Теорема Гейне – Бореля - Heine–Borel theorem

В реальный анализ то Теорема Гейне – Бореля, названный в честь Эдуард Гейне и Эмиль Борель, состояния:

Для подмножество S из Евклидово пространство р^п, следующие два оператора эквивалентны:

S является закрыто и ограниченный
S является компактный, то есть каждый открытый обложка из S имеет конечное подпокрытие.

История и мотивация

История того, что сегодня называется теоремой Гейне – Бореля, начинается в 19 веке с поиска прочных основ реального анализа. Центральным в теории была концепция равномерная преемственность и теорема о том, что каждый непрерывная функция на отрезке равномерно непрерывна. Питер Густав Лежен Дирихле был первым, кто доказал это, и неявно использовал в своем доказательстве существование конечного подпокрытия данного открытого покрытия отрезка.^[1] Он использовал это доказательство в своих лекциях 1852 года, которые были опубликованы только в 1904 году.^[1] Позже Эдуард Гейне, Карл Вейерштрасс и Сальваторе Пинчерле использовали аналогичные приемы. Эмиль Борель в 1895 г. был первым, кто сформулировал и доказал форму того, что сейчас называется теоремой Гейне – Бореля. Его формулировка ограничивалась счетный крышки. Пьер Кузен (1895), Лебег (1898) и Schoenflies (1900) обобщил его на произвольные покрытия.^[2]

Доказательство

Если набор компактный, то его нужно закрыть.

Позволять S быть подмножеством р^п. Обратите внимание прежде всего на следующее: если а это предельная точка из S, то любой конечный набор C открытых множеств, так что каждое открытое множество U ∈ C не пересекается с некоторыми окрестности V_U из а, не может быть прикрытием S. Действительно, пересечение конечного семейства множеств V_U это район W из а в р^п. поскольку а предельная точка S, W должен содержать точку Икс в S. Эта Икс ∈ S не покрывается семьей C, потому что каждый U в C не пересекается с V_U и, следовательно, не пересекаются с W, который содержит Икс.

Если S компактно, но не замкнуто, то имеет предельную точку а не в S. Рассмотрим коллекцию C ′ состоящий из открытого района N(Икс) для каждого Икс ∈ S, выбранный достаточно малым, чтобы не пересекать окрестности V_Икс из а. потом C ′ это открытая обложка S, но любой конечный набор C ′ имеет форму C обсуждалось ранее, и поэтому не может быть открытым прикрытием S. Это противоречит компактности S. Следовательно, каждая точка накопления S в S, так S закрыто.

Приведенное выше доказательство практически без изменений показывает, что любое компактное подмножество S из Хаусдорф топологическое пространство Икс закрыт в Икс.

Если множество компактно, то оно ограничено.

Позволять ${ displaystyle S}$ быть компактным множеством в ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ , и ${ displaystyle U_ {x}}$ шар радиуса 1 с центром в ${ Displaystyle х в mathbf {R} ^ {п}}$ . Тогда множество всех таких шаров с центром в ${ displaystyle x in S}$ явно открытая крышка ${ displaystyle S}$ , поскольку ${ displaystyle cup _ {x in S} U_ {x}}$ содержит все ${ displaystyle S}$ . поскольку ${ displaystyle S}$ компактно, возьмем конечное подпокрытие этого покрытия. Это подпокрытие представляет собой конечное объединение шаров радиуса 1. Рассмотрим все пары центров этих (конечного числа) шаров (радиуса 1) и пусть ${ displaystyle M}$ быть максимальным расстоянием между ними. Тогда если ${ displaystyle C_ {p}}$ и ${ displaystyle C_ {q}}$ являются центрами (соответственно) единичных шаров, содержащих произвольные ${ displaystyle p, q in S}$ , неравенство треугольника говорит: ${ displaystyle d (p, q) leq d (p, C_ {p}) + d (C_ {p}, C_ {q}) + d (C_ {q}, q) leq 1 + M + 1 = M + 2.}$ Так что диаметр ${ displaystyle S}$ ограничен ${ displaystyle M + 2}$ .

Замкнутое подмножество компакта компактно.

Позволять K - замкнутое подмножество компакта Т в р^п и разреши C_K быть открытой крышкой K. потом U = р^п \ K это открытый набор и

{ Displaystyle C_ {T} = C_ {K} чашка {U }}

это открытая обложка Т. поскольку Т компактно, то C_Т имеет конечное подпокрытие ${ displaystyle C_ {T} ',}$ это также охватывает меньший набор K. поскольку U не содержит точки K, набор K уже покрыто ${ Displaystyle C_ {K} '= C_ {T}' setminus {U },}$ это конечная подгруппа исходной коллекции C_K. Таким образом, можно извлечь из любой открытой крышки C_K из K конечное подпокрытие.

Если множество замкнуто и ограничено, то оно компактно.

Если набор S в р^п ограничен, то его можно заключить в п-коробка

{ displaystyle T_ {0} = [- а, а] ^ {п}}

где а > 0. По указанному выше свойству достаточно показать, что Т₀ компактный.

Предположим от противного, что Т₀ не компактный. Тогда существует бесконечное открытое покрытие C из Т₀ который не допускает никакого конечного подпокрытия. Через деление пополам каждой из сторон Т₀, коробка Т₀ можно разбить на 2^п суб п-боксы, каждый из которых имеет диаметр, равный половине диаметра Т₀. Тогда хотя бы один из 2^п разделы Т₀ должен потребовать бесконечного дополнительного покрытия C, в противном случае C сам по себе имел бы конечное подпокрытие, объединяя вместе конечные покрытия секций. Назовите этот раздел Т₁.

Точно так же стороны Т₁ можно разделить пополам, что дает 2^п разделы Т₁, хотя бы одно из которых должно требовать бесконечного дополнительного покрытия C. Продолжение подобным образом дает убывающую последовательность вложенных п-коробки:

{ Displaystyle T_ {0} supset T_ {1} supset T_ {2} supset ldots supset T_ {k} supset ldots}

где длина стороны Т_k является (2 а) / 2^k, который стремится к 0 при k стремится к бесконечности. Определим последовательность (Икс_k) такие, что каждый Икс_k в Т_k. Это последовательность Коши, поэтому она должна сходиться к некоторому пределу L. Поскольку каждый Т_k закрыто, и для каждого k последовательность (Икс_k) в конечном итоге всегда внутри Т_k, Мы видим, что L ∈ Т_k для каждого k.

поскольку C крышки Т₀, то у него есть член U ∈ C такой, что L ∈ U. поскольку U открыто, есть п-мяч B(L) ⊆ U. Для достаточно больших k, надо Т_k ⊆ B(L) ⊆ U, но тогда бесконечное число членов C необходимо покрыть Т_k можно заменить всего одним: U, противоречие.

Таким образом, Т₀ компактный. поскольку S замкнуто и подмножество компакта Т₀, тогда S также компактен (см. выше).

Свойство Гейне-Бореля

Теорема Гейне – Бореля не выполняется, как указано для общих метрика и топологические векторные пространства, и это приводит к необходимости рассматривать специальные классы пространств, в которых справедливо это предложение. Их называют пространства со свойством Гейне – Бореля.

В теории метрических пространств

А метрическое пространство ${ displaystyle (X, d)}$ говорят, что имеет Свойство Гейне-Бореля если каждый замкнутый ограниченный^[3] установить в ${ displaystyle X}$ компактный.

Многие метрические пространства не обладают свойством Гейне – Бореля, например, метрическое пространство рациональное число (или любое неполное метрическое пространство). Полные метрические пространства также могут не обладать свойством, например, бесконечномерным. Банаховы пространства обладают свойством Гейне – Бореля (как метрические пространства). Еще более тривиально, если действительная прямая не наделена обычной метрикой, она может не обладать свойством Гейне – Бореля.

Метрическое пространство ${ displaystyle (X, d)}$ имеет метрику Гейне – Бореля, локально идентичную метрике Коши ${ displaystyle d}$ если и только если это полный, ${ displaystyle sigma}$ -компактный, и локально компактный.^[4]

В теории топологических векторных пространств

А топологическое векторное пространство ${ displaystyle X}$ говорят, что имеет Свойство Гейне-Бореля^[5] (Р.Э. Эдвардс использует термин ограниченно компактное пространство^[6]), если каждая замкнутая ограниченная^[7] установить в ${ displaystyle X}$ компактный.^[8] Нет бесконечномерного Банаховы пространства обладают свойством Гейне – Бореля (как топологические векторные пространства). Но какие-то бесконечномерные Пространства фреше есть, например, место ${ Displaystyle C ^ { infty} ( Omega)}$ гладких функций на открытом множестве ${ displaystyle Omega subset mathbb {R} ^ {n}}$ ^[6] и пространство ${ Displaystyle H ( Omega)}$ голоморфных функций на открытом множестве ${ displaystyle Omega subset mathbb {C} ^ {n}}$ .^[6] В более общем смысле любой квазиполный ядерное пространство обладает свойством Гейне – Бореля. Все Пространства Montel обладают также свойством Гейне – Бореля.

Смотрите также

Теорема Больцано – Вейерштрасса

Заметки

^ ^а ^б Раман-Сундстрём, Маня (август – сентябрь 2015 г.). «Педагогическая история компактности». Американский математический ежемесячный журнал. 122 (7): 619–635. arXiv:1006.4131. Дои:10.4169 / amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10.4169 / amer.math.monthly.122.7.619.
^ Сундстрём, Маня Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv:1006.4131v1 [math.HO ].CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
^ Множество ${ displaystyle B}$ в метрическом пространстве ${ displaystyle (X, d)}$ как говорят ограниченный если он содержится в шаре конечного радиуса, т.е. существует ${ displaystyle x in X}$ и ${ displaystyle r> 0}$ такой, что ${ Displaystyle B substeq {х в X: d (x, a) leq r }}$ .
^ Уильямсон и Янош 1987.
^ Кириллов и Гвишиани 1982, Теорема 28.
^ ^а ^б ^c Эдвардс 1965, 8.4.7.
^ Множество ${ displaystyle B}$ в топологическом векторном пространстве ${ displaystyle X}$ как говорят ограниченный если для каждой окрестности нуля ${ displaystyle U}$ в ${ displaystyle X}$ существует скаляр ${ displaystyle lambda}$ такой, что ${ Displaystyle B substeq lambda cdot U}$ .
^ В случае, когда топология топологического векторного пространства ${ displaystyle X}$ порождается некоторой метрикой ${ displaystyle d}$ это определение не эквивалентно определению свойства Гейне – Бореля ${ displaystyle X}$ как метрическое пространство, поскольку понятие ограниченного множества в ${ displaystyle X}$ как метрическое пространство отличается от понятия ограниченного множества в ${ displaystyle X}$ как топологическое векторное пространство. Например, пространство ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty} [0,1]}$ гладких функций на интервале ${ displaystyle [0,1]}$ с метрикой ${ displaystyle d (x, y) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {k}}} cdot { frac { max _ {t in [0,1]} | x ^ {(k)} (t) -y ^ {(k)} (t) |} {1+ max _ {t in [0,1]} | x ^ { (k)} (t) -y ^ {(k)} (t) |}}}$ (Вот ${ Displaystyle х ^ {(к)}}$ это ${ displaystyle k}$ -я производная функции ${ Displaystyle х в { mathcal {C}} ^ { infty} [0,1]}$ ) обладает свойством Гейне – Бореля как топологическое векторное пространство, но не как метрическое пространство.

использованная литература

П. Дюгач (1989). "По переписке Бореля и теории Дирихле-Гейне-Вейерштрасса-Бореля-Шенфлиса-Лебега". Arch. Int. Hist. Наука. 39: 69–110.
«доказательство теоремы Гейне-Бореля». PlanetMath.
BookOfProofs: Собственность Гейне-Бореля
Jeffreys, H .; Джеффрис, Б.С. (1988). Методы математической физики. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521097239.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Williamson, R .; Янош, Л. (1987). «Строительные метрики с имуществом Гейне-Бореля». Proc. AMS. 100 (3): 567–573. Дои:10.1090 / S0002-9939-1987-0891165-X.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Кириллов, А.А .; Гвишиани, А.Д. (1982). Теоремы и проблемы функционального анализа. Springer-Verlag New York. ISBN 978-1-4613-8155-6.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Эдвардс, Р. (1965). Функциональный анализ. Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)

внешние ссылки

Иван Кениг, д-р проф. Ганс-Кристиан Граф фон Боттмер, Дмитрий Тиссен, Андреас Тимм, Виктор Виттман (2004 г.). Теорема Гейне – Бореля.. Ганновер: Leibniz Universität. Архивировано из оригинал (avi • mp4 • mov • swf • потоковое видео) 19 июля 2011 г.
"Теорема Бореля-Лебега о покрытии", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Mathworld "Теорема Гейне-Бореля"

[Sundström-1] а ^б Раман-Сундстрём, Маня (август – сентябрь 2015 г.). «Педагогическая история компактности». Американский математический ежемесячный журнал. 122 (7): 619–635. arXiv:1006.4131. Дои:10.4169 / amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10.4169 / amer.math.monthly.122.7.619.

[sundstrom_2010-2] Сундстрём, Маня Раман (2010). «Педагогическая история компактности». arXiv:1006.4131v1 [math.HO ].CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)

[3] Множество ${ displaystyle B}$ в метрическом пространстве ${ displaystyle (X, d)}$ как говорят ограниченный если он содержится в шаре конечного радиуса, т.е. существует ${ displaystyle x in X}$ и ${ displaystyle r> 0}$ такой, что ${ Displaystyle B substeq {х в X: d (x, a) leq r }}$ .

[FOOTNOTEWilliamsonJanos1987-4] Уильямсон и Янош 1987.

[FOOTNOTEKirillovGvishiani1982Theorem_28-5] Кириллов и Гвишиани 1982, Теорема 28.

[FOOTNOTEEdwards19658.4.7-6] а ^б ^c Эдвардс 1965, 8.4.7.

[7] Множество ${ displaystyle B}$ в топологическом векторном пространстве ${ displaystyle X}$ как говорят ограниченный если для каждой окрестности нуля ${ displaystyle U}$ в ${ displaystyle X}$ существует скаляр ${ displaystyle lambda}$ такой, что ${ Displaystyle B substeq lambda cdot U}$ .

[8] В случае, когда топология топологического векторного пространства ${ displaystyle X}$ порождается некоторой метрикой ${ displaystyle d}$ это определение не эквивалентно определению свойства Гейне – Бореля ${ displaystyle X}$ как метрическое пространство, поскольку понятие ограниченного множества в ${ displaystyle X}$ как метрическое пространство отличается от понятия ограниченного множества в ${ displaystyle X}$ как топологическое векторное пространство. Например, пространство ${ Displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty} [0,1]}$ гладких функций на интервале ${ displaystyle [0,1]}$ с метрикой ${ displaystyle d (x, y) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {k}}} cdot { frac { max _ {t in [0,1]} | x ^ {(k)} (t) -y ^ {(k)} (t) |} {1+ max _ {t in [0,1]} | x ^ { (k)} (t) -y ^ {(k)} (t) |}}}$ (Вот ${ Displaystyle х ^ {(к)}}$ это ${ displaystyle k}$ -я производная функции ${ Displaystyle х в { mathcal {C}} ^ { infty} [0,1]}$ ) обладает свойством Гейне – Бореля как топологическое векторное пространство, но не как метрическое пространство.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]