Диапазон функции - Range of a function

${ displaystyle f}$ это функция от домен Икс к codomain Y. Желтый овал внутри Y это изображение из ${ displaystyle f}$. Иногда «диапазон» относится к изображению, а иногда к кодомену.

В математика, то диапазон функция может относиться к любому из двух тесно связанных понятий:

• В codomain функции
• В изображение функции

Терминология

Поскольку термин «диапазон» может иметь разные значения, считается хорошей практикой определять его при первом использовании в учебнике или статье. В старых книгах слово «диапазон» обычно используется для обозначения того, что сейчас называется codomain.^[1][2] Более современные книги, если они вообще используют слово «диапазон», обычно используют его для обозначения того, что сейчас называется изображение.^[3] Во избежание путаницы в ряде современных книг вообще не используется слово «диапазон».^[4]

Разработка и пример

Учитывая функцию

${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$

с домен ${ displaystyle X}$, диапазон ${ displaystyle f}$, иногда обозначается ${ displaystyle operatorname {ran} (f)}$ или же ${ displaystyle operatorname {Range} (f)}$,^[5][6] может относиться к кодомену или целевому набору ${ displaystyle Y}$ (т. е. набор, в который все выходные данные ${ displaystyle f}$ вынужден упасть) или ${ Displaystyle f (X)}$, образ области ${ displaystyle f}$ под ${ displaystyle f}$ (т.е. подмножество ${ displaystyle Y}$ состоящий из всех фактических выходов ${ displaystyle f}$). Образ функции всегда является подмножеством кодомена функции.^[7]

В качестве примера двух разных способов использования рассмотрим функцию ${ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$ как это используется в реальный анализ (то есть как функция, которая вводит настоящий номер и выводит свой квадрат). В этом случае его доменом является набор действительных чисел ${ Displaystyle mathbb {R}}$, но его изображение представляет собой набор неотрицательных действительных чисел ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {+}}$, поскольку ${ displaystyle x ^ {2}}$ никогда не бывает отрицательным, если ${ displaystyle x}$ реально. Для этой функции, если мы используем "диапазон" для обозначения codomain, это относится к ${ Displaystyle mathbb { Displaystyle mathbb {R} ^ {}}}$; если мы используем "диапазон" для обозначения изображение, это относится к ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {+}}$.

Во многих случаях изображение и домен могут совпадать. Например, рассмотрим функцию ${ Displaystyle f (x) = 2x}$, который вводит действительное число и выводит его двойное значение. Для этой функции кодомен и изображение одинаковы (оба являются набором действительных чисел), поэтому диапазон слов однозначен.

Смотрите также

• Биекция, инъекция и сюръекция
• Основной диапазон

Примечания и ссылки

Библиография

• Чайлдс (2009). Конкретное введение в высшую алгебру. Тексты для бакалавриата по математике (3-е изд.). Springer. ISBN  978-0-387-74527-5. OCLC  173498962.
• Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. ISBN  978-0-471-43334-7. OCLC  52559229.
• Хангерфорд, Томас В. (1974). Алгебра. Тексты для выпускников по математике. 73. Springer. ISBN  0-387-90518-9. OCLC  703268.
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN  0-07-054236-8.