Cofinal (математика) - Cofinal (mathematics)

В математика, позволять А быть набором и пусть ≤ быть бинарное отношение на А. Потом подмножество B ⊆ А как говорят финальный или частый^[1] в А если он удовлетворяет следующему условию:

Для каждого а ∈ А, есть некоторые б ∈ B такой, что а ≤ б.

Подмножество, которое встречается не часто, называется нечасто.^[1] Это определение чаще всего применяется, когда А это частично заказанный набор или направленный набор по отношению ≤.

Конфинальные подмножества очень важны в теории направленных множеств и сети, где "финальная подсеть »Является подходящим обобщением«подпоследовательность ». Они также важны в теория порядка, включая теорию Количественные числительные, где минимально возможный мощность окончательного подмножества А называется конфинальность из А.

Подмножество B ⊆ А как говорят монетный (или плотный в том смысле принуждение ), если он удовлетворяет следующему условию:

Для каждого а ∈ А, есть некоторые б ∈ Bтакой, что б ≤ а.

Это теоретико-порядковый дуальный к понятию окончательного подмножества.

Обратите внимание, что конфинальные и коинициальные подмножества плотны в смысле подходящего (правого или левого) топология заказа.

Свойства

Конфинальное отношение над частично упорядоченными множествами ("позы ") является рефлексивный: каждый посет сам по себе является окончательным. Это также переходный: если B является конфинальным подмножеством чугуна А, и C является окончательным подмножеством B (с частичным упорядочением А применительно к B), тогда C также является финальным подмножеством А.

Для частично заказанного набора с максимальные элементы, каждое финальное подмножество должно содержать все максимальные элементы, иначе максимальный элемент, которого нет в подмножестве, не смог бы быть меньше или равно любой элемент подмножества, нарушающий определение cofinal. Для частично упорядоченного набора с величайший элемент, подмножество конфинально тогда и только тогда, когда оно содержит этот наибольший элемент (это следует, поскольку наибольший элемент обязательно является максимальным элементом). Частично упорядоченные множества без наибольшего элемента или максимальных элементов допускают непересекающиеся конфинальные подмножества. Например, четное и нечетное натуральные числа образуют непересекающиеся конфинальные подмножества множества всех натуральных чисел.

Если частично упорядоченный набор А признает полностью заказанный окончательное подмножество, то мы можем найти подмножество B это хорошо организованный и cofinal в А.

Если (А, ≤) это направленный набор и если B ⊆ А является окончательным подмножеством А тогда (B, ≤) также является направленным множеством.^[1]

Примеры и достаточные условия

Любое надмножество конфинальных подмножеств является конфинальным.^[1] Если (А, ≤) это предзаказанный набор и если некоторое объединение (одного или нескольких) конечного числа подмножеств ${ Displaystyle S_ {1} чашка cdots чашка S_ {n}}$ конфинально, то хотя бы одно из множества ${ Displaystyle S_ {1}, ldots, S_ {n}}$ является окончательным.^[1]

Окончательный набор подмножеств

Дан частный, но важный случай, если А является подмножеством набор мощности п(E) некоторого набора E, упорядоченный обратным включением (⊇). Учитывая этот порядок А, подмножество B ⊆ А является окончательным в А если для каждого а ∈ А Существует б ∈ Bтакой, что а ⊇ б.

Например, пусть E быть группой и пусть А быть набором нормальные подгруппы конечных показатель. В бесконечное завершение из E определяется как обратный предел из обратная система конечных частных E (которые параметризованы набором А). В этой ситуации каждое финальное подмножество А достаточно, чтобы построить и описать проконечное пополнение E.

Связанные понятия

А карта ж : Икс → А между двумя направленными множествами называется окончательный^[2] если ассортимент ж(Икс) f является конфинальным подмножеством А.

Смотрите также

• Cofinite
• Cofinality
• Верхний набор - подмножество U частично упорядоченного набора (п,≤) который содержит каждый элемент y из п для которого есть Икс в U с участием Икс ≤ y

использованная литература

• Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.