Полное метрическое пространство - Complete metric space

В математический анализ, а метрическое пространство $M$ называется полный (или Пространство Коши) если каждые Последовательность Коши очков в $M$ имеет предел это также в $M$ или, альтернативно, если каждая последовательность Коши в $M$ сходится в $M$ .

Интуитивно понятно, что пространство считается полным, если в нем нет «пропущенных точек» (внутри или на границе). Например, набор рациональное число не является полным, потому что, например, ${displaystyle {sqrt {2}}}$ "отсутствует" в нем, хотя можно построить сходящуюся к нему последовательность рациональных чисел Коши (см. дальнейшие примеры ниже). Всегда можно «заполнить все дыры», ведущие к завершение заданного пространства, как описано ниже.

Определение

Определение: Последовательность

Икс 1, Икс 2, Икс 3, ...

в метрическое пространство

(Икс, d)

называется Коши если на каждый положительный настоящий номер

р > 0

есть положительный целое число

N

такой, что для всех натуральных чисел

м, п > N

,

d (Икс м, Икс п) < р

.

Определение:^[1] В постоянная расширения метрического пространства - это инфимум всех констант

{displaystyle extstyle mu}

так что всякий раз, когда семья

{displaystyle extstyle left {{overline {B}} (x_ {alpha} ,, r_ {alpha}) ight}}

попарно пересекается, пересечение

{displaystyle igcap _ {alpha} {overline {B}} (x_ {alpha}, mu r_ {alpha})}

непусто.

Определение: Метрическое пространство

(Икс, d)

является полный если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

Каждый Последовательность Коши очков в $Икс$ имеет предел это также в $Икс$
Каждая последовательность Коши в $Икс$ сходится в $Икс$ (то есть в какой-то момент $Икс$ ).
Константа расширения $(Икс, d)$ ≤ 2.^[1]
Каждая убывающая последовательность непустой закрыто подмножества из $Икс$ , с диаметры стремится к 0, имеет непустой пересечение: если $F п$ закрыто и непусто, $F п +1 \subseteq F п$ для каждого $п$ , и $диам (F п) \to 0$ , то есть точка $Икс \in Икс$ общий для всех наборов $F п$ .

Примеры

Космос Q из рациональное число, со стандартной метрикой, заданной абсолютная величина из разница, не полный. Рассмотрим, например, последовательность, определенную $Икс 1 = 1$ и ${displaystyle x_ {n + 1} = {frac {x_ {n}} {2}} + {frac {1} {x_ {n}}}.}$ Это последовательность рациональных чисел Коши, но она не сходится ни к какому рациональному пределу: если бы у последовательности был предел $Икс$ , то решая ${displaystyle x = {frac {x} {2}} + {frac {1} {x}}}$ обязательно Икс² = 2, но ни одно рациональное число не обладает этим свойством. Однако если рассматривать как последовательность действительные числа, он сходится к иррациональный номер ${displaystyle {sqrt {2}}}$ .

В открытый интервал $(0,1)$ , опять же с метрикой абсолютного значения, тоже не является полным. Последовательность, определяемая $Икс п$ = 1/п является Коши, но не имеет предела в данном пространстве. Тем не менее закрыто интервал $[0,1]$ завершено; например, данная последовательность имеет предел в этом интервале, и предел равен нулю.

Космос р действительных чисел и пространства C из сложные числа (с метрикой, заданной абсолютным значением) полны, как и Евклидово пространство р^п, с обычное расстояние метрика. Напротив, бесконечномерные нормированные векторные пространства может быть или не быть полным; те, которые завершены, Банаховы пространства. Пространство C $[а, б]$ из непрерывные действительные функции на замкнутом и ограниченном интервале является банаховым пространством, а значит, и полным метрическим пространством относительно верхняя норма. Однако норма супремума не дает нормы на пространстве C $(а, б)$ непрерывных функций на $(а, б)$ , поскольку он может содержать неограниченные функции. Вместо этого с топологией компактная сходимость, С $(а, б)$ можно дать структуру Fréchet space: а локально выпуклое топологическое векторное пространство топология которого может быть индуцирована полной трансляционно-инвариантной метрикой.

Космос Q_п из п-адические числа полный для любого простое число $п$ . Это пространство завершает Q с п-адическая метрика так же, как р завершает Q с обычной метрикой.

Если $S$ - произвольное множество, то множество $S N$ из всех последовательности в $S$ становится полным метрическим пространством, если мы определим расстояние между последовательностями $(Икс п)$ и $(у п)$ быть $1 / N$ , куда $N$ наименьший индекс, для которого $Икс N$ является отчетливый из $у N$ , или же $0$ если такого индекса нет. Это пространство гомеоморфный к товар из счетный количество копий дискретное пространство $S$ .

Римановы многообразия которые являются полными, называются геодезические многообразия; полнота следует из Теорема Хопфа – Ринова..

Некоторые теоремы

Каждый компактный метрическое пространство полно, хотя полные пространства не обязательно должны быть компактными. На самом деле метрическое пространство компактно если и только если это полно и полностью ограниченный. Это обобщение Теорема Гейне – Бореля, который утверждает, что любое замкнутое и ограниченное подпространство $S$ из р^п компактно и, следовательно, полно.^[2]

Позволять $(Икс, d)$ - полное метрическое пространство. Если $А \subseteq Икс$ замкнутое множество, то $А$ тоже полный.^[3] Позволять $(Икс, d)$ - метрическое пространство. Если $А \subseteq Икс$ полное подпространство, то $А$ тоже закрыто.^[4]

Если $Икс$ это набор и $M$ - полное метрическое пространство, то множество $B (Икс, M)$ из всех ограниченные функции ж из $Икс$ к $M$ - полное метрическое пространство. Здесь мы определяем расстояние в $B (Икс, M)$ с точки зрения расстояния в $M$ с верхняя норма

{displaystyle d (f, g) Equiv sup left {d [f (x), g (x)]: xin Xight}}

Если $Икс$ это топологическое пространство и $M$ - полное метрическое пространство, то множество $C б (Икс, M)$ состоящий из всех непрерывный ограниченные функции $ж$ из $Икс$ к $M$ является замкнутым подпространством в $B (Икс, M)$ а значит, и полный.

В Теорема Бэра о категории говорит, что каждое полное метрическое пространство является Пространство Бэра. Это союз из счетно много нигде не плотный подмножества пространства пустые интерьер.

В Теорема Банаха о неподвижной точке утверждает, что сжимающее отображение на полном метрическом пространстве допускает неподвижную точку. Теорема о неподвижной точке часто используется для доказательства теорема об обратной функции на полных метрических пространствах, таких как банаховы пространства.

Теорема^[5] (К. Урсеску) — Позволять $Икс$ быть полное метрическое пространство и разреши $S 1, S 2, ...$ последовательность подмножеств $Икс$ .

Если каждый $S я$ закрыт в $Икс$ тогда ${displaystyle operatorname {cl} left (cup _ {iin mathbb {N}} operatorname {int} S_ {i} ight) = operatorname {cl} operatorname {int} left (cup _ {iin mathbb {N}} S_ {i } ight)}$ .
Если каждый $S я$ открыт в $Икс$ тогда ${displaystyle operatorname {int} left (cap _ {iin mathbb {N}} operatorname {cl} S_ {i} ight) = operatorname {int} имя оператора {cl} left (cap _ {iin mathbb {N}} S_ {i } ight)}$ .

Завершение

Для любого метрического пространства M, можно построить полное метрическое пространство M ′ (который также обозначается как M), который содержит M как плотное подпространство. Он имеет следующие универсальная собственность: если N любое полное метрическое пространство и ж есть ли равномерно непрерывная функция из M к N, то существует уникальный равномерно непрерывная функция f ′ из M ′ к N что расширяет ж. Космос M ' определен вплоть до изометрия этим свойством (среди всех полных метрических пространств, изометрически содержащих M), и называется завершение из M.

Завершение M можно построить как набор классы эквивалентности последовательностей Коши в M. Для любых двух последовательностей Коши Икс = (Икс_п) и у = (у_п) в M, мы можем определить их расстояние как

{displaystyle d (x, y) = lim _ {n} dleft (x_ {n}, y_ {n} ight)}

(Этот предел существует, потому что действительные числа являются полными.) Это только псевдометрический, еще не метрика, так как две разные последовательности Коши могут иметь расстояние 0. Но "иметь расстояние 0" - это отношение эквивалентности на множестве всех последовательностей Коши, а множество классов эквивалентности является метрическим пространством, пополнение M. Исходное пространство встроено в это пространство посредством идентификации элемента. Икс из M ' с классом эквивалентности последовательностей в M сходится к Икс (т.е. класс эквивалентности, содержащий последовательность с постоянным значением Икс). Это определяет изометрия на плотное подпространство, если требуется. Обратите внимание, однако, что эта конструкция явно использует полноту действительных чисел, поэтому завершение рациональных чисел требует немного иной обработки.

Кантор Построение действительных чисел аналогично приведенному выше; действительные числа - это завершение рациональных чисел с использованием обычного абсолютного значения для измерения расстояний. Дополнительная тонкость, с которой приходится бороться, заключается в том, что логически недопустимо использовать полноту действительных чисел в их собственном построении. Тем не менее классы эквивалентности последовательностей Коши определены, как указано выше, и легко показать, что множество классов эквивалентности является поле который имеет рациональные числа в качестве подполя. Это поле заполнено, допускает естественное общий заказ, и - единственное вполне упорядоченное полное поле (с точностью до изоморфизма). это определенный как поле действительных чисел (см. также Построение действительных чисел Больше подробностей). Один из способов визуализировать эту идентификацию с действительными числами, как это обычно рассматривается, состоит в том, что класс эквивалентности, состоящий из тех последовательностей Коши рациональных чисел, которые «должны» иметь данный реальный предел, отождествляется с этим действительным числом. Усечения десятичного разложения дают только один выбор последовательности Коши в соответствующем классе эквивалентности.

Для прайма п, то п-адические числа возникают, дополняя рациональные числа по другой метрике.

Если процедура более раннего завершения применяется к нормированное векторное пространство, в результате Банахово пространство содержащее исходное пространство как плотное подпространство, и если оно применяется к внутреннее пространство продукта, в результате Гильбертово пространство содержащее исходное пространство как плотное подпространство.

Топологически полные пространства

Полнота - свойство метрика а не топология, что означает, что полное метрическое пространство может быть гомеоморфный к неполному. Примером служат действительные числа, которые полны, но гомеоморфны открытому интервалу $(0,1)$ , что не является полным.

В топология один считает вполне метризуемые пространства, пространства, для которых существует хотя бы одна полная метрика, индуцирующая данную топологию. Полностью метризуемые пространства можно охарактеризовать как те пространства, которые можно записать как пересечение счетного числа открытых подмножеств некоторого полного метрического пространства. С момента заключения Теорема Бэра о категории является чисто топологическим, оно применимо и к этим пространствам.

Полностью метризуемые пространства часто называют топологически полный. Однако последний термин несколько произвольный, поскольку метрика не является самой общей структурой топологического пространства, для которой можно говорить о полноте (см. Раздел Альтернативы и обобщения ). Действительно, некоторые авторы используют термин топологически полный для более широкого класса топологических пространств полностью униформизируемые пространства.^[6]

Топологическое пространство, гомеоморфное отделяемый полное метрическое пространство называется Польское пространство.

Альтернативы и обобщения

С Последовательности Коши также можно определить в общем топологические группы, альтернативой использованию метрической структуры для определения полноты и построения завершенности пространства является использование групповой структуры. Чаще всего это видно в контексте топологические векторные пространства, но требует только существования непрерывной операции «вычитания». В этой настройке расстояние между двумя точками Икс и у измеряется не действительным числом ε через метрику d в сравнении d(Икс, у) < ε, но в открытом районе N 0 путем вычитания при сравнении Икс − у ∈ N.

Общее обобщение этих определений можно найти в контексте однородное пространство, где свита представляет собой набор всех пар точек, которые находятся не более чем на определенном "расстоянии" друг от друга.

Также можно заменить Коши последовательности в определении полноты Коши сети или же Фильтры Коши. Если каждая сеть Коши (или, что то же самое, каждый фильтр Коши) имеет предел в Икс, тогда Икс называется полным. Кроме того, можно построить пополнение для произвольного равномерного пространства, подобное пополнению метрических пространств. Наиболее общая ситуация, в которой применяются сети Коши, - это Пространства Коши; они тоже имеют понятие полноты и завершенности, как и однородные пространства.

Смотрите также

Завершение (алгебра)
Полное однородное пространство
Полное топологическое векторное пространство - TVS, где точки, которые постепенно становятся ближе друг к другу, всегда будут сходиться в точку
Теорема Кнастера – Тарского

Примечания

^ ^а ^б Грюнбаум, Б. (1960). «Некоторые применения констант расширения». Pacific J. Math. 10 (1): 193–201. В архиве из оригинала от 04.03.2016.
^ Сазерленд, Уилсон А. Введение в метрические и топологические пространства. ISBN 978-0-19-853161-6.
^ «Архивная копия». В архиве из оригинала 30.06.2007. Получено 2007-01-14.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ «Архивная копия». В архиве из оригинала 30.06.2007. Получено 2007-01-14.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ Залинеску, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. п. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.
^ Келли, Проблема 6.L, с. 208