Ограниченное множество - Bounded set
- «Граница» и «граница» - разные понятия; для последнего см. граница (топология). А круг изолированно является безграничным ограниченным множеством, а полуплоскость неограничен, но имеет границу.
В математический анализ и смежные области математика, а набор называется ограниченный если он в определенном смысле имеет конечный размер. И наоборот, неограниченное множество называется неограниченный. Слово «ограниченный» не имеет смысла в общем топологическом пространстве без соответствующего метрика.
Определение в реальных числах
Множество S из действительные числа называется ограниченный сверху если существует какое-то действительное число k (не обязательно в S) такие, что k ≥ s для всех s в S. Число k называется верхняя граница из S. Условия ограниченный снизу и нижняя граница аналогичным образом определены.
Множество S является ограниченный если он имеет как верхнюю, так и нижнюю границы. Следовательно, набор действительных чисел ограничен, если он содержится в конечный интервал.
Определение в метрическом пространстве
А подмножество S из метрическое пространство (M, d) является ограниченный если существует р > 0 такое, что для всех s и т в S, имеем d (s, т) < р. (M, d) это ограниченный метрическое пространство (или d это ограниченный метрика) если M ограничено как подмножество самого себя.
- Полная ограниченность влечет ограниченность. Для подмножеств рп эти два эквивалентны.
- Метрическое пространство компактный если и только если это полный и полностью ограничен.
- Подмножество Евклидово пространство рп компактен тогда и только тогда, когда он закрыто и ограничен.
Ограниченность в топологических векторных пространствах
В топологические векторные пространства существует другое определение ограниченных множеств, которое иногда называют ограниченность фон Неймана. Если топология топологического векторного пространства индуцирована метрика который однородный, как и в случае метрики, индуцированной норма из нормированные векторные пространства, то два определения совпадают.
Ограниченность в теории порядка
Набор действительных чисел ограничен тогда и только тогда, когда он имеет верхнюю и нижнюю границы. Это определение распространяется на подмножества любых частично заказанный набор. Обратите внимание, что это более общее понятие ограниченности не соответствует понятию «размер».
Подмножество S частично упорядоченного набора п называется ограниченный сверху если есть элемент k в п такой, что k ≥ s для всех s в S. Элемент k называется верхняя граница из S. Концепции ограниченный снизу и нижняя граница определяются аналогично. (Смотрите также верхняя и нижняя границы.)
Подмножество S частично упорядоченного набора п называется ограниченный если он имеет как верхнюю, так и нижнюю границы, или, что эквивалентно, если он содержится в интервал. Обратите внимание, что это не просто свойство набора S но также один из множества S как подмножество п.
А ограниченный позет п (то есть само по себе, а не как подмножество) имеет наименьший элемент и величайший элемент. Обратите внимание, что это понятие ограниченности не имеет ничего общего с конечным размером и что подмножество S ограниченного позета п с заказом ограничение приказа о п не обязательно ограниченный ч. у.
Подмножество S из рп ограничена относительно Евклидово расстояние тогда и только тогда, когда он ограничен как подмножество рп с заказ продукта. Однако, S может быть ограничено как подмножество рп с лексикографический порядок, но не относительно евклидова расстояния.
Класс порядковые номера называется неограниченным, или финальный, когда задан какой-либо порядковый номер, всегда есть элемент класса, превышающий его. Таким образом, в этом случае «неограниченный» не означает неограниченный сам по себе, но неограниченный как подкласс класса всех порядковых чисел.
Смотрите также
использованная литература
- Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (1982). Введение в реальный анализ. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-05944-7.
- Рихтмайер, Роберт Д. (1978). Основы высшей математической физики. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-08873-3.