Структура (математическая логика) - Structure (mathematical logic)

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Апрель 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В универсальная алгебра И в теория моделей, а структура состоит из набор вместе с коллекцией финансовые операции и связи которые определены на нем.

Универсальная алгебра изучает структуры, обобщающие алгебраические структуры Такие как группы, кольца, поля и векторные пространства. Период, термин универсальная алгебра используется для конструкций без символы отношения.^[1]

Теория моделей имеет другую область применения, которая охватывает более произвольные теории, в том числе основополагающий конструкции, такие как модели теория множеств. С теоретико-модельной точки зрения структуры - это объекты, используемые для определения семантики логика первого порядка. Для данной теории в теории моделей структура называется модель если он удовлетворяет определяющим аксиомам этой теории, хотя иногда его неоднозначно называют семантическая модель когда обсуждают понятие в более общем контексте математические модели. Логики иногда называют структуры интерпретации.^[2]

В теория баз данных, структуры без функций изучаются как модели для реляционных базы данных, в виде реляционные модели.

Определение

Формально структура можно определить как тройку ${displaystyle {mathcal {A}} = (A, сигма, I)}$ состоящий из домен А, а подпись σ и функция интерпретации я это указывает, как подпись должна интерпретироваться в домене. Чтобы указать, что структура имеет конкретную сигнатуру σ, ее можно назвать σ-структурой.

Домен

В домен конструкции - произвольное множество; его также называют базовый набор конструкции, ее перевозчик (особенно в универсальной алгебре), или ее вселенная (особенно в теории моделей). В классической логике первого порядка определение структуры запрещает пустой домен.^[3]

Иногда обозначения ${displaystyle operatorname {dom} ({mathcal {A}})}$ или же ${displaystyle | {mathcal {A}} |}$ используется для домена ${displaystyle {mathcal {A}}}$, но часто не делается различий между структурой и ее доменом. (То есть тот же символ ${displaystyle {mathcal {A}}}$ относится как к структуре, так и к ее домену.)^[4]

Подпись

В подпись ${displaystyle sigma = (S, имя оператора {ar})}$ конструкции состоит из набора ${displaystyle S}$ из функциональные символы и символы отношения вместе с функцией ${displaystyle {ext {ar:}} S o mathbb {N} _ {0}}$ что приписывает каждому символу s а натуральное число ${displaystyle n = имя оператора {ar} (s)}$ который называется арность из s потому что это арность толкования s.

Поскольку подписи, возникающие в алгебра часто содержат только функциональные символы, подпись без символов отношения называется алгебраическая подпись. Структура с такой подписью также называется алгебра; это не следует путать с понятием алгебра над полем.

Функция интерпретации

В функция интерпретации я из ${displaystyle {mathcal {A}}}$ назначает функции и отношения символам подписи. Символ каждой функции ж арности п назначается п-ари функция ${displaystyle f ^ {mathcal {A}} = I (f)}$ в домене. Каждый символ отношения р арности п назначается п-арное отношение ${displaystyle R ^ {mathcal {A}} = I (R) subteq A ^ {имя оператора {ar (R)}}}$ в домене. Символ нулевой функции c называется постоянный символ, потому что его интерпретация IC) можно отождествить с постоянным элементом домена.

Когда структура (и, следовательно, функция интерпретации) задается контекстом, между символами не делается никаких различий в обозначениях. s и его интерпретация Является). Например, если ж является двоичным функциональным символом ${displaystyle {mathcal {A}}}$, просто пишут ${displaystyle f: {mathcal {A}} ^ {2} ightarrow {mathcal {A}}}$ скорее, чем ${displaystyle f ^ {mathcal {A}}: | {mathcal {A}} | ^ {2} ightarrow | {mathcal {A}} |}$.

Примеры

Стандартная сигнатура σ_ж за поля состоит из двух двоичных функциональных символов + и ×, где могут быть получены дополнительные символы, такие как унарный функциональный символ − (однозначно определяется +) и два постоянных символа 0 и 1 (однозначно определяется + и × соответственно). Таким образом, структура (алгебра) этой сигнатуры состоит из набора элементов А вместе с двумя бинарными функциями, которые могут быть расширены унарной функцией, и двумя выделенными элементами; но нет требования, чтобы он удовлетворял какой-либо из аксиом поля. В рациональное число Q, то действительные числа р и сложные числа C, как и любое другое поле, очевидным образом можно рассматривать как σ-структуры:

${displaystyle {mathcal {Q}} = (Q, sigma _ {f}, I_ {mathcal {Q}})}$

${displaystyle {mathcal {R}} = (R, sigma _ {f}, I_ {mathcal {R}})}$

${displaystyle {mathcal {C}} = (C, sigma _ {f}, I_ {mathcal {C}})}$

Во всех трех случаях мы имеем стандартную подпись

${displaystyle sigma _ {f} = (S_ {f}, имя оператора {ar} _ {f})}$

с

${displaystyle S_ {f} = {+, imes, -, 0,1}}$,   ${displaystyle operatorname {ar} _ {f} (+) = operatorname {ar} _ {f} (imes) = 2, operatorname {ar} _ {f} (-) = 1, operatorname {ar} _ {f} (0) = имя оператора {ar} _ {f} (1) = 0}$. ^[5]

Функции интерпретации:

${displaystyle I_ {mathcal {Q}} (+) двоеточие Q imes Q o Q}$ сложение рациональных чисел,

${displaystyle I_ {mathcal {Q}} (imes) двоеточие Q imes Q o Q}$ умножение рациональных чисел,

${displaystyle I_ {mathcal {Q}} (-) двоеточие Q o Q}$ функция, которая принимает каждое рациональное число Икс к -Икс, и

${displaystyle I_ {mathcal {Q}} (0) в Q}$ это число 0 и

${displaystyle I_ {mathcal {Q}} (1) в Q}$ это число 1;

и ${displaystyle I_ {mathcal {R}}}$ и ${displaystyle I_ {mathcal {C}}}$ аналогичным образом определены.^[5]

Но кольцо Z из целые числа, который не является полем, также является σ_ж-структурировать таким же образом. На самом деле нет требования, чтобы любой аксиом поля справедливы в σ_ж-структура.

Подпись для упорядоченные поля требует дополнительного бинарного отношения, такого как <или ≤, и поэтому структуры для такой сигнатуры не являются алгебрами, даже если они, конечно, алгебраические структуры в обычном, широком смысле этого слова.

Обычная сигнатура для теории множеств включает единственное бинарное отношение ∈. Структура этой подписи состоит из набора элементов и интерпретации отношения ∈ как бинарного отношения к этим элементам.

Индуцированные подструктуры и замкнутые подмножества

${displaystyle {mathcal {A}}}$ называется (индуцированная) субструктура из ${displaystyle {mathcal {B}}}$ если

• ${displaystyle {mathcal {A}}}$ и ${displaystyle {mathcal {B}}}$ иметь такую ​​же подпись ${displaystyle sigma ({mathcal {A}}) = sigma ({mathcal {B}})}$;
• область ${displaystyle {mathcal {A}}}$ содержится в области ${displaystyle {mathcal {B}}}$: ${displaystyle | {mathcal {A}} | substeq | {mathcal {B}} |}$; и
• интерпретации всех символов функций и отношений согласуются ${displaystyle | {mathcal {A}} |}$.

Обычное обозначение этого отношения: ${displaystyle {mathcal {A}} substeq {mathcal {B}}}$.

Подмножество ${displaystyle Bsubseteq | {mathcal {A}} |}$ области структуры ${displaystyle {mathcal {A}}}$ называется закрыто если он закрыт под функциями ${displaystyle {mathcal {A}}}$, т.е. если выполняется условие: для каждого натурального числа п, каждый псимвол функции ж (в подписи ${displaystyle {mathcal {A}}}$) и все элементы ${displaystyle b_ {1}, b_ {2}, dots, b_ {n} in B}$, результат применения ж к ппара ${displaystyle b_ {1} b_ {2} dots b_ {n}}$ снова является элементом B: ${displaystyle f (b_ {1}, b_ {2}, dots, b_ {n}) в B}$.

Для каждого подмножества ${displaystyle Bsubseteq | {mathcal {A}} |}$ есть наименьшее замкнутое подмножество ${displaystyle | {mathcal {A}} |}$ который содержит B. Это называется замкнутым подмножеством генерируется к B, или корпус из B, и обозначается ${displaystyle langle Bangle}$ или же ${displaystyle langle Bangle _ {mathcal {A}}}$. Оператор ${displaystyle langle angle}$ это оператор окончательного закрытия на набор подмножеств из ${displaystyle | {mathcal {A}} |}$.

Если ${displaystyle {mathcal {A}} = (A, сигма, I)}$ и ${displaystyle Bsubseteq A}$ замкнутое подмножество, то ${displaystyle (B, sigma, I ')}$ является индуцированной подструктурой ${displaystyle {mathcal {A}}}$, куда ${displaystyle I '}$ сопоставляет каждому символу σ ограничение на B его интерпретации в ${displaystyle {mathcal {A}}}$. И наоборот, область индуцированной подструктуры является замкнутым подмножеством.

Замкнутые подмножества (или индуцированные подструктуры) структуры образуют решетка. В встретить двух подмножеств является их пересечением. В присоединиться двух подмножеств - это замкнутое подмножество, порожденное их объединением. Универсальная алгебра подробно изучает решетку подструктур конструкции.

Примеры

Пусть σ = {+, ×, -, 0, 1} снова будет стандартной сигнатурой для полей. Если рассматривать естественным образом как σ-структуры, рациональное число образуют подструктуру действительные числа, а действительные числа образуют подструктуру сложные числа. Рациональные числа - это наименьшая подструктура действительных (или комплексных) чисел, которая также удовлетворяет аксиомам поля.

Набор целых чисел дает еще меньшую подструктуру действительных чисел, которая не является полем. Действительно, целые числа являются подструктурой действительных чисел, генерируемых пустым набором с использованием этой сигнатуры. В абстрактной алгебре понятие, соответствующее субструктуре поля в этой сигнатуре, является понятием подкольцо, а не подполе.

Самый очевидный способ определить график - структура с сигнатурой σ, состоящая из одного символа двоичного отношения E. Вершины графа образуют область структуры, а для двух вершин а и б, ${displaystyle (a, b)! in {ext {E}}}$ Значит это а и б связаны ребром. В этом кодировании понятие индуцированной субструктуры является более ограничительным, чем понятие подграф. Например, пусть грамм - граф, состоящий из двух вершин, соединенных ребром, и пусть ЧАС - граф, состоящий из тех же вершин, но без ребер. ЧАС является подграфом грамм, но не индуцированная субструктура. Понятие в теория графов индуцированным подструктурам соответствует индуцированный подграф.

Гомоморфизмы и вложения

Гомоморфизмы

Учитывая две структуры ${displaystyle {mathcal {A}}}$ и ${displaystyle {mathcal {B}}}$ той же сигнатуры σ, a (σ-) гомоморфизм из ${displaystyle {mathcal {A}}}$ к ${displaystyle {mathcal {B}}}$ это карта ${displaystyle h: | {mathcal {A}} | ightarrow | {mathcal {B}} |}$ который сохраняет функции и отношения. Точнее:

• Для каждого псимвол функции ж σ и любых элементов ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n} in | {mathcal {A}} |}$, выполняется следующее уравнение:

${displaystyle h (f (a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n})) = f (h (a_ {1}), h (a_ {2}), dots, h (a_ {n}) }))}$.

• Для каждого псимвол -арное отношение р σ и любых элементов ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n} in | {mathcal {A}} |}$, имеет место следующая импликация:

${displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n}) в Rimplies (h (a_ {1}), h (a_ {2}), dots, h (a_ {n})) в Р}$.

Обозначения для гомоморфизма час из ${displaystyle {mathcal {A}}}$ к ${displaystyle {mathcal {B}}}$ является ${displaystyle h: {mathcal {A}} ightarrow {mathcal {B}}}$.

Для каждой сигнатуры σ существует конкретный категория σ-Hom который имеет σ-структуры как объекты и σ-гомоморфизмы как морфизмы.

Гомоморфизм ${displaystyle h: {mathcal {A}} ightarrow {mathcal {B}}}$ иногда называют сильный если для каждого псимвол -арное отношение р и любые элементы ${displaystyle b_ {1}, b_ {2}, dots, b_ {n} in | {mathcal {B}} |}$ такой, что ${displaystyle (b_ {1}, b_ {2}, dots, b_ {n}) в R}$, Существуют ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n} in | {mathcal {A}} |}$ такой, что ${displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n}) в R}$ и ${displaystyle b_ {1} = h (a_ {1}) ,, b_ {2} = h (a_ {2}) ,, dots ,, b_ {n} = h (a_ {n}).}$^{[нужна цитата ]}Сильные гомоморфизмы порождают подкатегорию σ-Hom.

Вложения

(Σ-) гомоморфизм ${displaystyle h: {mathcal {A}} ightarrow {mathcal {B}}}$ называется (σ-)встраивание если это один к одному и

• для каждого псимвол -арное отношение р σ и любых элементов ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n}}$, имеет место следующая эквивалентность:

${displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {n}) в Riff (h (a_ {1}), h (a_ {2}), dots, h (a_ {n})) в Р}$.

Таким образом, вложение - это то же самое, что и сильный взаимно однозначный гомоморфизм. Категория σ-Emb σ-структур и σ-вложений является конкретным подкатегория σ-Hom.

Индуцированные подструктуры соответствуют подобъекты в σ-Emb. Если σ имеет только функциональные символы, σ-Emb подкатегория мономорфизмы σ-Hom. В этом случае индуцированные субструктуры также соответствуют подобъектам в σ-Hom.

Пример

Как видно выше, при стандартном кодировании графов как структур индуцированные подструктуры являются в точности индуцированными подграфами. Однако гомоморфизм между графами это то же самое, что и гомоморфизм между двумя структурами, кодирующими граф. В примере из предыдущего раздела, хотя подграф ЧАС из грамм не индуцируется, идентификатор карты идентичности:ЧАС → грамм является гомоморфизмом. Эта карта на самом деле мономорфизм в категории σ-Hom, и поэтому ЧАС это подобъект из грамм которая не является индуцированной субструктурой.

Проблема гомоморфизма

Следующая проблема известна как проблема гомоморфизма:

Учитывая две конечные структуры ${displaystyle {mathcal {A}}}$ и ${displaystyle {mathcal {B}}}$ конечной реляционной сигнатуры, найдите гомоморфизм ${displaystyle h: {mathcal {A}} ightarrow {mathcal {B}}}$ или показать, что такого гомоморфизма не существует.

Каждый проблема удовлетворения ограничений (CSP) имеет перевод в проблему гомоморфизма.^[6] Следовательно сложность CSP могут быть изучены методами теория конечных моделей.

Другое приложение находится в теория баз данных, где реляционная модель из база данных по сути то же самое, что и реляционная структура. Получается, что конъюнктивный запрос в базе данных может быть описана другой структурой в той же сигнатуре, что и модель базы данных. Гомоморфизм реляционной модели в структуру, представляющую запрос, - это то же самое, что и решение запроса. Это показывает, что проблема конъюнктивного запроса также эквивалентна проблеме гомоморфизма.

Структуры и логика первого порядка

Структуры иногда называют «структурами первого порядка». Это вводит в заблуждение, поскольку ничто в их определении не связывает их с какой-либо конкретной логикой, и на самом деле они подходят в качестве семантических объектов как для очень ограниченных фрагментов логики первого порядка, такой как та, которая используется в универсальной алгебре, так и для логика второго порядка. В связи с логикой первого порядка и теорией моделей структуры часто называют модели, даже когда вопрос "модели чего?" нет однозначного ответа.

Отношение удовлетворения

Каждая структура первого порядка ${displaystyle {mathcal {M}}}$ имеет отношение удовлетворения ${displaystyle {mathcal {M}} vDash phi}$ определено для всех формул ${displaystyle, phi}$ на языке, состоящем из языка ${displaystyle {mathcal {M}}}$ вместе с постоянным символом для каждого элемента M, который интерпретируется как этот элемент. Это отношение определяется индуктивно с использованием формулы Тарского Т-схема.

Структура ${displaystyle {mathcal {M}}}$ считается модель из теория Т если язык ${displaystyle {mathcal {M}}}$ такой же, как язык Т и каждое предложение в Т удовлетворен ${displaystyle {mathcal {M}}}$. Так, например, «кольцо» - это структура языка колец, которая удовлетворяет каждой из аксиом колец, и модель Теория множеств ZFC - это структура на языке теории множеств, удовлетворяющая каждой из аксиом ZFC.

Определимые отношения

An п-арное отношение р во вселенной M структуры ${displaystyle {mathcal {M}}}$ как говорят определяемый (или же явно определяемый, или же ${displaystyle emptyset}$-определяемый), если существует формула φ (Икс₁,...,Икс_п) такие, что

${displaystyle R = {(a_ {1}, ldots, a_ {n}) в M ^ {n}: {mathcal {M}} vDash varphi (a_ {1}, ldots, a_ {n})}.}$

Другими словами, р определима тогда и только тогда, когда существует формула φ такая, что

${displaystyle (a_ {1}, ldots, a_ {n}) в RLeftrightarrow {mathcal {M}} vDash varphi (a_ {1}, ldots, a_ {n})}$

верно.

Важным частным случаем является определяемость конкретных элементов. Элемент м из M можно определить в ${displaystyle {mathcal {M}}}$ тогда и только тогда, когда существует формула φ (Икс) такие, что

${displaystyle {mathcal {M}} vDash forall x (x = mleftrightarrow varphi (x)).}$

Возможность определения с параметрами

Отношение р как говорят определяется параметрами (или же ${displaystyle | {mathcal {M}} |}$-определяемый), если существует формула φ с параметрами из ${displaystyle {mathcal {M}}}$ такой, что р определима с помощью φ. Каждый элемент структуры можно определить, используя сам элемент в качестве параметра.

Некоторые авторы используют определяемый значить определяется без параметров,^{[нужна цитата ]} в то время как другие авторы имеют в виду определяется параметрами.^{[нужна цитата ]} Вообще говоря, соглашение, которое определяемый средства определяется без параметров чаще встречается среди теоретиков множеств, в то время как противоположное соглашение более распространено среди теоретиков моделей.

Неявная определимость

Напомним выше, что п-арное отношение р во вселенной M структуры ${displaystyle {mathcal {M}}}$ явно определима, если существует формула φ (Икс₁,...,Икс_п) такие, что

${displaystyle R = {(a_ {1}, ldots, a_ {n}) в M ^ {n}: {mathcal {M}} vDash varphi (a_ {1}, ldots, a_ {n})}}$

Здесь формула φ использовалась для определения отношения р должен быть за подписью ${displaystyle {mathcal {M}}}$ и поэтому φ может не упоминать р сам, поскольку р нет в подписи ${displaystyle {mathcal {M}}}$. Если в расширенном языке существует формула φ, содержащая язык ${displaystyle {mathcal {M}}}$ и новый символ р, а соотношение р это единственное отношение на ${displaystyle {mathcal {M}}}$ такой, что ${displaystyle {mathcal {M}} vDash varphi}$, тогда р как говорят неявно определяемый над ${displaystyle {mathcal {M}}}$.

По теореме Бет каждое неявно определимое отношение явно определимо.

Многосортные структуры

Структуры, как определено выше, иногда называют односортированная структураs отличить их от более общих многосортная структураs. Многосортная структура может иметь произвольное количество доменов. В сортирует являются частью подписи и играют роль имен для разных доменов. Многосортные подписи также прописать, на каких сортировках определены функции и отношения многосортной структуры. Следовательно, арности функциональных символов или символов отношений должны быть более сложными объектами, такими как разновидности кортежей, а не натуральными числами.

Векторные пространства, например, можно рассматривать как двусортные структуры следующим образом. Двусортированная сигнатура векторных пространств состоит из двух видов V (для векторов) и S (для скаляров) и следующие функциональные символы:

Если V векторное пространство над полем F, соответствующая двусортная структура ${displaystyle {mathcal {V}}}$ состоит из векторной области ${displaystyle | {mathcal {V}} | _ {V} = V}$, скалярная область ${displaystyle | {mathcal {V}} | _ {S} = F}$, а очевидные функции, такие как нулевой вектор ${displaystyle 0_ {V} ^ {mathcal {V}} = 0in | {mathcal {V}} | _ {V}}$, скалярный нуль ${displaystyle 0_ {S} ^ {mathcal {V}} = 0in | {mathcal {V}} | _ {S}}$, или скалярное умножение ${displaystyle imes ^ {mathcal {V}}: | {mathcal {V}} | _ {S} imes | {mathcal {V}} | _ {V} ightarrow | {mathcal {V}} | _ {V}}$.

Многосортированные структуры часто используются как удобный инструмент, даже если их можно избежать, приложив немного усилий. Но они редко определяются строго, поскольку явное выполнение обобщения является простым и утомительным (а значит, и неблагодарным).

В большинстве математических исследований сортам уделяется не так много внимания. А разносторонняя логика однако естественно приводит к теория типов. В качестве Барт Джейкобс говорит: «Логика всегда является логикой над теорией типов». Этот акцент, в свою очередь, приводит к категориальная логика потому что логика над теорией типов категорически соответствует одной («общей») категории, охватывающей логику, будучи волокнистый над другой («базовой») категорией, захватывая теорию типов.^[7]

Другие обобщения

Частные алгебры

И универсальная алгебра, и теория моделей изучают классы (структур или) алгебр, которые определяются сигнатурой и набором аксиом. В случае теории моделей эти аксиомы имеют форму предложений первого порядка. Формализм универсальной алгебры гораздо более ограничен; по сути, он допускает только предложения первого порядка, которые имеют форму универсальных количественных уравнений между терминами, например ${displaystyle forall}$ Икс ${displaystyle forall}$у (Икс + у = у + Икс). Одним из следствий этого является то, что выбор сигнатуры более значим в универсальной алгебре, чем в теории моделей. Например, класс групп в сигнатуре, состоящей из символа двоичной функции × и постоянного символа 1, является начальный класс, но это не разнообразие. Универсальная алгебра решает эту проблему, добавляя унарный функциональный символ ⁻¹.

В случае полей эта стратегия работает только на добавление. Для умножения это не удается, потому что 0 не имеет обратного умножения. Специальной попыткой разобраться с этим было бы определение 0⁻¹ = 0. (Эта попытка не удалась, в основном потому, что с этим определением 0 × 0⁻¹ = 1 неверно.) Следовательно, естественно возникает необходимость разрешить частичные функции, то есть функции, которые определены только на подмножестве своей области. Однако есть несколько очевидных способов обобщения таких понятий, как субструктура, гомоморфизм и идентичность.

Структуры для типизированных языков

В теория типов, есть много видов переменных, каждая из которых имеет тип. Типы определяются индуктивно; для двух типов δ и σ существует также тип σ → δ, который представляет функции от объектов типа σ до объектов типа δ. Структура для типизированного языка (в обычной семантике первого порядка) должна включать отдельный набор объектов каждого типа, а для типа функции структура должна иметь полную информацию о функции, представленной каждым объектом этого типа.

Языки высшего порядка

Существует несколько возможных семантик для логика высшего порядка, как обсуждалось в статье о логика второго порядка. При использовании полной семантики более высокого порядка структура должна иметь только юниверс для объектов типа 0, а T-схема расширяется так, чтобы квантор над типом более высокого порядка удовлетворялся моделью тогда и только тогда, когда это дисквотационно истинный. При использовании семантики первого порядка для каждого типа более высокого порядка добавляется дополнительная сортировка, как в случае много сортированного языка первого порядка.

Структуры, являющиеся собственными классами

При изучении теория множеств и теория категорий, иногда полезно рассмотреть структуры, в которых область дискурса правильный класс вместо набора. Эти структуры иногда называют модели классов чтобы отличить их от «установленных моделей», описанных выше. Когда домен является надлежащим классом, каждая функция и символ отношения также могут быть представлены надлежащим классом.

В Бертран Рассел с Principia Mathematica, структурам также было разрешено иметь соответствующий класс в качестве своей области.

Смотрите также

• Математическая структура

Примечания

Рекомендации

• Беррис, Стэнли Н .; Санкаппанавар, Х. П. (1981), Курс универсальной алгебры, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Чанг, Чен Чунг; Кейслер, Х. Джером (1989) [1973], Модельная теория, Эльзевьер, ISBN  978-0-7204-0692-4
• Дистель, Рейнхард (2005) [1997], Теория графов, Тексты для выпускников по математике, 173 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-26183-4
• Эббингаус, Хайнц-Дитер; Флум, Йорг; Томас, Вольфганг (1994), Математическая логика (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-0-387-94258-2
• Хинман, П. (2005), Основы математической логики, А. К. Питерс, ISBN  978-1-56881-262-5
• Ходжес, Уилфрид (1993), Теория моделей, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-30442-9
• Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая теория модели, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-58713-6
• Маркер, Дэвид (2002), Теория моделей: введение, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98760-6
• Поаза, Бруно (2000), Курс теории моделей: введение в современную математическую логику, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98655-5
• Раутенберг, Вольфганг (2010), Краткое введение в математическую логику (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer Science + Business Media, Дои:10.1007/978-1-4419-1221-3, ISBN  978-1-4419-1220-6
• Ротмалер, Филипп (2000), Введение в теорию моделей, Лондон: CRC Press, ISBN  978-90-5699-313-9

внешняя ссылка

• Семантика раздел в Классическая логика (запись Стэнфордская энциклопедия философии )