Функция с действительным знаком - Real-valued function

Масса измеряется в граммы - функция из этого набора весов в положительный действительные числа. Период, термин "весовая функция ", ссылка на этот пример, используется в чистой и прикладной математике.

В математике функция с действительным знаком это функция чей значения находятся действительные числа. Другими словами, это функция, которая присваивает действительное число каждому члену своего домен.

С реальной ценностью функции действительной переменной (обычно называют реальные функции ) и с реальной стоимостью функции нескольких действительных переменных являются основным объектом изучения исчисление и, в более общем плане, реальный анализ. В частности, многие функциональные пространства состоят из функций с действительными значениями.

Алгебраическая структура

Позволять ${displaystyle {mathcal {F}} (X, {mathbb {R}})}$ - набор всех функций из набор $Икс$ к реальным числам ${displaystyle mathbb {R}}$ . Потому что ${displaystyle mathbb {R}}$ это поле, ${displaystyle {mathcal {F}} (X, {mathbb {R}})}$ может быть превращен в векторное пространство и коммутативная алгебра над реалами с помощью следующих операций:

${displaystyle f + g: xmapsto f (x) + g (x)}$ – векторное сложение
${displaystyle mathbf {0}: xmapsto 0}$ – аддитивная идентичность
${displaystyle cf: xmapsto cf (x), quad cin mathbb {R}}$ – скалярное умножение
${displaystyle fg: xmapsto f (x) g (x)}$ – точечно умножение

Эти операции распространяются на частичные функции из $Икс$ к ${displaystyle mathbb {R},}$ с ограничением, что частичные функции $ж + грамм$ и $ж грамм$ определены, только если домены из $ж$ и $грамм$ иметь непустое пересечение; в этом случае их область определения является пересечением областей определения $ж$ и $грамм$ .

Кроме того, поскольку ${displaystyle mathbb {R}}$ упорядоченный набор, есть частичный заказ

${displaystyle fleq gquad iff quad forall x: f (x) leq g (x),}$

на ${displaystyle {mathcal {F}} (X, {mathbb {R}}),}$ что делает ${displaystyle {mathcal {F}} (X, {mathbb {R}})}$ а частично заказанное кольцо.

Измеримый

В σ-алгебра из Наборы Бореля - важная структура вещественных чисел. Если $Икс$ имеет свою σ-алгебру и функцию $ж$ такова, что прообраз $ж -1 (B)$ любого борелевского множества $B$ принадлежит этой σ-алгебре, то $ж$ как говорят измеримый. Измеримые функции также образуют векторное пространство и алгебру, как объяснялось. над.

Более того, набор (семейство) действительных функций на $Икс$ действительно может определять σ-алгебра на $Икс$ порождены всеми прообразами всех борелевских множеств (или интервалы только, это не важно). Так возникают σ-алгебры в (Колмогорова ) теория вероятности, где действительные функции на пространство образца $Ω$ имеют реальную ценность случайные переменные.

Непрерывный

Реальные числа образуют топологическое пространство и полное метрическое пространство. Непрерывный действительные функции (из чего следует, что $Икс$ является топологическим пространством) важны в теориях топологических пространств и метрических пространств. В теорема об экстремальном значении утверждает, что для любой действительной непрерывной функции на компактное пространство его глобальный максимум и минимум существовать.

Концепция чего-либо метрическое пространство сам определяется действительной функцией двух переменных, метрика, которая непрерывна. Пространство непрерывные функции на компактном хаусдорфовом пространстве имеет особое значение. Сходящиеся последовательности также могут рассматриваться как вещественнозначные непрерывные функции на специальном топологическом пространстве.

Непрерывные функции также образуют векторное пространство и алгебру, как объяснялось. над, и являются подклассом измеримые функции потому что любое топологическое пространство имеет σ-алгебру, порожденную открытыми (или замкнутыми) множествами.

Гладкий

Вещественные числа используются в качестве области значений для определения гладких функций. Область вещественной гладкой функции может быть реальное координатное пространство (что дает действительная функция многих переменных ), а топологическое векторное пространство,^[1] ан открытое подмножество из них, или гладкое многообразие.

Пространства гладких функций также являются векторными пространствами и алгебрами, как объяснено над, и являются подклассом непрерывные функции.

Появления в теории меры

А мера на съемочной площадке неотрицательный вещественнозначный функционал на σ-алгебре подмножеств.^[2] L^п пробелы на множествах с мерой определяются из вышеупомянутых действительные измеримые функции, хотя на самом деле они факторпространства. Точнее, в то время как функция, удовлетворяющая соответствующему условие суммируемости определяет элемент L^п пространство, в обратном направлении для любого $ж \in L п (Икс)$ и $Икс \in Икс$ что не атом, Значение $ж (Икс)$ является неопределенный. Хотя действительные L^п у пространств все еще есть часть структуры над. Каждый из L^п пространств является векторным пространством и имеет частичный порядок, и существует поточечное умножение "функций", которое меняет $п$ , а именно

{displaystyle cdot: L ^ {1 / alpha} imes L ^ {1 / eta} o L ^ {1 / (alpha + eta)}, quad 0leq alpha, eta leq 1, quad alpha + eta leq 1.}

Например, поточечное произведение двух L² функции принадлежит L¹.

Другие выступления

Другие контексты, в которых используются функции с действительным знаком и их особые свойства, включают монотонные функции (на заказанные наборы ), выпуклые функции (по вектору и аффинные пространства ), гармонический и субгармоника функции (на Римановы многообразия ), аналитические функции (обычно одной или нескольких реальных переменных), алгебраические функции (на реальном алгебраические многообразия ), и многочлены (одной или нескольких реальных переменных).

Смотрите также

Реальный анализ
Уравнения с частными производными, крупный пользователь функций с действительным знаком
Норма (математика)
Скаляр (математика)

Сноски

^ Различные определения производная существуют вообще, но для конечных размеры они приводят к эквивалентным определениям классов гладких функций.
^ Фактически, мера может иметь значения в $[0, +\infty]$ : видеть расширенная строка действительных чисел.

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Реальная функция». MathWorld.

[1] Различные определения производная существуют вообще, но для конечных размеры они приводят к эквивалентным определениям классов гладких функций.

[2] Фактически, мера может иметь значения в $[0, +\infty]$ : видеть расширенная строка действительных чисел.

[1]

[2]