Счетная мера - Counting measure

В математика в частности теория меры, то счетная мера это интуитивно понятный способ поставить мера на любом набор - «размер» подмножество берется количество элементов в подмножестве, если подмножество имеет конечное число элементов, и ∞ если подмножество бесконечный.^[1]

Счетную меру можно определить на любом измеримое пространство (т.е. любой набор ${ displaystyle X}$ наряду с сигма-алгеброй), но в основном используется на счетный наборы.^[1]

В формальных обозначениях мы можем превратить любой набор ${ displaystyle X}$ в измеримое пространство, взяв набор мощности из ${ displaystyle X}$ каксигма-алгебра ${ displaystyle Sigma}$, т.е. все подмножества ${ displaystyle X}$ измеримы. Тогда счетная мера ${ displaystyle mu}$ на этом измеримом пространстве ${ Displaystyle (Х, Sigma)}$ положительная мера ${ Displaystyle Sigma rightarrow [0, + infty]}$ определяется

${ displaystyle mu (A) = { begin {case} vert A vert & { text {if}} A { text {is конечно}} + infty & { text {if}} { Text {бесконечно}} end {case}}}$

для всех ${ displaystyle A in Sigma}$, где ${ displaystyle vert A vert}$ обозначает мощность из набора ${ displaystyle A}$.^[2]

Счетная мера на ${ Displaystyle (Х, Sigma)}$ является σ-конечный тогда и только тогда, когда пространство ${ displaystyle X}$ является счетный.^[3]

Обсуждение

Считающая мера - частный случай более общей конструкции. С указанными выше обозначениями любая функция ${ Displaystyle е двоеточие X к [0, infty)}$ определяет меру ${ displaystyle mu}$на ${ Displaystyle (Х, Sigma)}$ через

${ Displaystyle му (А): = сумма _ {а в А} е (а) quad forall A substeq X,}$

где возможно несчетная сумма действительных чисел определяется как супремум сумм по всем конечным подмножествам, т. е.

${ displaystyle sum _ {y , in , Y ! substeq , mathbb {R}} y : = sup _ {F substeq Y, , | F | < infty } left { sum _ {y in F} y right }.}$

Принимая ж(Икс) = 1 для всех Икс в Икс дает счетную меру.

Рекомендации