Преобразование Лапласа – Стилтьеса - Laplace–Stieltjes transform
В Преобразование Лапласа – Стилтьеса, названный в честь Пьер-Симон Лаплас и Томас Джоаннес Стилтьес, является интегральное преобразование аналогично Преобразование Лапласа. Для действительные функции, это преобразование Лапласа Мера Стилтьеса, однако он часто определяется для функций со значениями в Банахово пространство. Это полезно в ряде областей математика, в том числе функциональный анализ, и некоторые области теоретический и прикладная вероятность.
Функции с действительным знаком
Преобразование Лапласа – Стилтьеса вещественнозначной функции г дается Интеграл Лебега – Стилтьеса. формы
для s а комплексное число. Как и в случае с обычным преобразованием Лапласа, можно получить несколько иное преобразование в зависимости от области интегрирования, и для определения интеграла также необходимо потребовать, чтобы г быть одним из ограниченная вариация по региону интеграции. Наиболее распространены:
- Двустороннее (или двустороннее) преобразование Лапласа – Стилтьеса имеет вид
- Одностороннее (одностороннее) преобразование Лапласа – Стилтьеса имеет вид
- Предел необходим для обеспечения того, чтобы преобразование фиксировало возможный скачок г(Икс) в Икс = 0, что необходимо для понимания преобразования Лапласа Дельта-функция Дирака.
- Более общие преобразования могут быть рассмотрены путем интегрирования по контуру в комплексная плоскость; увидеть Жаврид 2001 .
Преобразование Лапласа – Стилтьеса в случае скалярнозначной функции, таким образом, рассматривается как частный случай Преобразование Лапласа из Мера Стилтьеса. А именно,
В частности, оно имеет много общих свойств с обычным преобразованием Лапласа. Например, теорема свертки держит:
Часто только реальные значения переменной s рассматриваются, хотя если интеграл существует как собственный Интеграл Лебега для данной реальной стоимости s = σ, то он существует и для всех комплексных s с ре (s) ≥ σ.
Преобразование Лапласа – Стилтьеса естественно появляется в следующем контексте. Если Икс это случайная переменная с участием кумулятивная функция распределения F, то преобразование Лапласа – Стилтьеса дается формулой ожидание:
Векторные меры
В то время как преобразование Лапласа – Стилтьеса вещественной функции является частным случаем преобразования Лапласа меры, применяемой к связанной мере Стилтьеса, обычное преобразование Лапласа не может обрабатывать векторные меры: меры со значениями в Банахово пространство. Однако они важны в связи с изучением полугруппы которые возникают в уравнения в частных производных, гармонический анализ, и теория вероятности. Наиболее важными полугруппами являются, соответственно, тепловая полугруппа, Полугруппа Римана-Лиувилля, и Броуновское движение и другие безгранично делимые процессы.
Позволять г - функция из [0, ∞) в банахово пространство Икс из сильно ограниченная вариация на каждом конечном интервале. Это означает, что для каждого фиксированного подынтервала [0,Т] надо
где супремум берется по всем разбиениям [0,Т]
Интеграл Стилтьеса по векторной мере dg
определяется как Интеграл Римана – Стилтьеса.. В самом деле, если π - помеченное разбиение интервала [0,Т] с подразделением 0 = т0 ≤ т1 ≤ ... ≤ тп = Т, отмеченные точки и размер ячейки интеграл Римана – Стилтьеса определяется как значение предела
взято в топологии на Икс. Гипотеза сильной ограниченной вариации гарантирует сходимость.
Если в топологии Икс предел
существует, то значением этого предела является преобразование Лапласа – Стилтьеса г.
Связанные преобразования
Преобразование Лапласа – Стилтьеса тесно связано с другими интегральные преобразования, в том числе преобразование Фурье и Преобразование Лапласа. В частности, обратите внимание на следующее:
- Если г имеет производную г' то преобразование Лапласа – Стилтьеса г преобразование Лапласа г' .
- Мы можем получить Преобразование Фурье – Стилтьеса из г (и, согласно замечанию выше, преобразование Фурье г' ) от
Распределения вероятностей
Если Икс является непрерывным случайная переменная с участием кумулятивная функция распределения F(т) тогда моменты из Икс можно вычислить, используя[1]
Экспоненциальное распределение
Для экспоненциально распределенной случайной величины Y с параметром скорости λ LST есть,
из которого первые три момента могут быть вычислены как 1 /λ, 2/λ2 и 6 /λ3.
Распределение Erlang
Для Z с участием Распределение Erlang (что является суммой п экспоненциальных распределений) мы используем тот факт, что распределение вероятностей суммы независимых случайных величин равно свертка их распределений вероятностей. Так что если
с Yя тогда независимый
поэтому в случае, когда Z имеет распределение Erlang,
Равномерное распределение
Для U с участием равномерное распределение на интервале (а,б) преобразование дается формулой
использованная литература
- ^ Харчол-Балтер, М. (2012). «Трансформационный анализ». Моделирование производительности и проектирование компьютерных систем. п. 433. Дои:10.1017 / CBO9781139226424.032. ISBN 9781139226424.
- Апостол, Т. (1957), Математический анализ (1-е изд.), Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley; 2-е изд (1974) ISBN 0-201-00288-4.
- Апостол, Т. (1997), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97127-0.
- Grimmett, G.R .; Стирзакер, Д. (2001), Вероятность и случайные процессы (3-е изд.), Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, ISBN 0-19-857222-0.
- Хилле, Эйнар; Филлипс, Ральф С. (1974), Функциональный анализ и полугруппы, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, Г-Н 0423094.
- Жаврид, Н. (2001) [1994], «Преобразование Лапласа», Энциклопедия математики, EMS Press.