наконец, нильпотентная группа изоморфна решетке в нильпотентной группе Ли тогда и только тогда, когда она содержит подгруппу конечного индекса, не имеющую кручения и конечно порожденную.

Общий случай

Приведенный выше критерий наличия решетки нильпотентных групп Ли не применяется к более общим разрешимым группам Ли. Остается верным, что любая решетка в разрешимой группе Ли равномерна^[5] и что решетки в разрешимых группах конечно определены.

Не все конечно порожденные разрешимые группы являются решетками в группе Ли. Алгебраический критерий состоит в том, что группа полициклический.^[6]

Решетки в полупростых группах Ли

Арифметические группы и существование решеток

Если ${ displaystyle G}$ полупростой линейная алгебраическая группа в ${ Displaystyle mathrm {GL} _ {п} ( mathbb {R})}$ которое определено над полем ${ displaystyle mathbb {Q}}$ из рациональное число (т.е. полиномиальные уравнения, определяющие ${ displaystyle G}$ имеют свои коэффициенты в ${ displaystyle mathbb {Q}}$), то в нем есть подгруппа ${ Displaystyle Gamma = G cap mathrm {GL} _ {n} ( mathbb {Z})}$. Основная теорема Арман Борель и Хариш-Чандра утверждает, что ${ displaystyle Gamma}$ всегда решетка в ${ displaystyle G}$; простейшим примером этого является подгруппа ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z}) subset mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$.

Обобщая приведенную выше конструкцию, получаем понятие арифметическая решетка в полупростой группе Ли. Поскольку все полупростые группы Ли могут быть определены над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ следствие арифметической конструкции состоит в том, что любая полупростая группа Ли содержит решетку.

Несводимость

Когда группа Ли ${ displaystyle G}$ раскалывается как продукт ${ displaystyle G = G_ {1} times G_ {2}}$ очевидна конструкция решеток в ${ displaystyle G}$ из меньших групп: если ${ displaystyle Gamma _ {1} subset G_ {1}, Gamma _ {2} subset G_ {2}}$ решетки, то ${ displaystyle Gamma _ {1} times Gamma _ {2} subset G}$ также является решеткой. Грубо говоря, решетка тогда называется несводимый если это не из этой конструкции.

Более формально, если ${ Displaystyle G = G_ {1} times ldots times G_ {r}}$ это разложение ${ displaystyle G}$ на простые факторы, решетка ${ displaystyle Gamma subset G}$ называется неприводимым, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

• Проекция ${ displaystyle Gamma}$ к любому фактору ${ displaystyle G_ {i_ {1}} times ldots times G_ {i_ {k}}}$ плотный;
• Пересечение ${ displaystyle Gamma}$ с любым фактором ${ displaystyle G_ {i_ {1}} times ldots times G_ {i_ {k}}}$ не решетка.

Пример неприводимой решетки дается подгруппой ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z} [{ sqrt {2}}])}$ которую мы рассматриваем как подгруппу ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R}) times mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$ через карту ${ Displaystyle г mapsto (г, sigma (г))}$ куда ${ displaystyle sigma}$ отображение Галуа, отправляющее матрицу с коэффициентами ${ displaystyle a_ {i} + b_ {i} { sqrt {2}}}$ к ${ displaystyle a_ {i} -b_ {i} { sqrt {2}}}$.

Ранг 1 против более высокого ранга

В настоящий ранг группы Ли - это максимальная размерность абелевой подгруппы, содержащей только полупростой элементы. Полупростые группы Ли вещественного ранга 1 без компактных факторов (с точностью до изогения ) те, что в следующем списке (см. Список простых групп Ли ):

• В ортогональные группы ${ Displaystyle mathrm {SO} (п, 1)}$ из действительные квадратичные формы подписи ${ Displaystyle (п, 1)}$ за ${ Displaystyle п geq 2}$;
• В унитарные группы ${ Displaystyle mathrm {SU} (п, 1)}$ из Эрмитские формы подписи ${ Displaystyle (п, 1)}$ за ${ Displaystyle п geq 2}$;
• Группы ${ Displaystyle mathrm {Sp} (п, 1)}$ (группы матриц с кватернион коэффициенты, сохраняющие "кватернионную квадратичную форму" сигнатуры ${ Displaystyle (п, 1)}$) за ${ Displaystyle п geq 2}$;
• В исключительная группа Ли ${ displaystyle F_ {4} ^ {- 20}}$ (действительная форма ранга 1, соответствующая исключительной алгебре Ли ${ displaystyle F_ {4}}$).

Реальный ранг группы Ли оказывает существенное влияние на поведение содержащихся в ней решеток. В частности, поведение решеток в первых двух семействах групп (и в меньшей степени, чем решеток в последних двух) сильно отличается от поведения неприводимых решеток в группах более высокого ранга. Например:

• Во всех группах существуют неарифметические решетки ${ Displaystyle mathrm {SO} (п, 1)}$, в ${ Displaystyle mathrm {SU} (2,1), mathrm {SU} (3,1)}$,^[7][8] и, возможно, в ${ Displaystyle mathrm {SU} (п, 1), п geq 4}$ (последний открытый вопрос ) но все неприводимые решетки в остальных арифметические;^[9][10]
• Решетки в группах Ли ранга 1 имеют бесконечный бесконечный индекс нормальные подгруппы а все нормальные подгруппы неприводимых решеток более высокого ранга либо имеют конечный индекс, либо содержатся в их центре;^[11][12]
• Предположительно, арифметические решетки в группах более высокого ранга имеют свойство подгруппы конгруэнции^[13] но есть много решеток в ${ Displaystyle mathrm {SO} (п, 1), mathrm {SU} (п, 1)}$ которые имеют неконгруэнтные подгруппы конечного индекса.^[14]

Имущество Каждан (Т)

Свойство, известное как (T), было введено Кажданом для изучения решеток алгебраических структур в определенных группах Ли, когда классические, более геометрические методы не работали или, по крайней мере, не были столь эффективны. Фундаментальный результат при изучении решеток следующий:^[15]

Решетка в локально компактной группе обладает свойством (T) тогда и только тогда, когда сама группа обладает свойством (T).

С помощью гармонический анализ можно классифицировать полупростые группы Ли в зависимости от того, обладают ли они этим свойством или нет. Как следствие, мы получаем следующий результат, дополнительно иллюстрирующий дихотомию предыдущего раздела:

• Решетки в ${ Displaystyle mathrm {SO} (п, 1), mathrm {SU} (п, 1)}$ не обладают свойством Каждана (T), в то время как неприводимые решетки во всех других простых группах Ли обладают;

Свойства конечности

Решетки в полупростых группах Ли всегда конечно определены. Для равномерных решеток это прямое следствие кокомпактности. В неоднородном случае это можно доказать с помощью теории редукции.^[16] Однако гораздо более быстрое доказательство - использование Имущество Каждан (Т) когда возможно.

Римановы многообразия, ассоциированные с решетками в группах Ли

Левоинвариантные метрики

Если ${ displaystyle G}$ группа Ли, то из внутренний продукт ${ displaystyle g_ {e}}$ на касательном пространстве ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ (алгебра Ли ${ displaystyle G}$) можно построить Риманова метрика на ${ displaystyle G}$ следующим образом: если ${ displaystyle v, w}$ принадлежат касательному пространству в точке ${ displaystyle gamma in G}$ положить ${ displaystyle g _ { gamma} (v, w) = g_ {e} ( gamma ^ {*} v, gamma ^ {*} w)}$ куда ${ displaystyle gamma ^ {*}}$ указывает на касательная карта (в ${ displaystyle gamma}$) диффеоморфизма ${ Displaystyle х mapsto gamma ^ {- 1} х}$ из ${ displaystyle G}$.

Карты ${ Displaystyle х mapsto gamma x}$ за ${ displaystyle gamma in G}$ являются по определению изометриями этой метрики ${ displaystyle g}$. В частности, если ${ displaystyle Gamma}$ любая дискретная подгруппа в ${ displaystyle G}$ (чтобы он действовал свободно и правильно прерывисто слева-переводы на ${ displaystyle G}$) частное ${ displaystyle Gamma backslash G}$ является римановым многообразием, локально изометричным ${ displaystyle G}$ с метрикой ${ displaystyle g}$.

В Риманова форма объема связано с ${ displaystyle g}$ определяет меру Хаара на ${ displaystyle G}$ и мы видим, что фактормногообразие имеет конечный риманов объем тогда и только тогда, когда ${ displaystyle Gamma}$ это решетка.

Интересные примеры в этом классе римановых пространств включают компактные плоские коллекторы и нильмногообразия.

Локально-симметричные пространства

Натуральный внутренний продукт на ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ дается Форма убийства. Если ${ displaystyle G}$ не является компактным, он не является определенным и, следовательно, не внутренним продуктом: однако, когда ${ displaystyle G}$ полупростой и ${ displaystyle K}$ максимальная компактная подгруппа, ее можно использовать для определения ${ displaystyle G}$-инвариантная метрика на однородное пространство ${ Displaystyle X = G / K}$: такие римановы многообразия называются симметричные пространства некомпактного типа без евклидовых факторов.

Подгруппа ${ displaystyle Gamma subset G}$ действует свободно, правильно и прерывно на ${ displaystyle X}$ тогда и только тогда, когда он дискретный и без кручения. Факторы ${ displaystyle Gamma backslash X}$ называются локально симметричными пространствами. Таким образом, существует биективное соответствие между полными локально симметричными пространствами, локально изоморфными ${ displaystyle X}$ конечного риманова объема и решеток без кручения в ${ displaystyle G}$. Это соответствие можно распространить на все решетки, добавив орбифолды с геометрической стороны.

Решетки в p-адических группах Ли

Класс групп со свойствами, аналогичными (по отношению к решеткам) вещественным полупростым группам Ли, - это полупростые алгебраические группы над локальными полями характеристики 0, например p-адические поля ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$. Существует арифметическая конструкция, аналогичная действительному случаю, и дихотомия между более высоким рангом и рангом один также сохраняется в этом случае, но в более заметной форме. Позволять ${ displaystyle G}$ быть алгебраической группой над ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$ сплит-${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$-классифицировать р. Потом:

• Если р не меньше 2 всех неприводимых решеток в ${ displaystyle G}$ арифметические;
• если г = 1 тогда существует несчетное количество классов соизмеримости неарифметических решеток.^[17]

В последнем случае все решетки фактически являются свободными группами (с точностью до конечного индекса).

S-арифметические группы

В более общем плане можно рассматривать решетки в группах вида

${ Displaystyle G = prod _ {p in S} G_ {p}}$

куда ${ displaystyle G_ {p}}$ является полупростой алгебраической группой над ${ displaystyle mathbb {Q} _ {p}}$. Обычно ${ displaystyle p = infty}$ разрешено, и в этом случае ${ displaystyle G _ { infty}}$ настоящая группа Ли. Пример такой решетки дает

${ displaystyle mathrm {SL} _ {2} left ( mathbb {Z} left [{ frac {1} {p}} right] right) subset mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R}) times mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Q} _ {p})}$.

Эту арифметическую конструкцию можно обобщить, чтобы получить понятие S-арифметическая группа. Теорема арифметичности Маргулиса применима и к этой ситуации. В частности, если хотя бы два фактора ${ displaystyle G_ {p}}$ некомпактны, то любая неприводимая решетка в ${ displaystyle G}$ является S-арифметическим.

Решетки в адельных группах

Если ${ Displaystyle mathrm {G}}$ является полупростой алгебраической группой над числовое поле ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle mathbb {A}}$ это adèle кольцо тогда группа ${ Displaystyle G = mathrm {G} ( mathbb {A})}$ адельных точек определена корректно (по модулю некоторых технических деталей), и это локально компактная группа, которая естественным образом содержит группу ${ Displaystyle mathrm {G} (F)}$ из ${ displaystyle F}$-рациональная точка как дискретная подгруппа. Теорема Бореля – Хариш-Чандры распространяется на этот случай, и ${ Displaystyle mathrm {G} (F) подмножество mathrm {G} ( mathbb {A})}$ это решетка.^[18]

В сильная аппроксимационная теорема связывает частное ${ Displaystyle mathrm {G} (F) обратная косая черта mathrm {G} ( mathbb {A})}$ к более классическим S-арифметическим факторам. Этот факт делает группы Адель очень эффективными инструментами в теории автоморфные формы. В частности современные формы формула следа обычно формулируются и доказываются для адельных групп, а не для групп Ли.

Жесткость

Результаты жесткости

Другая группа явлений, касающихся решеток в полупростых алгебраических группах, известна как жесткость. Вот три классических примера результатов в этой категории.

Местная жесткость результаты показывают, что в большинстве случаев каждая подгруппа, которая достаточно «близка» к решетке (в интуитивном смысле, формализованная Топология Chabauty ) фактически сопряжена с исходной решеткой элементом объемлющей группы Ли. Следствие локальной жесткости и Теорема Каждана-Маргулиса это теорема Ванга: в данной группе (с фиксированной мерой Хаара) для любой v> 0 существует лишь конечное число (с точностью до сопряжения) решеток, ковомер которых ограничен v.

В Теорема жесткости Мостова утверждает, что для решеток в простых группах Ли, не локально изоморфных ${ Displaystyle mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {R})}$ (группа матриц 2 на 2 с определителем 1) любой изоморфизм решеток по существу индуцируется изоморфизмом между самими группами. В частности, решетка в группе Ли «запоминает» объемлющую группу Ли через ее групповую структуру. Первое утверждение иногда называют сильная жесткость и это связано с Джордж Мостоу и Гопал Прасад (Мостов доказал его для кокомпактных решеток, а Прасад распространил его на общий случай).

Сверхжесткость предоставляет (для групп Ли и алгебраических групп над локальными полями более высокого ранга) обобщение, касающееся гомоморфизмов из решетки в алгебраической группе грамм в другую алгебраическую группу ЧАС. Это было доказано Григорием Маргулисом и является важным элементом доказательства его теоремы об арифметичности.

Нежесткость в малых габаритах

Единственные группы, для которых жесткость Мостова не выполняется, - это все группы, локально изоморфные ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {R})}$. В этом случае на самом деле решеток непрерывно много, и они порождают Пространства Тейхмюллера.

Неоднородные решетки в группе ${ Displaystyle mathrm {PSL} _ {2} ( mathbb {C})}$ не являются локально жесткими. Фактически они являются точками скопления (в топологии Шабо) решеток меньшего кообъема, как демонстрирует гиперболическая хирургия Дена.

Поскольку решетки в p-адических группах ранга 1 являются практически свободными группами, они очень нежесткие.

Решетки из дерева

Определение

Позволять ${ displaystyle T}$ - дерево с кокомпактной группой автоморфизмов; Например, ${ displaystyle T}$ может быть обычный или же двурегулярный дерево. Группа автоморфизмов${ Displaystyle mathrm {Aut} (T)}$ из ${ displaystyle T}$ является локально компактной группой (если наделить компактно-открытая топология, в котором базис окрестностей единицы задают стабилизаторы конечных поддеревьев, которые компактны). Любая группа, являющаяся решеткой в ​​некотором ${ Displaystyle mathrm {Aut} (T)}$ тогда называется решетка из дерева.

Дискретность в этом случае легко увидеть по действию группы на дереве: подгруппа ${ Displaystyle mathrm {Aut} (T)}$ дискретно тогда и только тогда, когда все стабилизаторы вершин являются конечными группами.

Из базовой теории действий групп на деревьях легко видеть, что равномерные решетки деревьев являются практически свободными группами. Таким образом, более интересными решетками деревьев являются неоднородные, эквивалентные тем, для которых фактор-граф ${ displaystyle Gamma backslash T}$ бесконечно. Существование таких решеток увидеть непросто.

Решетки деревьев из алгебраических групп

Если ${ displaystyle F}$ является локальным полем положительной характеристики (т. е. пополнение функциональное поле кривой над конечным полем, например полем формальных Лоран степенной ряд ${ Displaystyle mathbb {F} _ {p} ((т))}$) и ${ displaystyle G}$ алгебраическая группа, определенная над ${ displaystyle F}$ из ${ displaystyle F}$-разбить ранг один, то любая решетка в ${ displaystyle G}$ является решеткой деревьев, действуя на Здание Брюа – Титса которое в данном случае является деревом. В отличие от случая характеристики 0 такие решетки могут быть неоднородными, и в этом случае они никогда не будут конечно порожденными.

Решетки деревьев из теории Басса – Серра

Если ${ displaystyle Gamma}$ фундаментальная группа бесконечного граф групп, все вершинные группы которых конечны, и при дополнительных необходимых предположениях на индекс групп ребер и размер групп вершин действие ${ displaystyle Gamma}$ на дереве Басса-Серра, ассоциированном с графом групп, реализует его как решетку деревьев.

Критерий существования

В более общем плане можно задать следующий вопрос: если ${ displaystyle H}$ замкнутая подгруппа в ${ Displaystyle mathrm {Aut} (T)}$, при каких условиях ${ displaystyle H}$ содержат решетку? Существование равномерной решетки равносильно ${ displaystyle H}$ унимодулярность и частное ${ displaystyle H обратная косая черта T}$ будучи конечным. Общая теорема существования более тонкая: необходимо и достаточно, чтобы ${ displaystyle H}$ быть унимодулярным, и что частное ${ Displaystyle H обратная косая черта T}$ иметь «конечный объем» в подходящем смысле (который может быть комбинаторно выражен через действие ${ displaystyle H}$), более общее, чем более сильное условие конечности фактора (что доказано самим существованием неоднородных решеток деревьев).

Примечания

Рекомендации

• Басс, Хайман; Любоцкий, Александр (2001). Решетки деревьев с приложениями Х. Басса, Л. Карбоне, А. Любоцкого, Г. Розенберга и Дж. Титса.. Успехи в математике. Birkhäuser Verlag. ISBN  0-8176-4120-3.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Маргулис, Григорий (1991). Дискретные подгруппы полупростых групп Ли. Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag. с. x + 388. ISBN  3-540-12179-Х. МИСТЕР  1090825.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Платонов Владимир; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел. (Перевод с русского оригинала 1991 г. Рэйчел Роуэн.). Чистая и прикладная математика. 139. Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc. ISBN  0-12-558180-7. МИСТЕР  1278263.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Рагхунатан, М.С. (1972). Дискретные подгруппы групп Ли. Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag. МИСТЕР  0507234.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Витте-Моррис, Дэйв (2015). Введение в арифметические группы. Дедуктивный пресс. п. 492. ISBN  978-0-9865716-0-2.CS1 maint: ref = harv (связь)