Мера Бореля - Borel measure

В математика особенно в теория меры, а Мера Бореля на топологическое пространство это мера который определен на всех открытых множествах (и, следовательно, на всех Наборы Бореля ).^[1] Некоторые авторы требуют дополнительных ограничений на меру, как описано ниже.

Формальное определение

Позволять ${displaystyle X}$ быть локально компактный Пространство Хаусдорфа, и разреши ${displaystyle {mathfrak {B}} (X)}$ быть наименьшая σ-алгебра который содержит открытые наборы из ${displaystyle X}$ ; это известно как σ-алгебра Наборы Бореля. А Мера Бореля какая мера ${displaystyle mu}$ определенная на σ-алгебре борелевских множеств.^[2] Некоторые авторы дополнительно требуют, чтобы ${displaystyle mu}$ является локально конечный, означающий, что ${displaystyle mu (C)$ для каждого компактный набор ${displaystyle C}$ . Если мера Бореля ${displaystyle mu}$ оба внутренний регулярный и внешний регулярный, это называется регулярная мера Бореля. Если ${displaystyle mu}$ является как внутренним регулярным, так и внешним регулярным, и локально конечный, это называется Радоновая мера.

На реальной линии

В реальная линия ${displaystyle mathbb {R}}$ с этими обычная топология является локально компактным хаусдорфовым пространством, поэтому на нем можно определить борелевскую меру. В этом случае, ${displaystyle {mathfrak {B}} (mathbb {R})}$ наименьшая σ-алгебра, содержащая открытые интервалы ${displaystyle mathbb {R}}$ . Хотя существует множество мер Бореля μ, выбор меры Бореля, сопоставляющий ${displaystyle mu ((a, b]) = b-a}$ за каждый полуоткрытый интервал ${displaystyle (a, b]}$ иногда называют мерой Бореля на ${displaystyle mathbb {R}}$ . Эта мера оказывается ограничением на борелевскую σ-алгебру Мера Лебега ${displaystyle lambda}$ , который является полная мера и определена на σ-алгебре Лебега. Σ-алгебра Лебега на самом деле завершение борелевской σ-алгебры, что означает, что это наименьшая σ-алгебра, содержащая все борелевские множества и имеющая полная мера в теме. Кроме того, мера Бореля и мера Лебега совпадают на борелевских множествах (т. Е. ${displaystyle lambda (E) = mu (E)}$ для любого измеримого по Борелю множества, где ${displaystyle mu}$ - мера Бореля, описанная выше).

Пространства продуктов

Если Икс и Y находятся счетный, Хаусдорфовы топологические пространства, то множество борелевских подмножеств ${displaystyle B (X imes Y)}$ их продукта совпадает с произведением множеств ${displaystyle B (X) imes B (Y)}$ борелевских подмножеств Икс и Y.^[3] То есть борель функтор

{displaystyle mathbf {Bor} двоеточие mathbf {Top} _ {2CHaus} o mathbf {Meas}}

из категории хаусдорфовых пространств счетной второй величины в категорию измеримые пространства сохраняет конечное товары.

Приложения

Интеграл Лебега – Стилтьеса.

В Интеграл Лебега – Стилтьеса. это обычный Интеграл Лебега относительно меры, известной как мера Лебега – Стилтьеса, которая может быть связана с любой функцией от ограниченная вариация на реальной линии. Мера Лебега – Стилтьеса является регулярная мера Бореля, и, наоборот, любая регулярная борелевская мера на вещественной прямой имеет такой вид.^[4]

Преобразование Лапласа

Можно определить Преобразование Лапласа конечной борелевской меры μ на реальная линия посредством Интеграл Лебега^[5]

{displaystyle ({mathcal {L}} mu) (s) = int _ {[0, infty)} e ^ {- st}, dmu (t).}

Важным частным случаем является случай, когда μ - вероятностная мера или, более конкретно, дельта-функция Дирака. В операционное исчисление, преобразование Лапласа меры часто трактуется так, как если бы мера была получена функция распределения ж. В этом случае, чтобы избежать путаницы, часто пишут

{displaystyle ({mathcal {L}} f) (s) = int _ {0 ^ {-}} ^ {infty} e ^ {- st} f (t), dt}

где нижний предел 0⁻ сокращенная запись для

{displaystyle lim _ {varepsilon downarrow 0} int _ {- varepsilon} ^ {infty}.}

Этот предел подчеркивает, что любая точечная масса, расположенная в 0, полностью захватывается преобразованием Лапласа. Хотя с Интеграл Лебега, нет необходимости принимать такой предел, он кажется более естественным в связи с Преобразование Лапласа – Стилтьеса.

Размерность Хаусдорфа и лемма Фростмана

Для борелевской меры μ на метрическом пространстве Икс такое, что μ (Икс)> 0 и μ (B(Икс, р)) ≤ р^s выполняется для некоторой постоянной s > 0 и для каждого шара B(Икс, р) в Икс, то Хаусдорфово измерение тусклый_Haus(Икс) ≥ s. Частичное обращение обеспечивается Лемма Фростмана:^[6]

Лемма: Позволять А быть Борель подмножество р^п, и разреши s > 0. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

ЧАС^s(А)> 0, где ЧАС^s обозначает s-размерный Мера Хаусдорфа.
Имеется (беззнаковая) борелевская мера μ удовлетворение μ(А)> 0 и такое, что

{displaystyle mu (B (x, r)) leq r ^ {s}}

относится ко всем Икс ∈ р^п и р > 0.

Теорема Крамера – Вольда.

В Теорема Крамера – Вольда в теория меры утверждает, что Борель вероятностная мера на ${displaystyle mathbb {R} ^ {k}}$ однозначно определяется совокупностью своих одномерных проекций.^[7] Он используется как метод доказательства результатов совместной сходимости. Теорема названа в честь Харальд Крамер и Герман Оле Андреас Вольд.

дальнейшее чтение

Гауссова мера, конечномерная борелевская мера
Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Vol. II., Второе издание, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, МИСТЕР 0270403.
Дж. Д. Прайс (1973). Основные методы функционального анализа. Библиотека университета Хатчинсона. Hutchinson. п. 217. ISBN 0-09-113411-0.
Рэнсфорд, Томас (1995). Теория потенциала в комплексной плоскости. Тексты студентов Лондонского математического общества. 28. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр.209–218. ISBN 0-521-46654-7. Zbl 0828.31001.
Тешл, Джеральд, Темы реального и функционального анализа, (конспект лекций)
Лемма Винера связанные с

внешняя ссылка

Мера Бореля в Энциклопедия математики

[1] Д. Х. Фремлин, 2000. Теория измерения В архиве 2010-11-01 на Wayback Machine. Торрес Фремлин.

[2] Алан Дж. Вейр (1974). Общая интеграция и измерение. Издательство Кембриджского университета. С. 158–184. ISBN 0-521-29715-X.

[3] Владимир Иванович Богачев. Теория измерения, том 1. Springer Science & Business Media, 15 января 2007 г.

[4] Халмос, Пол Р. (1974), Теория измерения, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9

[5] Валочный 1971, §XIII.1

[6] Роджерс, К. А. (1998). Хаусдорфовы меры. Кембриджская математическая библиотека (третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. xxx + 195. ISBN 0-521-62491-6.

[7] К. Стромберг, 1994. Теория вероятностей для аналитиков. Чепмен и Холл.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]