Principia Mathematica - Principia Mathematica

Титульный лист сокращенного Principia Mathematica в ✸56

✸54.43: "Из этого предложения следует, когда арифметическое сложение будет определено, что 1 + 1 = 2." - Том I, 1-е издание, п. 379 (с. 362 во 2-м изд.; с. 360 в сокращенном варианте). (Доказательство фактически завершено в томе II, 1-е издание, стр.86 с комментарием: «Вышеупомянутое предложение иногда бывает полезным». Далее они говорят: «Он используется по крайней мере трижды, в ✸113,66 и 120,123,472»).

В Principia Mathematica (часто сокращенно ВЕЧЕРА) представляет собой трехтомный труд о основы математики написано философами Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел и опубликовано в 1910, 1912 и 1913 годах. В 1925-1927 годах оно вышло во втором издании с важным Введение во второе издание, Приложение это заменило ✸9 и совершенно новый Приложение B и Приложение C. ВЕЧЕРА не следует путать с Расселом 1903 г. Принципы математики. ВЕЧЕРА изначально задумывался как продолжение книги Рассела 1903 г. Принципы, но, как ВЕЧЕРА утверждает, что это предложение стало неосуществимым по практическим и философским причинам: «Настоящая работа изначально была задумана нами для включения во второй том Основы математики... Но по мере нашего продвижения становилось все более очевидным, что предмет намного больше, чем мы предполагали; более того, по многим фундаментальным вопросам, которые оставались неясными и сомнительными в предыдущей работе, теперь мы пришли к тому, что мы считаем удовлетворительными решениями ».

ВЕЧЕРА, согласно его введению, преследовало три цели: (1) проанализировать в максимально возможной степени идеи и методы математической логики и минимизировать количество примитивных понятий и аксиомы, и правила вывода; (2) точно выразить математические предложения в символическая логика используя наиболее удобные обозначения, которые позволяет точное выражение; (3) разрешить парадоксы, преследующие логику и теория множеств на рубеже 20-го века, как Парадокс Рассела.^[1]

Эта третья цель побудила принять теорию типы в ВЕЧЕРА. Теория типов принимает грамматические ограничения на формулы, которые исключают неограниченное понимание классов, свойств и функций. Результатом этого является то, что формулы, позволяющие понять объекты, подобные множеству Рассела, оказываются плохо сформированными: они нарушают грамматические ограничения системы ВЕЧЕРА.

Без сомнения ВЕЧЕРА имеет большое значение в истории математики и философии: как Ирвин отметил, что это вызвало интерес к символической логике и продвинуло предмет, популяризируя его; он продемонстрировал силу и возможности символической логики; и он показал, как достижения в философии математики и символической логики могут идти рука об руку с огромной плодотворностью.^[2] В самом деле, ВЕЧЕРА отчасти был вызван интересом к логицизм, точка зрения, согласно которой все математические истины являются логическими истинами. Отчасти это произошло благодаря прогрессу, достигнутому в ВЕЧЕРА что, несмотря на его недостатки, были достигнуты многочисленные успехи в мета-логике, в том числе Теоремы Гёделя о неполноте.

За все это, ВЕЧЕРА сегодня широко не используется: вероятно, главная причина этого - его репутация сложного шрифта. Как это ни печально известно, несколько сотен страницВЕЧЕРА предшествует доказательству справедливости предложения 1 + 1 = 2. Современные математики склонны использовать модернизированную форму системы Теория множеств Цермело – Френкеля. Тем не менее, научный, исторический и философский интерес к ВЕЧЕРА отлично и постоянно: например, Современная библиотека поместил его на 23-е место в списке 100 лучших англоязычных документальных книг двадцатого века.^[3]

Объем заложенных основ

В Начала покрыто только теория множеств, Количественные числительные, порядковые номера, и действительные числа. Более глубокие теоремы из реальный анализ не были включены, но к концу третьего тома специалистам стало ясно, что большая часть известной математики может в принципе развиваться в принятом формализме. Было также ясно, насколько длительным будет такое развитие событий.

Четвертый том об основах геометрия планировалось, но авторы признали интеллектуальное истощение после завершения третьего.

Теоретические основы

Как отметил в критике теории Курт Гёдель (ниже), в отличие от формалистическая теория, «логицистская» теория ВЕЧЕРА не имеет «точного изложения синтаксиса формализма». Другое наблюдение заключается в том, что почти сразу в теории интерпретации (в смысле теория моделей ) представлены в виде истинные ценности для поведения символов «⊢» (утверждение истины), «~» (логическое «не») и «V» (логическое включающее ИЛИ).

Истинные ценности: ВЕЧЕРА включает понятия «истина» и «ложь» в понятие «примитивное суждение». Необработанная (чистая) формалистическая теория не дала бы значения символов, образующих «примитивное суждение» - сами символы могут быть абсолютно произвольными и незнакомыми. Теория указала бы только как ведут себя символы на основе грамматики теории. Затем позже назначение "ценностей" модель будет определять интерпретация о том, что говорят формулы. Таким образом, в приведенном ниже формальном символе Клини в скобках дается «интерпретация» того, что обычно означают символы, и косвенно то, как они в конечном итоге используются, например, «¬ (не)». Но это не чисто формалистская теория.

Современное построение формальной теории

список предложений по именам

Предлагается следующая формалистическая теория в отличие от логицистской теории ВЕЧЕРА. Современная формальная система будет построена следующим образом:

1. Используемые символы: Этот набор является стартовым, и другие символы могут появляться, но только определение от этих начальных символов. Начальным набором может быть следующий набор, полученный из Kleene 1952: логические символы: «→» (подразумевает, ЕСЛИ-ТО и «⊃»), «&» (и), «V» (или), «¬» (не), «∀» (для всех), «∃» ( Существует); предикатный символ "=" (равно); функциональные символы «+» (арифметическое сложение), «∙» (арифметическое умножение), «'» (преемник); индивидуальный символ «0» (ноль); переменные "а", "б", "c"и т.д .; и скобки "(" и ")".^[4]
2. Строки символов: Теория построит "нити" из этих символов конкатенация (сопоставление).^[5]
3. Правила формирования: Теория определяет правила синтаксиса (правила грамматики) обычно в виде рекурсивного определения, которое начинается с «0» и указывает, как построить приемлемые строки или «правильно сформированные формулы» (wffs).^[6] Сюда входит правило «подстановки»^[7] строк для символов, называемых «переменными».
4. Правило (а) трансформации: The аксиомы которые определяют поведение символов и их последовательностей.
5. Правило вывода, непривязанность, modus ponens: Правило, которое позволяет теории «отделить» «вывод» от «посылок», которые к нему привели, и затем отбросить «посылки» (символы слева от линии или символы над линией, если горизонтальный). Если бы это было не так, то замена привела бы к более длинным и длинным строкам, которые нужно было бы переносить. Действительно, после применения modus ponens не остается ничего, кроме заключения, все остальное исчезает навсегда.

Современные теории часто указывают в качестве своей первой аксиомы классическую или modus ponens или «правило непривязанности»:

А, А ⊃ B │ B

Символ «│» обычно пишется горизонтальной линией, здесь «⊃» означает «подразумевает». Символы А и B являются «заменой» для струнных; эта форма записи называется «схемой аксиом» (т.е. существует счетное число конкретных форм, которые может принимать запись). Это можно прочитать аналогично IF-THEN, но с разницей: данная строка символов IF А и А подразумевает B ТОГДА B (и оставить только B для дальнейшего использования). Но у символов нет «интерпретации» (например, нет «таблицы истинности», «значений истинности» или «функций истинности»), и modus ponens действует механистически, только с помощью грамматики.

Строительство

Теория ВЕЧЕРА имеет как существенные сходства, так и сходные различия с современной формальной теорией.^{[требуется разъяснение ]} Клини заявляет, что «этот вывод математики из логики был предложен как интуитивная аксиоматика. Предполагалось, что в эти аксиомы нужно верить или, по крайней мере, принимать их как правдоподобные гипотезы относительно мира».^[8] Действительно, в отличие от формалистской теории, которая манипулирует символами в соответствии с правилами грамматики, ВЕЧЕРА вводит понятие «истинностные ценности», то есть истина и ложь в реальный мир смысл, и «утверждение истины» почти сразу в качестве пятого и шестого элементов в структуре теории (ВЕЧЕРА 1962:4–36):

1. Переменные
2. Использование различных букв
3. Основные функции предложений: "Противоречивая функция", символизируемая "~", и "логическая сумма или дизъюнктивная функция", символизируемая "", воспринимаются как примитивное и логическое следствие. определенный (следующий пример также используется для иллюстрации 9. Определение ниже) как
   п ⊃ q .=. ~ п ∨ q Df. (ВЕЧЕРА 1962:11)
   и логический продукт, определенный как
   п . q .=. ~(~п ∨ ~q) Df. (ВЕЧЕРА 1962:12)
4. Эквивалентность: Логический эквивалентность, а не арифметическая эквивалентность: «≡» дано как демонстрация того, как используются символы, т.е. «Таким образом» п ≡ q 'означает' ( п ⊃ q ) . ( q ⊃ п )'." (ВЕЧЕРА 1962: 7). Обратите внимание, что обсуждать обозначение ВЕЧЕРА идентифицирует мета-нотацию с помощью "[пробел] ... [пробел]":^[9]
   Логическая эквивалентность снова появляется как определение:
   п ≡ q .=. ( п ⊃ q ) . ( q ⊃ п ) (ВЕЧЕРА 1962:12),
   Обратите внимание на появление круглых скобок. Этот грамматический использование не указано и появляется спорадически; круглые скобки играют важную роль в символьных строках, например, обозначение "(Икс) "для современников" ∀Икс".
5. Истинные ценности: "Истинная ценность предложения правда если это правда, и ложь если это ложь »(эта фраза связана с Готтлоб Фреге ) (ВЕЧЕРА 1962:7).
6. Утверждение-знак: "'⊦'.п можно прочитать «это правда, что» ... таким образом, ': п .⊃. q 'означает' это правда, что п подразумевает q ', тогда как' ⊦. п .⊃⊦. q ' средства ' п правда; следовательно q правда'. Первый из них не обязательно включает истину любого из п или из q, а второй предполагает истинность обоих "(ВЕЧЕРА 1962:92).
7. Вывод: ВЕЧЕРА версия modus ponens. «[Если] '⊦. п 'и' ⊦ (п ⊃ q) 'произошли, то' ⊦ . q 'произойдет, если это желательно зафиксировать. Процесс вывода нельзя свести к символам. Его единственная запись - появление '⊦. q '[другими словами, символы слева исчезают или их можно стереть] "(ВЕЧЕРА 1962:9).
8. Использование точек
9. Определения: Они используют знак «=» с «Df» в правом конце.
10. Резюме предыдущих заявлений: краткое обсуждение примитивных идей »~ п" и "п ∨ q«и» перед предложением.
11. Примитивные предложения: аксиомы или постулаты. Это было значительно изменено во втором издании.
12. Пропозициональные функции: Понятие «суждение» было значительно изменено во втором издании, включая введение «атомарных» суждений, связанных логическими знаками с образованием «молекулярных» суждений, а также использование замены молекулярных суждений атомными или молекулярными суждениями для создания новых выражения.
13. Диапазон значений и общая вариация
14. Неоднозначное утверждение и действительная переменная: Этот и следующие два раздела были изменены или исключены во втором издании. В частности, различие между понятиями, определенными в разделах 15. Определение и действительная переменная и 16 Утверждения, связывающие действительные и кажущиеся переменные был оставлен во втором издании.
15. Формальная импликация и формальная эквивалентность
16. Личность
17. Классы и отношения
18. Различные описательные функции отношений
19. Множественные описательные функции
20. Классы юнитов

Примитивные идеи

Ср. ВЕЧЕРА 1962: 90–94, для первого издания:

• (1) Элементарные предложения.
• (2) Элементарные предложения функций.
• (3) Утверждение: вводит понятия «истина» и «ложь».
• (4) Утверждение пропозициональной функции.
• (5) Отрицание: "Если п есть любое предложение, предложение "не-п", или же "п ложно, "будет представлено" ~п" ".
• (6) Дизъюнкция: "Если п и q любые предложения, предложение "п или же q, т.е. "либо п правда или q верно, "если альтернативы не исключают друг друга, будут представлены"п ∨ q" ".
• (см. раздел B)

Примитивные предложения

В первый издание (см. обсуждение второго издания ниже) начинается с определения знака «" »

✸1.01. п ⊃ q .=. ~ п ∨ q. Df.

✸1.1. Все, что подразумевается истинным элементарным утверждением, верно. Пп modus ponens

(✸1.11 был оставлен во втором издании.)

✸1.2. ⊦: п ∨ п .⊃. п. Пп принцип тавтологии

✸1.3. ⊦: q .⊃. п ∨ q. Пп принцип сложения

✸1.4. ⊦: п ∨ q .⊃. q ∨ п. Пп принцип перестановки

✸1.5. ⊦: п ∨ ( q ∨ р ) .⊃. q ∨ ( п ∨ р ). Пп ассоциативный принцип

✸1.6. ⊦:. q ⊃ р .⊃: п ∨ q .⊃. п ∨ р. Пп принцип суммирования

✸1.7. Если п является элементарным предложением, ~п является элементарным предложением. Пп

✸1.71. Если п и q являются элементарными предложениями, п ∨ q является элементарным предложением. Пп

✸1.72. Если φп и ψп являются элементарными пропозициональными функциями, которые принимают элементарные предложения в качестве аргументов, φп ∨ ψп является элементарным предложением. Пп

Вместе с «Введением ко второму изданию» Приложение A ко второму изданию исключает весь раздел. ✸9. Сюда входят шесть примитивных предложений ✸9 через ✸9.15 вместе с Аксиомами сводимости.

Пересмотренная теория усложняется введением Инсульт Шеффера ("|"), чтобы символизировать "несовместимость" (т.е., если оба элементарных предложения п и q верны, их "штрих" п | q ложно), современная логическая NAND (не-И). В пересмотренной теории Введение представляет понятие «атомарного предложения», «данных», которые «относятся к философской части логики». В них нет частей, которые являются предложениями и не содержат понятий «все» или «некоторые». Например: «это красный» или «это раньше, чем это». Такие вещи могут существовать ad finitum, т. е. даже «бесконечное перечисление» их вместо «общности» (то есть понятие «для всех»).^[10] ВЕЧЕРА затем «переход к молекулярным суждениям», которые все связаны «чертой». Определения дают эквиваленты для «~», «∨», «⊃» и «.".

Новое введение определяет «элементарные предложения» как положения атомов и молекул вместе. Затем он заменяет все примитивные предложения ✸1.2 к ✸1.72 с одним примитивным предложением, сформулированным в терминах штриха:

"Если п, q, р являются элементарными предложениями, учитывая п и п|(q|р), мы можем сделать вывод р. Это примитивное предложение ».

В новом введении сохранены обозначения «существует» (теперь преобразовано в «иногда верно») и «для всех» (преобразовано в «всегда верно»). Приложение А усиливает понятие «матрица» или «предикативная функция» («примитивная идея», ВЕЧЕРА 1962: 164) и представляет четыре новых примитивных предложения как ✸8.1–✸8.13.

✸88. Мультипликативная аксиома

✸120. Аксиома бесконечности

Разветвленные типы и аксиома сводимости

В простой теории типов объекты - это элементы различных непересекающихся «типов». Типы неявно создаются следующим образом. Если τ₁, ..., τ_м являются типами, то существует тип (τ₁, ..., τ_м), который можно рассматривать как класс пропозициональных функций от τ₁, ..., τ_м (который в теории множеств по сути является множеством подмножеств τ₁× ... × τ_м). В частности, существует тип () предложений, и может быть тип ι (йота) «индивидов», из которых построены другие типы. Обозначения Рассела и Уайтхеда для создания типов из других типов довольно громоздки, и эти обозначения здесь обусловлены тем, что Церковь.

в теория разветвленных типов В ПМ все объекты являются элементами различных непересекающихся разветвленных типов. Разветвленные типы неявно создаются следующим образом. Если τ₁, ..., τ_м, σ₁, ..., σ_п являются разветвленными типами, то, как и в простой теории типов, существует тип (τ₁, ..., τ_м, σ₁, ..., σ_п) "предикативных" пропозициональных функций от τ₁, ..., τ_м, σ₁, ..., σ_п. Однако есть и разветвленные типы (τ₁, ..., τ_м| σ₁, ..., σ_п), которые можно рассматривать как классы пропозициональных функций от τ₁, ... τ_м полученные из пропозициональных функций типа (τ₁, ..., τ_м, σ₁, ..., σ_п) путем количественной оценки по σ₁, ..., σ_п. Когда п= 0 (поэтому нет σs), эти пропозициональные функции называются предикативными функциями или матрицами. Это может сбивать с толку, потому что современная математическая практика не делает различий между предикативными и непредикативными функциями, и в любом случае PM никогда точно не определяет, что такое «предикативная функция» на самом деле: это понятие принято как примитивное.

Рассел и Уайтхед сочли невозможным развивать математику, сохраняя разницу между предикативными и непредикативными функциями, поэтому они ввели аксиома сводимости, говоря, что для каждой непредикативной функции существует предикативная функция, принимающая те же значения. Практически эта аксиома означает, что элементы типа (τ₁, ..., τ_м| σ₁, ..., σ_п) можно отождествить с элементами типа (τ₁, ..., τ_м), что приводит к сворачиванию иерархии разветвленных типов до простой теории типов. (Строго говоря, это не совсем правильно, потому что PM позволяет двум пропозициональным функциям быть разными, даже если они принимают одинаковые значения для всех аргументов; это отличается от современной математической практики, где обычно идентифицируются две такие функции.)

В Цермело Теорию множеств можно смоделировать теорию разветвленных типов PM следующим образом. В качестве типа индивидов выбирается набор ι. Например, ι может быть набором натуральных чисел или набором атомов (в теории множеств с атомами) или любым другим набором, который вас интересует. Тогда, если τ₁, ..., τ_м являются типами, тип (τ₁, ..., τ_м) - множество степеней произведения τ₁× ... × τ_м, который также можно неформально рассматривать как набор (пропозициональных предикативных) функций от этого продукта до двухэлементного набора {true, false}. Разветвленный тип (τ₁, ..., τ_м| σ₁, ..., σ_п) можно моделировать как произведение вида (τ₁, ..., τ_м, σ₁, ..., σ_п) с набором последовательностей п кванторы (∀ или ∃), указывающие, какой квантор должен применяться к каждой переменной σ_я. (Можно немного изменить это, разрешив количественную оценку σs в любом порядке или допустив их появление перед некоторыми из τ, но это мало что меняет, кроме бухгалтерского учета.)

Обозначение

Один автор^[2] отмечает, что «обозначения в этой работе были вытеснены последующим развитием логики в течение 20-го века до такой степени, что новичку вообще трудно читать PM»; в то время как большая часть символического содержания может быть преобразована в современные обозначения, исходные обозначения сами по себе являются "предметом научных споров", а некоторые обозначения "воплощают в себе существенные логические доктрины, так что их нельзя просто заменить современным символизмом".^[11]

Курт Гёдель резко критиковал обозначения:

"Приносит сожаление, что этому первому всеобъемлющему и исчерпывающему изложению математической логики и выводам математики из нее [] так сильно не хватает формальной точности в основах (содержащихся в ✸1–✸21 из Начала [т.е. разделы ✸1–✸5 (логика высказываний), ✸8–14 (логика предикатов с тождеством / равенством), ✸20 (введение в теорию множеств) и ✸21 (введение в теорию отношений)]), что в этом отношении он представляет собой значительный шаг назад по сравнению с Фреге. Не хватает, прежде всего, точного определения синтаксиса формализма. Синтаксические соображения опускаются даже в тех случаях, когда они необходимы для убедительности доказательств ".^[12]

Это отражено в приведенном ниже примере символов "п", "q", "р"и" ⊃ ", которые могут быть сформированы в строку"п ⊃ q ⊃ р". ВЕЧЕРА требует определение о том, что означает эта строка символов в терминах других символов; в современных трактовках «правила формирования» (синтаксические правила, ведущие к «хорошо сформированным формулам») предотвратили бы формирование этой строки.

Источник обозначения: Глава I «Предварительные пояснения идей и обозначений» начинается с источника элементарных частей обозначений (символов = ⊃≡ − ΛVε и системы точек):

"Обозначения, принятые в настоящей работе, основаны на Пеано, и следующие объяснения в некоторой степени основаны на тех, которые он ставит перед своим Formulario Mathematico [т.е. Пеано 1889]. Он использует точки в качестве скобок, как и многие его символы »(ВЕЧЕРА 1927:4).^[13]

PM изменил Пеано на ⊃, а также перенял некоторые из более поздних символов Пеано, такие как ℩ и ι, и практику Пеано переворачивать буквы вверх ногами.

ВЕЧЕРА принимает знак утверждения "⊦" из Фреге 1879 г. Begriffsschrift:^[14]

"(I) t может быть прочитано" это правда, что ""^[15]

Таким образом, чтобы утверждать предложение п ВЕЧЕРА пишет:

"⊦. п." (ВЕЧЕРА 1927:92)

(Обратите внимание, что, как и в оригинале, левая точка квадратная и имеет больший размер, чем точка справа.)

Большая часть остальных обозначений в PM была изобретена Уайтхедом.^{[нужна цитата ]}

Введение в обозначения раздела «Математическая логика» (формулы ✸1 – ✸5.71)

ВЕЧЕРА точки^[16] используются аналогично круглым скобкам. Каждая точка (или несколько точек) представляет собой левую или правую круглую скобку или логический символ ∧. Более одной точки указывают на «глубину» круглых скобок, например, «.", ":" или же ":.", "::". Однако положение совпадающих правой или левой круглых скобок явно не указывается в обозначении, а должно быть выведено из некоторых правил, которые являются сложными и временами неоднозначными. Более того, когда точки обозначают логический символ ∧ его левая и правая операнды должны быть выведены с использованием аналогичных правил. Сначала нужно решить на основе контекста, обозначают ли точки левую или правую круглую скобку или логический символ. Затем нужно решить, как далеко находится другая соответствующая скобка: здесь один продолжается до тех пор, пока один встречает либо большее количество точек, либо такое же количество точек рядом, которые имеют равную или большую «силу», либо конец строки. Точки рядом со знаками, ≡, ∨, = Df имеют большую силу, чем точки следующий на (Икс), (∃Икс) и так далее, которые имеют большую силу, чем точки, обозначающие логическое произведение ∧.

Пример 1. Линия

✸3.4. ⊢ : п . q . ⊃ . p ⊃ q

соответствует

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Две точки, стоящие вместе сразу после знака утверждения, указывают на то, что утверждается вся строка: поскольку их две, их область действия больше, чем область действия любой из отдельных точек справа от них. Они заменяются левой круглой скобкой, стоящей на месте точек, и правой круглой скобкой в ​​конце формулы, таким образом:

⊢ (p . q . ⊃ . p ⊃ q).

(На практике эти крайние круглые скобки, в которые заключена вся формула, обычно опускаются.) Первая из одиночных точек, стоящая между двумя пропозициональными переменными, представляет соединение. Он принадлежит к третьей группе и имеет самую узкую область применения. Здесь он заменен современным символом союза «», таким образом

⊢ (p ∧ q . ⊃ . p ⊃ q).

Две оставшиеся точки выделяют главную связку всей формулы. Они иллюстрируют полезность точечной записи при выборе тех связок, которые относительно более важны, чем те, которые их окружают. Один слева от "⊃" заменяется парой круглых скобок, правая идет туда, где находится точка, а левая идет как можно дальше влево, не пересекая группу точек большей силы, в в этом случае две точки, следующие за знаком утверждения, таким образом

⊢ ((p ∧ q) ⊃ . p ⊃ q)

Точка справа от "⊃" заменяется левой круглой скобкой, которая идет туда, где находится точка, и правой круглой скобкой, которая идет как можно дальше вправо, не выходя за рамки, уже установленные группой точек большего размера. сила (в данном случае две точки, следующие за знаком утверждения). Таким образом, правая скобка, которая заменяет точку справа от "⊃", помещается перед правой круглой скобкой, которая заменяет две точки, следующие за знаком утверждения, таким образом

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Пример 2 с двойными, тройными и четверными точками:

✸9.521. ⊢:: (∃x). φx. ⊃. q: ⊃:. (∃x). φx. v. г: ⊃. q v r

означает

((((∃x) (φx)) ⊃ (q)) ⊃ (((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (q v r)))

Пример 3, с двойной точкой, обозначающей логический символ (из тома 1, страница 10):

п⊃q:q⊃р.⊃.п⊃р

означает

(п⊃q) ∧ ((q⊃р)⊃(п⊃р))

где двойная точка представляет логический символ ∧ и может рассматриваться как имеющая более высокий приоритет как нелогическая одиночная точка.

Позже в разделе ✸14появятся скобки "[]", а в разделах ✸20 и далее появляются фигурные скобки "{}". Неясно, имеют ли эти символы конкретное значение или предназначены только для визуального пояснения. К сожалению, одна точка (но также и ":", ":.", "::"и т.д.) также используется для обозначения" логического продукта "(современное логическое И часто обозначается" & "или" ∧ ").

Логическая импликация представлена ​​«» Пеано, упрощенной до «⊃», логическое отрицание символизируется удлиненной тильдой, то есть «~» (современный «~» или «¬»), логическое ИЛИ - «v». Символ «=» вместе с «Df» используется для обозначения «определяется как», тогда как в разделах ✸13 и далее "=" определяется как (математически) "идентично", то есть современное математическое "равенство" (см. обсуждение в разделе ✸13). Логическая эквивалентность представлена ​​буквой «» (современное «тогда и только тогда»); «элементарные» пропозициональные функции записываются обычным образом, например, «ж(п) ", но позже знак функции появляется непосредственно перед переменной без скобок, например," φИкс"," χИкс", так далее.

Пример, ВЕЧЕРА вводит определение «логического продукта» следующим образом:

✸3.01. п . q .=. ~(~п v ~q) Df.

куда "п . q"является логическим продуктом п и q.

✸3.02. п ⊃ q ⊃ р .=. п ⊃ q . q ⊃ р Df.

Это определение служит просто для сокращения доказательств.

Перевод формул в современные символы: Различные авторы используют альтернативные символы, поэтому окончательного перевода дать нельзя. Однако из-за такой критики, как Курт Гёдель ниже лучшие современные трактовки будут очень точными в отношении «правил формирования» (синтаксиса) формул.

Первую формулу можно преобразовать в современный символизм следующим образом:^[17]

(п & q) =_df (~(~п v ~q))

попеременно

(п & q) =_df (¬(¬п v ¬q))

попеременно

(п ∧ q) =_df (¬(¬п v ¬q))

и Т. Д.

Вторую формулу можно преобразовать следующим образом:

(п → q → р) =_df (п → q) & (q → р)

Но обратите внимание, что это (логически) не эквивалентно (п → (q → р)) ни к ((п → q) → р), и эти два логически не эквивалентны.

Введение в обозначения «Раздела B Теория кажущихся переменных» (формулы ✸8 – –14.34)

Эти разделы касаются того, что сейчас известно как логика предикатов, и логика предикатов с тождеством (равенством).

• NB: В результате критики и доработок второе издание ВЕЧЕРА (1927) заменяет ✸9 с новым ✸8 (Приложение). Этот новый раздел устраняет различие в первом издании между действительными и мнимыми переменными, и он устраняет «утверждение примитивной идеи о пропозициональной функции».^[18] Чтобы усложнить лечение, ✸8 вводит понятие замены «матрицы», а Инсульт Шеффера:

• Матрица: В современном использовании, ВЕЧЕРА с матрица есть (по крайней мере, для пропозициональные функции ), а таблица истинности, т.е. все истинностные значения пропозициональной или предикатной функции.
• Инсульт Шеффера: Современная логика NAND (НЕ-И), то есть «несовместимость», что означает:

"Учитывая два предложения п и q, тогда ' п | q 'означает "предложение п несовместимо с предложением q", т. е. если оба предложения п и q оценивать как истину, тогда и только тогда п | q оценивается как ложь. "После раздела ✸8 ход Шеффера не находит применения.

Раздел №10: Экзистенциальные и универсальные «операторы»: ВЕЧЕРА добавляет "(Икс) "представлять современный символизм" для всех Икс "т.е." ∀Икс", а буква E с обратными засечками обозначает" существует Икс", то есть" (Ǝx) ", то есть современное" ∃x ". Типичные обозначения будут примерно такими:

"(Икс) . φИкс«означает» для всех значений переменной Икс, функция φ принимает истинное значение "

"(ƎИкс) . φИкс«означает» для некоторого значения переменной Икс, функция φ принимает истинное значение "

Разделы ✸10, ✸11, ✸12: свойства переменной распространяются на всех людей: раздел ✸10 вводит понятие «свойство» «переменной». ВЕЧЕРА дает пример: φ - функция, которая указывает «грек», ψ означает «человек», а χ означает «смертный», эти функции затем применяются к переменной Икс. ВЕЧЕРА теперь можно писать и оценивать:

(Икс) . ψИкс

Обозначение выше означает "для всех Икс, Икс - это человек ". Учитывая совокупность индивидов, можно оценить приведенную выше формулу на предмет истины или лжи. Например, учитывая ограниченную совокупность индивидов {Сократ, Платон, Рассел, Зевс}, приведенное выше значение оценивается как" истинное ", если мы позволяем для Зевса быть мужчиной. Но это не для:

(Икс) . φИкс

потому что Рассел не грек. И это не для

(Икс) . χИкс

потому что Зевс не смертный.

Оборудован этим обозначением ВЕЧЕРА может создавать формулы, выражающие следующее: «Если все греки - люди, и если все люди смертны, то все греки - смертные». (ВЕЧЕРА 1962:138)

(Икс) . φИкс ⊃ ψИкс :(Икс). ψИкс ⊃ χИкс :⊃: (Икс) . φИкс ⊃ χИкс

Другой пример: формула:

✸10.01. (ƎИкс). φИкс . = . ~(Икс) . ~ φИкс Df.

означает "Символы, представляющие утверждение" Существует по крайней мере один Икс который удовлетворяет функции φ 'определяется символами, представляющими утверждение' Это неправда, что при всех значениях Икс, нет значений Икс удовлетворяющий φ '".

Символизмы ⊃_Икс и "≡_Икс"появиться в ✸10.02 и ✸10.03. Оба являются сокращениями универсальности (т. Е. Для всех), которые связывают переменную Икс к логическому оператору. В современных обозначениях бы просто использовались круглые скобки вне знака равенства ("="):

✸10.02 φИкс ⊃_Икс ψИкс .=. (Икс). φИкс ⊃ ψИкс Df

Современная нотация: ∀Икс(φ (Икс) → ψ (Икс)) (или вариант)

✸10.03 φИкс ≡_Икс ψИкс .=. (Икс). φИкс ≡ ψИкс Df

Современная нотация: ∀Икс(φ (Икс) ↔ ψ (Икс)) (или вариант)

ВЕЧЕРА приписывает Пеано первый символизм.

Раздел ✸11 применяет этот символизм к двум переменным. Таким образом, следующие обозначения: ⊃_Икс, ⊃_у, ⊃_{х, у} все может появиться в одной формуле.

Раздел ✸12 вновь вводит понятие «матрица» (современное таблица истинности ), понятие логических типов и, в частности, понятия первый заказ и второго порядка функции и предложения.

Новый символизм "φ ! Икс"представляет любое значение функции первого порядка. Если над переменной помещается циркумфлекс" ＾ ", то это" индивидуальное "значение у, означающий, что "ŷ«указывает на« индивидов »(например, строку в таблице истинности); это различие необходимо из-за матричной / экстенсиональной природы пропозициональных функций.

Теперь, имея представление о матрице, ВЕЧЕРА может утверждать свою противоречивую аксиома сводимости: функция одной или двух переменных (двух достаточно для ВЕЧЕРА использовать) где указаны все его значения (т.е. в своей матрице) (логически) эквивалентен ("") некоторой "предикативной" функции тех же переменных. Определение одной переменной приводится ниже в качестве иллюстрации обозначения (ВЕЧЕРА 1962:166–167):

✸12.1 ⊢: (Ǝ ж): φИкс .≡_Икс. ж ! Икс Пп;

Пп является «примитивным предложением» («Предложения, принятые без доказательства») (ВЕЧЕРА 1962: 12, т. Е. Современные «аксиомы»), добавив к 7, определенным в разделе ✸1 (начиная с ✸1.1 modus ponens ). Их следует отличать от «примитивных идей», которые включают в себя знак утверждения «», отрицание «~», логическое ИЛИ «V», понятия «элементарное предложение» и «элементарная пропозициональная функция»; это так близко, как ВЕЧЕРА доходит до правил формирования обозначений, т.е. синтаксис.

Это означает: «Мы утверждаем истинность следующего: существует функция ж со свойством, что: при всех значениях Икс, их вычисления в функции φ (т. е. их матрица) логически эквивалентны некоторому ж оценивается при тех же значениях Икс. (и наоборот, отсюда логическая эквивалентность) ". Другими словами: дана матрица, определяемая свойством φ, примененным к переменной Икс, существует функция ж что применительно к Икс логически эквивалентна матрице. Или: каждая матрица φИкс может быть представлена ​​функцией ж применительно к Икс, наоборот.

✸13: тождественный оператор "=" : Это определение, в котором знак используется двумя разными способами, как указано в цитате из ВЕЧЕРА:

✸13.01. Икс = у .=: (φ): φ ! Икс . ⊃ . φ ! у Df

средства:

"Это определение гласит, что Икс и у должны называться идентичными, если каждая предикативная функция удовлетворяется Икс также удовлетворен у ... Обратите внимание, что второй знак равенства в приведенном выше определении сочетается с "Df" и, таким образом, на самом деле не является тем же самым символом, что и определяемый знак равенства ".

Знак не равно "" появляется как определение в ✸13.02.

✸14: Описания:

"А описание фраза формы "термин у что удовлетворяет φŷ, где φŷ это некоторая функция, которой удовлетворяет один и только один аргумент ".^[19]

Из этого ВЕЧЕРА использует два новых символа, прямую «E» и перевернутую йоту «». Вот пример:

✸14.02. E ! ( ℩у) (φу) .=: (Ǝб):φу . ≡_у . у = б Df.

Это имеет значение:

"The у удовлетворяющий φŷ существует ", что имеет место тогда и только тогда, когда φŷ удовлетворяется одним значением у и никаким другим значением. "(ВЕЧЕРА 1967:173–174)

Введение в обозначения теории классов и отношений

Текст выскакивает из раздела ✸14 прямо в основные разделы ✸20 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ КЛАССОВ и ✸21 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОШЕНИЙ. «Отношения» - это то, что известно в современном теория множеств как наборы заказанные пары. Разделы ✸20 и ✸22 представить многие символы, которые все еще используются в наши дни. К ним относятся символы «ε», «⊂», «∩», «∪», «-», «Λ» и «V»: «ε» означает «является элементом» (ВЕЧЕРА 1962:188); "⊂" (✸22.01) означает "содержится в", "является подмножеством"; «∩» (✸22.02) означает пересечение (логическое произведение) классов (множеств); «∪» (✸22.03) означает объединение (логическую сумму) классов (множеств); "-" (✸22.03) означает отрицание класса (множества); «Λ» означает нулевой класс; и "V" означает универсальный класс или универсум дискурса.

Строчные греческие буквы (кроме «ε», «ι», «π», «φ», «ψ», «χ» и «θ») представляют классы (например, «α», «β», «γ»). "," δ "и т. д.) (ВЕЧЕРА 1962:188):

Икс ε α

"Использование одной буквы вместо таких символов, как ẑ(φz) или же ẑ(φ ! z) практически незаменим, так как в противном случае обозначения быстро становятся невыносимо громоздкими. Таким образом ' Икс ε α 'будет означать' Икс является членом класса α '". (ВЕЧЕРА 1962:188)

α ∪ –α = V

Объединение множества и его инверсии является универсальным (завершенным) множеством.^[20]

α ∩ –α = Λ

Пересечение набора и его обратного - это нулевой (пустой) набор.

Применительно к отношениям в разделе ✸23 РАСЧЕТ ОТНОШЕНИЙ, символы «⊂», «∩», «∪» и «-» приобретают точку: например: «⊍», «∸».^[21]

Понятие и обозначение «класса» (множества): В первом издании ВЕЧЕРА утверждает, что нет необходимости в новых примитивных идеях для определения того, что подразумевается под «классом», и только два новых «примитивных предложения», называемых аксиомы сводимости для классов и отношений соответственно (ВЕЧЕРА 1962:25).^[22] Но прежде чем это понятие можно будет определить, ВЕЧЕРА считает необходимым создать своеобразную нотацию "ẑ(φz) », который он называет« фиктивным объектом ». (ВЕЧЕРА 1962:188)

⊢: Икс ε ẑ(φz) .≡. (φИкс)

"т.е." Икс является членом класса, определяемого (φẑ) '[логически] эквивалентно' Икс удовлетворяет (φẑ), или к (φИкс) правда.'". (ВЕЧЕРА 1962:25)

По меньшей мере ВЕЧЕРА может рассказать читателю, как ведут себя эти фиктивные объекты, потому что «класс полностью определен, когда известно его членство, то есть не может быть двух разных классов, имеющих одинаковое членство» (ВЕЧЕРА 1962: 26). Это символизируется следующим равенством (аналогично ✸13.01 над:

ẑ(φz) = ẑ(ψz) . ≡ : (Икс): φИкс .≡. ψИкс

"Это последнее является отличительной чертой классов и оправдывает нас при рассмотрении ẑ(ψz) как класс, определяемый [функцией] ψẑ." (ВЕЧЕРА 1962:188)

Возможно, сказанное выше станет яснее, если обсудить классы в Введение во второе издание, который избавляется от Аксиома сводимости и заменяет его понятием: «Все функции функций экстенсиональны» (ВЕЧЕРА 1962: xxxix), т.е.

φИкс ≡_Икс ψИкс .⊃. (Икс): ƒ (φẑ) ≡ ƒ (ψẑ) (ВЕЧЕРА 1962: xxxix)

Это имеет разумное значение, что "ЕСЛИ для всех значений Икс то истинные ценности функций φ и ψ Икс [логически] эквивалентны, ТО функция ƒ данного φẑ и ƒ из ψẑ [логически] эквивалентны ". ВЕЧЕРА утверждает, что это «очевидно»:

«Это очевидно, поскольку φ может встречаться только в (φẑ) заменой значений φ на р, д, г, ... в [логической -] функции, и, если φИкс ≡ ψИкс, замена φИкс за п в [логической-] функции дает то же значение истинности функции истинности, что и подстановка ψИкс. Следовательно, больше нет причин различать классы функций, поскольку в силу вышеизложенного

φИкс ≡_Икс ψИкс .⊃. (Икс). φẑ = . ψẑ".

Обратите внимание на изменение знака равенства "=" справа. ВЕЧЕРА далее заявляет, что будет продолжать придерживаться обозначений "ẑ(φz) ", но это просто эквивалентно φẑ, а это класс. (все цитаты: ВЕЧЕРА 1962: XXXIX).

Последовательность и критика

В соответствии с Карнап В работе «Логические основы математики» Рассел хотел теорию, о которой можно было бы правдоподобно сказать, что она выводит всю математику из чисто логических аксиом. Однако Principia Mathematica требовала, в дополнение к основным аксиомам теории типов, еще трех аксиом, которые казались неверными как простые вопросы логики, а именно: аксиома бесконечности, то аксиома выбора, а аксиома сводимости. Поскольку первые две были экзистенциальными аксиомами, Рассел сформулировал математические утверждения в зависимости от них как условные. Но сводимость требовалась, чтобы быть уверенным, что формальные утверждения даже должным образом выражают утверждения реального анализа, чтобы утверждения, зависящие от него, не могли быть переформулированы как условные. Фрэнк П. Рэмси пытался утверждать, что разветвление Расселом теории типов было ненужным, так что сводимость могла быть устранена, но эти аргументы казались неубедительными.

Помимо статуса аксиом как логические истины, о любой системе, например PM, можно задать следующие вопросы:

• можно ли вывести противоречие из аксиом (вопрос о непоследовательность ), и
• существует ли математическое утверждение которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть в системе (вопрос о полнота ).

Логика высказываний сам по себе был известен своей последовательностью, но то же самое не было установлено для Principia 'аксиомы теории множеств. (Видеть Вторая проблема Гильберта.) Рассел и Уайтхед подозревали, что система в PM неполная: например, они указали, что она не кажется достаточно мощной, чтобы показать, что кардинал_ω существуют. Однако можно спросить, является ли какое-то ее рекурсивно аксиоматизируемое расширение полным и непротиворечивым.

Гёдель 1930, 1931

В 1930 г. Теорема Гёделя о полноте показал, что логика предикатов первого порядка сама по себе полна в гораздо более слабом смысле - то есть, любое предложение, которое недоказуемо с помощью данного набора аксиом, должно фактически быть ложным в некоторых модель аксиом. Однако это не самое сильное чувство полноты, желаемое для Principia Mathematica, поскольку данная система аксиом (например, Principia Mathematica) может иметь множество моделей, в некоторых из которых данное утверждение истинно, а в других - это утверждение. ложно, так что это утверждение не определяется аксиомами.

Теоремы Гёделя о неполноте неожиданно пролили свет на эти два связанных вопроса.

Первая теорема Гёделя о неполноте показала, что никакое рекурсивное расширение Начала может быть как последовательным, так и полным для арифметических выражений. (Как упоминалось выше, само «Начала» уже было известно как неполное для некоторых неарифметических утверждений.) Согласно теореме, внутри каждого достаточно мощного рекурсивного логическая система (Такие как Начала) существует утверждение грамм который по сути гласит: "Заявление грамм невозможно доказать ». Такое утверждение является своего рода Словить 22: если грамм доказуемо, тогда оно ложно, и поэтому система непоследовательна; и если грамм не доказуемо, то это правда, и поэтому система неполна.

Вторая теорема Гёделя о неполноте (1931) показывает, что нет формальная система расширение основной арифметики может использоваться для доказательства ее собственной непротиворечивости. Таким образом, утверждение «нет противоречий в Начала система "не может быть доказана в Начала система, если нет находятся противоречия в системе (в этом случае она может быть доказана как истинная, так и ложная).

Витгенштейн 1919, 1939

Ко второму изданию ВЕЧЕРА, Рассел удалил аксиома сводимости к новой аксиоме (хотя он и не утверждает ее как таковую). Гёдель 1944: 126 описывает это так:

«Это изменение связано с новой аксиомой, согласно которой функции могут встречаться в предложениях только« через свои значения », т. Е. Экстенсионально ... [это] совершенно не вызывает возражений даже с конструктивной точки зрения ... при условии, что кванторы всегда ограничены определением заказы ». Это изменение от квази-содержательный позиция полностью экстенсиональный позиция также ограничивает логика предикатов ко второму порядку, то есть функциям функций: «Мы можем решить, что математика должна ограничиться функциями функций, которые подчиняются вышеуказанному предположению» (ВЕЧЕРА 2-е издание с. 401, Приложение C).

Это новое предложение привело к плачевным результатам. «Экстенсиональная позиция» и ограничение логики предикатов второго порядка означают, что пропозициональная функция, распространенная на всех индивидов, такая как «Все« x »синие», теперь должна перечислять все «x», которые удовлетворяют (истинны в) предложение, перечислив их в возможно бесконечном соединении: например, Икс₁ ∧ Икс₂ ∧ . . . ∧ Икс_п ∧. . .. По иронии судьбы, это изменение произошло в результате критики Витгенштейна в его 1919 г. Логико-философский трактат. Как описано Расселом во введении ко второму изданию ВЕЧЕРА:

"Есть еще один курс, рекомендованный Витгенштейном † (†Логико-философский трактат, * 5.54ff) по философским причинам. Это означает, что функции предложений всегда являются функциями истинности и что функция может встречаться в предложении только через его значения. [...] [Работа с последствиями] похоже, что все в Vol. Я остаюсь верным (хотя часто требуются новые доказательства); теория индуктивных кардиналов и ординалов выживает; но кажется, что теория бесконечных дедекиндовских и хорошо упорядоченных рядов в значительной степени рушится, так что иррациональные и действительные числа в целом больше не могут быть адекватно рассмотрены. Также доказательство Кантора, что 2^п > п сломается, если п конечно. "(ВЕЧЕРА 2-е издание переиздано 1962 г .: xiv, также ср. новое Приложение C).

Другими словами, тот факт, что бесконечный список не может быть определен реалистично, означает, что концепция «числа» в бесконечном смысле (т.е. континуум) не может быть описана новой теорией, предложенной в PM второе издание.

Витгенштейн в его Лекции по основам математики, Кембридж, 1939 г. критиковали Начала по разным причинам, например:

• Он призван раскрыть фундаментальные основы арифметики. Однако фундаментальными являются наши повседневные арифметические методы, такие как счет; если возникнет стойкое несоответствие между подсчетом и Начала, это будет рассматриваться как свидетельство ошибки в Начала (например, что Principia неправильно характеризовали числа или сложение), а не как свидетельство ошибки в повседневном счете.
• Методы расчета в Начала может использоваться на практике только с очень маленькими числами. Для вычисления с использованием больших чисел (например, миллиардов) формулы стали бы слишком длинными, и пришлось бы использовать какой-то сокращенный метод, который, несомненно, основывался бы на повседневных методах, таких как подсчет (или еще на нефундаментальных и, следовательно, сомнительные методы, такие как индукция). Так снова Начала зависит от повседневной техники, а не наоборот.

Однако Витгенштейн признал, что Начала тем не менее может прояснить некоторые аспекты повседневной арифметики.

Гёдель 1944

В его 1944 г. Математическая логика Рассела, Гёдель предлагает «критическое, но сочувственное обсуждение логического порядка идей»:^[23]

"Приносит сожаление, что этому первому всеобъемлющему и исчерпывающему изложению математической логики и выведению из нее математики [] так сильно не хватает формальной точности в основах (содержащихся в * 1- * 21 из Начала), что в этом отношении он представляет собой значительный шаг назад по сравнению с Фреге. Не хватает, прежде всего, точного определения синтаксиса формализма. Синтаксические соображения опускаются даже в тех случаях, когда они необходимы для убедительности доказательств. . . Особенно сомнительным является правило подстановки и замены определенных символов их Definiens . . . это в основном правило подстановки, которое должно быть доказано »(Gödel 1944: 124)^[24]

Содержание

Часть I Математическая логика. Том I с №1 по №43

В этом разделе описывается исчисление высказываний и предикатов, а также приводятся основные свойства классов, отношений и типов.

Часть II Пролегомены к кардинальной арифметике. Том I от 50 до 97 фунтов

В этой части рассматриваются различные свойства отношений, особенно те, которые необходимы для кардинальной арифметики.

Часть III Кардинальная арифметика. Том II от 100 до 126

Это охватывает определение и основные свойства кардиналов. Кардинал определяется как класс эквивалентности подобных классов (в отличие от ZFC, где кардинал - это особый вид ординала фон Неймана). Каждый тип имеет свою собственную коллекцию кардиналов, связанных с ним, и существует значительный объем бухгалтерского учета, необходимый для сравнения кардиналов разных типов. PM определяют сложение, умножение и возведение в степень кардиналов и сравнивают различные определения конечных и бесконечных кардиналов. ✸120.03 - Аксиома бесконечности.

Часть IV Относительно-арифметика. Том II от 150 до 186

«Число-отношение» - это класс эквивалентности изоморфных отношений. PM определяет аналоги сложения, умножения и возведения в степень для произвольных отношений. Сложение и умножение похоже на обычное определение сложения и умножения порядковых чисел в ZFC, хотя определение возведения в степень отношений в PM не эквивалентно обычному определению, используемому в ZFC.

Часть V. Серия. Том II от 200 до 234 и том III от 250 до 276

Это охватывает серию, что является термином PM для того, что теперь называется полностью упорядоченным набором.В частности, он охватывает полные серии, непрерывные функции между сериями с топологией порядка (хотя, конечно, они не используют эту терминологию), хорошо упорядоченные серии и серии без «пробелов» (те, у которых член строго между любыми двумя заданными элементами) .

Часть VI. Количество. Том III от 300 до 375

В этом разделе строится кольцо целых чисел, поля рациональных и действительных чисел и «векторные семейства», которые связаны с тем, что сейчас называется торсорами над абелевыми группами.

Сравнение с теорией множеств

В этом разделе сравнивается система в PM с обычными математическими основами ZFC. Система PM примерно сопоставима по силе с теорией множеств Цермело (или, точнее, ее версией, где аксиома разделения ограничивает все кванторы).

• Система логики высказываний и исчисления предикатов в PM по существу та же, что используется сейчас, за исключением того, что изменились обозначения и терминология.
• Наиболее очевидное различие между PM и теорией множеств состоит в том, что в PM все объекты принадлежат к одному из множества непересекающихся типов. Это означает, что все дублируется для каждого (бесконечного) типа: например, у каждого типа есть свои порядковые, кардинальные, действительные числа и так далее. Это приводит к большому объему бухгалтерского учета, чтобы связать различные типы друг с другом.
• В ZFC функции обычно кодируются как наборы упорядоченных пар. В PM функции трактуются иначе. Прежде всего, «функция» означает «пропозициональная функция», то есть нечто, принимающее значения истинное или ложное. Во-вторых, функции не определяются своими значениями: возможно, что несколько разных функций принимают одинаковые значения (например, можно рассматривать 2Икс+2 и 2 (Икс+1) как разные функции на том основании, что компьютерные программы для их оценки разные). Функции в ZFC, заданные наборами упорядоченных пар, соответствуют тому, что PM называют «матрицами», а более общие функции в PM кодируются путем количественной оценки некоторых переменных. В частности, PM различает функции, определенные с использованием количественной оценки, и функции, не определенные с помощью количественной оценки, тогда как ZFC не делает этого различия.
• ПМ не имеет аналога аксиома замены, хотя это не имеет большого практического значения, поскольку эта аксиома очень мало используется в математике за пределами теории множеств.
• PM подчеркивает отношения как фундаментальное понятие, тогда как в современной математической практике более фундаментальными считаются функции, а не отношения; например, теория категорий делает упор на морфизмы или функции, а не на отношения. (Однако есть аналог категорий, называемый аллегории который моделирует отношения, а не функции, и очень похож на систему типов PM.)
• В PM кардиналы определяются как классы аналогичных классов, тогда как в ZFC кардиналы являются специальными порядковыми числами. В PM есть свой набор кардиналов для каждого типа с некоторыми сложными механизмами для перемещения кардиналов между типами, тогда как в ZFC есть только один вид кардиналов. Поскольку PM не имеет эквивалента аксиомы замены, он не может доказать существование кардиналов, больших чем ℵ_ω.
• В PM порядковые числа рассматриваются как классы эквивалентности хорошо упорядоченных множеств, и, как и в случае кардиналов, существует свой набор порядковых номеров для каждого типа. В ZFC есть только один набор порядковых номеров, обычно определяемый как ординалы фон Неймана. Одна странная особенность PM состоит в том, что у них нет порядкового номера, соответствующего 1, что вызывает многочисленные ненужные сложности в их теоремах. Определение порядкового возведения в степень α^β в PM не эквивалентно обычному определению в ZFC и имеет некоторые довольно нежелательные свойства: например, он не является непрерывным по β и плохо упорядочен (то есть даже не порядковый).
• Конструкции целых, рациональных и действительных чисел в ZFC были значительно упрощены с течением времени с момента их создания в PM.

Различия между редакциями

За исключением исправлений опечаток, основной текст ПМ остается неизменным между первой и второй редакциями. Основной текст в томах 1 и 2 был сброшен, поэтому он занимает меньше страниц в каждом. Во втором издании том 3 не был сброшен, а был переиздан фотографиями с той же нумерацией страниц; исправления все же были внесены. Общее количество страниц (без форзацев) в первом издании - 1996; во втором - 2000. В Том 1 добавлено пять новых:

• 54-страничное введение Рассела с описанием изменений, которые они бы внесли, если бы у них было больше времени и энергии. Главное изменение, которое он предполагает, является устранение спорной аксиому сводимости, хотя он признает, что он не знает удовлетворительную замену для него. Он также кажется более благоприятным для идеи, что функция должна определяться своими значениями (как это обычно бывает в современной математической практике).
• Приложение A, пронумерованное * 8, 15 страниц, о штрихе Шеффера.
• Приложение B, пронумерованное * 89, обсуждает индукцию без аксиомы сводимости.
• Приложение C, 8 страниц, обсуждая пропозициональные функции.
• 8-страничный список определений в конце, дающий столь необходимый указатель к примерно 500 используемым обозначениям.

В 1962 году издательство Cambridge University Press опубликовало сокращенное издание в мягкой обложке, содержащее части второго издания тома 1: новое введение (и старое), основной текст до * 56 и приложения A и C.

Редакции

• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1910), Principia mathematica, 1 (1-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, JFM  41.0083.02
• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1912), Principia mathematica, 2 (1-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, JFM  43.0093.03
• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1913), Principia mathematica, 3 (1-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, JFM  44.0068.01
• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1925), Principia mathematica, 1 (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0521067911, JFM  51.0046.06
• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1927), Principia mathematica, 2 (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0521067911, JFM  53.0038.02
• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1927), Principia mathematica, 3 (2-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0521067911, JFM  53.0038.02
• Уайтхед, Альфред Норт; Рассел, Бертран (1997) [1962], Principia mathematica до * 56, Кембриджская математическая библиотека, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9780511623585, ISBN  0-521-62606-4, МИСТЕР  1700771, Zbl  0877.01042

Первое издание было переиздано в 2009 году издательством Merchant Books, ISBN  978-1-60386-182-3, ISBN  978-1-60386-183-0, ISBN  978-1-60386-184-7.

Смотрите также

• Аксиоматическая теория множеств
• Булева алгебра
• Язык обработки информации - первая вычислительная демонстрация теорем в PM
• Введение в математическую философию

Сноски

Рекомендации

• Стивен Клини (1952). Введение в метаматематику, 6-е переиздание, издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, штат Нью-Йорк, ISBN  0-7204-2103-9.
  • Стивен Коул Клини; Майкл Бисон (2009). Введение в метаматематику (Мягкая обложка ред.). Ishi Press. ISBN  978-0-923891-57-2.
• Айвор Граттан-Гиннесс (2000). В поисках математических корней 1870–1940 гг., Princeton University Press, Принстон, штат Нью-Джерси, ISBN  0-691-05857-1.
• Людвиг Витгенштейн (2009), Основные произведения: избранные философские сочинения, ХарперКоллинз, Нью-Йорк, ISBN  978-0-06-155024-9. Особенно:

Логико-философский трактат (Вена, 1918 г.), оригинальное издание на немецком языке).

• Жан ван Хейеноорт редактор (1967). От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 гг., 3-е издание, издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN  0-674-32449-8.
• Мишель Вебер и Уилл Десмонд (ред.) (2008) Справочник по мысли о процессе Уайтхеда, Франкфурт / Ланкастер, Ontos Verlag, Process Thought X1 и X2.

внешняя ссылка

• Стэнфордская энциклопедия философии:
  • Principia Mathematica - к А. Д. Ирвин
  • Обозначения в Principia Mathematica - Бернарда Лински.
• Предложение ✸54.43 в более современных обозначениях (Метамат )