Локально конечная мера - Locally finite measure

В математика, а локально конечная мера это мера для чего каждая точка измерить пространство имеет район из конечный мера.

Определение

Позволять (Икс, Т) быть Хаусдорф топологическое пространство и пусть Σ - σ-алгебра на Икс который содержит топологию Т (так что каждый открытый набор это измеримый набор, а Σ не хуже, чем Борелевская σ-алгебра на Икс). Мера/подписанная мера /комплексная мера μ определенная на Σ, называется локально конечный если за каждую точку п пространства Икс, есть открытый район N_п из п так что μ-Мера N_п конечно.

В более сжатых обозначениях μ локально конечен если и только если

{displaystyle forall pin X, существует N_ {p} в T {mbox {s.t. }} контакт N_ {p} {mbox {and}} left | mu (N_ {p}) ight | <+ infty.}

Любой вероятностная мера на Икс является локально конечным, так как приписывает единичную меру всему пространству. Точно так же любая мера, которая придает конечную меру всему пространству, локально конечна.
Мера Лебега на Евклидово пространство локально конечно.
По определению любой Радоновая мера локально конечно.
В счетная мера иногда локально конечен, а иногда нет: счетная мера на целые числа с их обычным дискретная топология локально конечна, но считающая мера на реальная линия со своим обычным борелем топология не является.