Аксиома сводимости - Axiom of reducibility

В аксиома сводимости был представлен Бертран Рассел в начале 20 века в рамках его разветвленная теория типов. Рассел разработал и ввел аксиому в попытке справиться с противоречиями, которые он обнаружил в своем анализе теория множеств.^[1]

История

С открытием Рассела (1901, 1902)^[2] из парадокс в Готтлоб Фреге 1879 год Begriffsschrift и признание того же Фреге (1902 г.), Рассел предварительно представил свое решение как «Приложение B: Доктрина типов» в своей книге 1903 г. Принципы математики.^[3] Этот противоречие может быть определен как «класс всех классов, которые не содержат себя как элементы».^[4] В конце этого приложения Рассел утверждает, что его «доктрина» решила бы непосредственную проблему, поставленную Фреге, но «есть по крайней мере одно аналогичное противоречие, которое, вероятно, не разрешается с помощью этой доктрины. Совокупность всех логических объектов или логических объектов. все предложения включают, казалось бы, фундаментальную логическую трудность. Какое может быть полное решение этой трудности, мне не удалось обнаружить; но поскольку это затрагивает самые основы рассуждения ... "^[5]

Ко времени его 1908 г. Математическая логика на основе теории типов^[6] Рассел изучал «противоречия» (среди них Парадокс Эпименида, то Парадокс Бурали-Форти, и Парадокс ричарда ) и пришел к выводу, что «во всех противоречиях есть общая характеристика, которую мы можем описать как самоотнесение или рефлексивность».^[7]

В 1903 году Рассел определил предикативный функции как те, чей порядок на единицу больше, чем функция высшего порядка, встречающаяся в выражении функции. Хотя это было нормально для ситуации, непредсказуемый функции должны были быть запрещены:

Функция, аргумент которой является индивидуальным, а значение всегда является предложением первого порядка, будет называться функцией первого порядка. Функция, включающая функцию или предложение первого порядка в качестве кажущейся переменной, будет называться функцией второго порядка и т. Д. Функция одной переменной, которая имеет порядок, следующий за порядком ее аргумента, будет называться предикативный функция; то же имя будет присвоено функции нескольких переменных [и т. д.].^[8]

Он повторяет это определение в несколько ином виде позже в статье (вместе с тонким запретом, который они выразили более четко в 1913 году):

Предикативная функция Икс - это то, значения которого являются предложениями следующего выше типа, чем у Икс, если Икс является индивидуумом или предложением, или ценностями Икс если Икс это функция. Его можно описать как переменную, в которой кажущиеся переменные, если таковые имеются, относятся к тому же типу, что и Икс или низшего типа; а переменная имеет более низкий тип, чем Икс если это может значительно произойти в качестве аргумента Икс, или как аргумент для аргумента Икс, и так далее. [курсив мой]^[9]

Это использование переносится на Альфред Норт Уайтхед и Рассела 1913 г. Principia Mathematica при этом авторы посвятили всю свою главу II «Теория логических типов» главе I. Принцип порочного круга: "Мы определим функцию одной переменной как предикативный когда он имеет следующий порядок выше, чем его аргумент, то есть самого низкого порядка, совместимого с его наличием этого аргумента. . . Функция нескольких аргументов является предикативной, если есть один из ее аргументов, такой, что, когда другим аргументам присвоены значения, мы получаем предикативную функцию одного неопределенного аргумента ".^[10]

Они снова предлагают определение предикативная функция как тот, который не нарушает теорию логических типов. Действительно, авторы утверждают, что такие нарушения «недостижимы [достижимы]» и «невозможны»:

Таким образом, мы приходим к выводу, как из принципа замкнутого круга, так и из прямого исследования, что функции, которые выполняет данный объект а могут быть аргументом, не могут быть аргументами друг для друга и что у них нет общего термина с функциями, которым они могут быть аргументами. Таким образом, мы приходим к построению иерархии.^[11]

Авторы подчеркивают слово невозможно:

если не ошибаемся, не только невозможно, чтобы функция φz^{^} иметь в качестве аргумента себя самого или что-либо полученное из него, но если ψz^{^} это еще одна функция, у которой есть аргументы а при котором значимы как "φa", так и "ψa", то ψz^{^} и все, что из него выводится, не может быть существенным аргументом в пользу φz^{^}.^[12]

Аксиома Рассела сводимости

Аксиома сводимости утверждает, что любая функция истинности (т.е. пропозициональная функция ) можно выразить формально эквивалентным предикативный функция истины. Впервые он появился в Бертран Рассел s (1908) Математическая логика на основе теории типов, но только после пяти лет проб и ошибок.^[13] По его словам:

Таким образом, предикативная функция индивида - это функция первого порядка; а для более высоких типов аргументов предикативные функции занимают место, которое функции первого порядка занимают в отношении индивидов. Мы предполагаем, что каждая функция эквивалентна для всех своих значений некоторой предикативной функции того же аргумента. Это предположение кажется сутью обычного предположения о классах [современных множествах]. . . мы будем называть это предположение аксиома классов, или аксиома сводимости.^[14]

Для отношений (функций двух переменных, таких как «Для всех x и для всех y, те значения, для которых f (x, y) истинно», т.е. ∀x∀y: f (x, y)), Рассел предположил, что аксиома отношений, или [то же самое] аксиома сводимости.

В 1903 году он предложил возможный процесс оценки такой двухзначной функции путем сравнения процесса с двойной интеграцией: один за другим подключайтесь к Икс определенные ценности а_м (т.е. конкретный а_j является "константой" или постоянным параметром), затем оцените f (а_м,у_п) по всей п примеры возможных у_п. Для всех у_п оценить f (a₁, у_п), то для всех у_п оценить f (а₂, у_п) и т. д., пока все Икс = а_м истощены). Это создало бы м к п матрица значений: ИСТИНА или НЕИЗВЕСТНО. (В этой экспозиции использование индексов - современное удобство.)

В 1908 году Рассел не упоминал об этом матрица из Икс, у значения, которые отображают двухместную функцию (например, отношение) ИСТИНА, но к 1913 году он ввел матричное понятие в понятие «функция». В * 12 из Principia Mathematica (1913) он определяет «матрицу» как «любую функцию от сколь угодно большого числа переменных, которая не включает никаких очевидных переменных. Тогда любая возможная функция, отличная от матрицы, выводится из матрицы посредством обобщения, то есть путем рассмотрения предложения. который утверждает, что рассматриваемая функция верна со всеми возможными значениями или с некоторыми значениями одного из аргументов, а другой аргумент или аргументы остаются неопределенными ".^[15] Например, если кто-то утверждает, что «∀y: f (x, y) истинно», то Икс является очевидной переменной, потому что она не указана.

Рассел теперь определяет матрицу «индивидуумов» как Первый заказ матрицу, и он следует аналогичному процессу, чтобы определить матрица второго порядкаи т. д. Наконец, он вводит определение предикативная функция:

Функция называется предикативный когда это матрица. Можно заметить, что в иерархии, в которой все переменные являются отдельными лицами или матрицами, матрица - это то же самое, что и элементарная функция [см. 1913: 127, что означает: функция содержит нет кажущиеся переменные]. ¶ «Матрица» или «предикативная функция» - идея примитивная.^[16]

Исходя из этого, он затем использует ту же формулировку, чтобы предложить то же самое. аксиомы сводимости как он это сделал в 1908 г.

Кстати, Рассел в своей работе 1903 года рассмотрел, а затем отверг «искушение рассматривать отношения как определяемые в расширении как класс пар»,^[17] то есть современное теоретико-множественное понятие упорядоченная пара. Интуитивная версия этого понятия появилась у Фреге (1879). Begriffsschrift (переведено в van Heijenoort 1967: 23); Работа Рассела 1903 года тесно связана с работами Фреге (ср. Russell 1903: 505ff). Рассела беспокоило, что «необходимо придать смысл паре, чтобы отличить референт от relatum: таким образом, пара становится существенно отличной от класса двух терминов и сама должна быть представлена ​​как примитивная идея. Казалось бы, рассмотрение с философской точки зрения, этот смысл может быть выведен только из некоторого реляционного предложения ... поэтому кажется более правильным принять содержательный вид отношений, и отождествлять их скорее с концепциями классов, чем с классами ».^[18] Как показано ниже, Норберт Винер (1914) уменьшил понятие отношения к классу своим определением упорядоченной пары.

Критика

Цермело 1908

Полный запрет, подразумеваемый Расселом аксиома сводимости был резко раскритикован Эрнст Цермело в его 1908 Исследования по основам теории множеств I, будучи уязвленным требованием, аналогичным тому, которое предъявил Рассел, Пуанкаре:

Согласно Пуанкаре (1906, с. 307) определение является «предикативным» и логически допустимо, только если оно исключает все объекты, которые "зависят" от определенного понятия, то есть могут каким-либо образом определяться им.^[19]

Цермело возразил:

Определение вполне может полагаться на понятия, эквивалентные определяемому; действительно в каждом определении Definiens и дефиниендум являются эквивалентными понятиями, и строгое соблюдение требования Пуанкаре сделало бы невозможным любое определение, а значит, и всю науку.^[20]

Винер 1914

В его 1914 г. Упрощение логики отношений, Норберт Винер устранена необходимость в аксиоме сводимости применительно к отношениям между двумя переменными Икс, и у например φ (Икс,у). Он сделал это, представив способ выразить отношение как набор упорядоченных пар: «Будет видно, что мы практически вернулись к трактовке отношения Шредером как класса [набора] упорядоченных пар».^[21] Ван Хейенорт замечает, что «[b] y, дав определение упорядоченной пары двухэлементов в терминах операций классов, заметка свела теорию отношений к теории классов».^[22] Но Винер высказал мнение, что, хотя он и отправил версию аксиомы * 12.11 с двумя переменными Рассела и Уайтхеда, версию аксиомы сводимости для (аксиомы * 12.1 в Principia Mathematica) все еще было необходимо.^[23]

Витгенштейн 1918

Людвиг Витгенштейн, находясь в заключении в лагере, закончил Логико-философский трактат. В его введении упоминаются «великие произведения Фреге и сочинения моего друга Бертрана Рассела». Не скромный интеллектуал, он заявил, что " правда из изложенных здесь мыслей кажется мне неопровержимым и окончательным. Поэтому я считаю, что проблемы, по сути, наконец-то решены ".^[24] Поэтому неудивительно, что при таком подходе теория типов Рассела подвергается критике:

3.33

В логическом синтаксисе значение знака никогда не должно играть роли; он должен признать свое существование без упоминания о нем смысл знака; это должно предполагать Только описание выражений.

3.331

Из этого наблюдения мы получаем еще одну точку зрения - на взгляд Рассела. Теория типов. Ошибка Рассела проявляется в том, что при составлении своих символических правил он должен говорить о значении знаков.

3.332

Никакое предложение не может ничего сказать о себе, потому что знак предложения не может содержаться в себе (это «вся теория типов»).

3.333

Функция не может быть собственным аргументом, потому что функциональный знак уже содержит прототип своего собственного аргумента и не может содержать самого себя. ... Тем самым исчезает парадокс Рассела.^[25]

Похоже, это подтверждает тот же аргумент, который Рассел использует, чтобы стереть свой «парадокс». Это «использование знаков» для того, чтобы «говорить о знаках», критикует Рассел во введении, которое предшествовало оригинальному английскому переводу:

Сомнения вызывает тот факт, что, в конце концов, Витгенштейну удается много сказать о том, чего нельзя сказать, тем самым внушая скептически настроенному читателю, что, возможно, существует какая-то лазейка в иерархии языков или какой-то другой выход.

Эта проблема возникает позже, когда Витгенштейн приходит к этому мягкому отрицанию аксиомы сводимости - одна из интерпретаций следующего состоит в том, что Витгенштейн говорит, что Рассел сделал (то, что сегодня известно как) ошибка категории; Рассел утвердил (включил в теорию) «дополнительный закон логики», когда все законы (например, неограниченный Инсульт Шеффера принят Витгенштейном) уже было заявлено:

6.123

Ясно, что законы логики сами по себе не могут подчиняться дальнейшим логическим законам. (Не существует, как предполагал Рассел, для каждого «типа» особого закона противоречия; но одного достаточно, поскольку он не применяется к самому себе.)

6.1231

Признак логических предложений не в их общей значимости. Быть общим - значит быть справедливым для всего лишь случайно. Необобщенное суждение может быть так же тавтологичным, как и обобщенное.

6.1232

Логической общей обоснованностью мы могли бы назвать существенную, в отличие от случайной общей обоснованности, например, утверждения «все люди смертны». Утверждения, подобные «аксиоме сводимости» Рассела, не являются логическими предложениями, и это объясняет наше чувство, что, если они верны, они могут быть истинными только по счастливой случайности.

6.1233

Мы можем представить себе мир, в котором аксиома сводимости неверна. Но ясно, что логика не имеет ничего общего с вопросом о том, действительно ли наш мир такой или нет.^[26]

Рассел 1919

Бертран Рассел в его 1919 Введение в математическую философию, нематематический спутник его первого издания ВЕЧЕРА, обсуждает свою Аксиому сводимости в главе 17. Классы (стр. 146ff). Он заключает, что «мы не можем принять« класс »как примитивную идею; символы для классов - это« простые удобства », а классы -« логические фикции или (как мы говорим) «неполные символы» ... классы не могут рассматриваться как часть абсолютного убранства мира »(стр. 146). Причина этого кроется в проблеме непредсказуемости:« классы не могут рассматриваться как разновидности индивидов из-за противоречия в отношении классов, которые не являются членами самих себя. ... и потому что мы можем доказать, что количество классов больше, чем количество индивидов [и т. д.] ». Затем он предлагает 5 обязательств, которые должны быть выполнены в соответствии с теорией классов, и в результате его аксиома сводимости. Он утверждает, что эта аксиома является "обобщенной формой тождества неразличимого Лейбница" (стр. 155). Но он заключает, что предположение Лейбница не обязательно верно для всех возможных предикатов во всех возможных мирах, поэтому он заключает, что:

Я не вижу никаких оснований полагать, что аксиома сводимости логически необходима, что и имелось бы в виду, говоря, что она истинна во всех возможных мирах. Поэтому включение этой аксиомы в систему логики является недостатком ... сомнительным предположением. (стр.155)

Затем он ставит перед собой цель «внести поправки в свою теорию» избегания занятий:

в сведении предложений номинально о классах к предложениям об их определяющих функциях. Избегание классов как сущностей с помощью этого метода, казалось бы, в принципе должно быть разумным, однако детали могут все же потребовать корректировки. (стр.155)

Сколем 1922 г.

Торальф Сколем в его 1922 году Некоторые замечания по аксиоматизированной теории множеств менее чем положительно относился к "Расселу и Уайтхеду" (т.е. их работе Principia Mathematica):

До сих пор, насколько мне известно, только один такая система аксиом нашла довольно всеобщее признание, а именно построенную Цермело (1908). Рассел и Уайтхед также построили систему логики, которая обеспечивает основу теории множеств; однако, если я не ошибаюсь, математиков это мало интересовало.^[27]

Затем Сколем наблюдает за проблемами того, что он назвал «непредикативным определением» в теории множеств Цермело:^[28]

трудность в том, что мы должны сформировать некоторые наборы, существование которых зависит от все множеств ... Пуанкаре назвал это определением и считал его реальной логической слабостью теории множеств.^[29]

Хотя Сколем в основном занимается проблемой теории множеств Цермело, он делает следующее наблюдение аксиома сводимости:

они [Рассел и Уайтхед] тоже просто довольствуются тем, что обходят трудность, вводя оговорку, аксиома сводимости. Фактически, эта аксиома гласит, что непредсказуемые условия будут выполнены. Нет никаких доказательств этого; кроме того, насколько я понимаю, такое доказательство должно быть невозможным с точки зрения Рассела и Уайтхеда, а также с точки зрения Цермело. [курсив мой]^[30]

Рассел 1927

В своем «Введении» 1927 г. ко второму изданию Principia Mathematica Рассел критикует собственную аксиому:

Одним из моментов, в отношении которого очевидно желательно улучшение, является аксиома сводимости (* 12.1.11). Эта аксиома имеет чисто прагматическое обоснование: она приводит к желаемым результатам и ни к чему другому. Но очевидно, что это не та аксиома, на которой мы можем останавливаться. Однако по этому поводу нельзя сказать, что удовлетворительное решение пока возможно. ... Витгенштейн рекомендует еще один курс † [† Логико-философский трактат, * 5.54ff] по философским причинам. Это означает, что функции предложений всегда являются функциями истинности и что функция может возникать только как в предложении через свои значения. Есть трудности ... Отсюда вытекает, что все функции функций экстенсиональны. ... [Но следствием его логики является то, что] теория бесконечного дедекиндиана и хорошо упорядоченного коллапса рушится, так что иррациональные и действительные числа в целом больше не могут быть адекватно рассмотрены. Также доказательство Кантора, что 2^п > п сломается, если п конечно. Возможно, какие-то другие аксиомы, менее вызывающие возражения, чем аксиома сводимости, могли бы дать эти результаты, но нам не удалось найти такую ​​аксиому.^[31]

5.54ff Витгенштейна больше сосредоточен на понятии функция:

5.54

В общей пропозициональной форме предложения возникают в предложении только как основы операций истинности.

5.541

На первый взгляд кажется, что одно предложение могло встретиться в другом по-другому. ¶ Особенно в некоторых пропозициональных формах психологии, таких как «А думает, что п это случай "или" А думает п, "и т. д. Здесь это кажется поверхностным, как если бы предложение п стоял с объектом А в своего рода отношении. ¶ (И в современной эпистемологии [Рассел, Мур и т. Д.] Эти предложения были задуманы именно так.)

5.542

Но ясно, что "А считает, что п, "А думает п"," A говорит п", имеют форму" ' п думает п "; здесь мы имеем дело не с согласованием факта и объекта, а с согласованием фактов посредством согласования их объектов.

5.5421 [и т. Д .: «Составная душа больше не будет душой».] 5.5422

Правильное объяснение формы предложения «Судья п«должно показать, что невозможно судить о вздоре (теория Рассела этому условию не удовлетворяет).^[32]

Возможная интерпретация позиции Витгенштейна состоит в том, что мыслитель А т. Е. 'п' идентично мысль п, таким образом «душа» остается единицей, а не составной частью. Так что произносить «мысль думает мыслью» - это нонсенс, потому что согласно 5.542 высказывание ничего не определяет.

фон Нейман 1925

Джон фон Нейман в своей «Аксиоматизации теории множеств» 1925 года боролся с теми же проблемами, что и Рассел, Цермело, Сколем и Френкель. Он вкратце отверг усилия Рассела:

Здесь следует упомянуть Рассела, Дж. Кенига, Вейля и Брауэра. Они пришли к совершенно другим результатам [от теоретиков множеств], но общий эффект от их деятельности кажется мне откровенно разрушительным. У Рассела вся математика и теория множеств, кажется, опираются на весьма проблематичную «аксиому сводимости», в то время как Вейль и Брауэр систематически отвергают большую часть математики и теории множеств как совершенно бессмысленные.^[33]

Затем он отмечает работу теоретиков множеств Цермело, Френкеля и Шенфлиса, в которых «под« множеством »понимается только объект, о котором он не знает больше, и не хочет знать больше, чем то, что следует из постулатов. постулаты [теории множеств] должны быть сформулированы таким образом, чтобы из них вытекали все желаемые теоремы теории множеств Кантора, но не антиномии.^[34]

Хотя он упоминает об усилиях Дэвид Гильберт доказать непротиворечивость его аксиоматизации математики^[35] фон Нейман поместил его в одну группу с Расселом. Скорее, фон Нейман считал свое предложение «в духе второй группы ... Мы должны, однако, избегать формирования наборов путем сбора или разделения элементов [durch Zusammenfassung oder Aussonderung von Elementen] и так далее, а также избегать неясный принцип «определенности», который все еще можно найти в Цермело. [...] Мы предпочитаем, однако, аксиоматизировать не «набор», а «функцию» ».^[36]

Ван Хейеноорт отмечает, что в конечном итоге эта аксиоматическая система фон Неймана «была упрощена, пересмотрена и расширена ... и стала известна как теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя».^[37]

Дэвид Гильберт 1927

Дэвид Гильберт с аксиоматическая система что он представляет в своем 1925 году Основы математики является зрелым выражением задачи, которую он поставил в начале 1900-х, но отложил на некоторое время (см. его 1904 г. Об основах логики и арифметики). Его система не является ни теоретической, ни производной от Рассела и Уайтхеда. Скорее, он использует 13 аксиом логики - четыре аксиомы импликации, шесть аксиом логического И и логического ИЛИ, 2 аксиомы логического отрицания и 1 ε-аксиому (аксиома «существования») - плюс версия Аксиомы Пеано в 4 аксиомах, включая математическая индукция, некоторые определения, имеющие "характер аксиом, и определенные аксиомы рекурсии которые являются результатом общей схемы рекурсии "^[38] плюс некоторые правила формирования, которые «регулируют использование аксиом».^[39]

Гильберт утверждает, что в отношении этой системы, то есть «теории основ Рассела и Уайтхеда [,] ... фундамент, который она обеспечивает для математики, покоится, во-первых, на аксиоме бесконечности, а затем на том, что называется аксиомой сводимости, и обе эти аксиомы являются подлинными содержательными предположениями, не подкрепленными доказательством непротиворечивости; они представляют собой предположения, справедливость которых на самом деле остается сомнительной, и что, в любом случае, моя теория не требует ... сводимость не предполагается в моем теория ... выполнение редукции потребовалось бы только в том случае, если было дано доказательство противоречия, и тогда, согласно моей теории доказательств, это сокращение всегда обязательно будет успешным ".^[40]

Именно на этом фундаменте современные теория рекурсии отдыхает.

Рэмси 1925

В 1925 г. Фрэнк Пламптон Рэмси утверждал, что это не нужно.^[41] Однако во втором издании Principia Mathematica (1927, стр. Xiv) и в статье Рэмси 1926 г.^[42] утверждается, что некоторые теоремы о действительные числа не может быть доказано с использованием подхода Рамсея. Наиболее поздние математические формализмы (гильбертовский Формализм или Брауэр с Интуиционизм например) не используйте его.

Рэмси показал, что можно переформулировать определение предикативный используя определения в Витгенштейн с Логико-философский трактат. В результате все функции данного порядка становятся предикативный, независимо от того, как они выражены. Далее он показывает, что его формулировка все еще избегает парадоксов. Однако теория «Трактата» оказалась недостаточно сильной, чтобы доказать некоторые математические результаты.

Гёдель 1944

Курт Гёдель в его 1944 году Математическая логика Рассела предлагает словами своего комментатора Чарльза Парсонса, «[то, что] можно рассматривать как защиту этих [реалистических] взглядов Рассела от редукционизма, заметного в его философии и неявного во многих его фактических логических работах. надежная защита реализма в отношении математики и ее объектов с тех пор, как парадоксы пришли в сознание математического мира после 1900 года ».^[43]

В общем, Гёдель с пониманием относится к понятию, что пропозициональная функция может быть сведена к (отождествляемой) реальные объекты которые его удовлетворяют, но это вызывает проблемы в отношении теории действительных чисел и даже целых чисел (стр. 134). Он отмечает, что первое издание ВЕЧЕРА «отказался» от реалистической (конструктивистской) «позиции» с предложением аксиомы сводимости (стр. 133). Однако во введении ко второму изданию ВЕЧЕРА (1927) Гёдель утверждает, что «конструктивистская установка снова возобновляется» (стр. 133), когда Рассел «отказался» от аксиомы сводимости в пользу матричной (истинностно-функциональной) теории; Рассел "прямо заявил, что все примитивные предикаты принадлежат к низшему типу и что единственная цель переменных (и, очевидно, также констант) состоит в том, чтобы дать возможность утверждать более сложные функции истинности атомарных предложений ... [то есть] более высокие типы и заказы являются исключительно Façon de Parler "(стр. 134). Но это работает только тогда, когда число индивидов и примитивных предикатов конечно, поскольку можно построить конечные строки символов, такие как:

${displaystyle x = a_ {1} vee x = a_ {2} vee dots vee x = a_ {k}}$ [пример на странице 134]

И из таких строк можно формировать строки строк, чтобы получить эквивалент классов классов, при этом возможно сочетание типов. Однако из таких конечных строк нельзя построить всю математику, потому что они не могут быть «проанализированы», то есть могут быть сведены к закону тождества или опровергнуты отрицанием закона:

Даже теория целых чисел не аналитична, при условии, что от правил исключения требуется, чтобы они позволяли фактически выполнять исключение за конечное число шагов в каждом случае.⁴⁴ (⁴⁴Потому что это подразумевало бы существование процедуры принятия решения для всех арифметических предложений. Ср. Тьюринг 1937.) ... [Таким образом] вся математика применительно к предложениям бесконечной длины должна предполагаться для доказательства [] аналитичности [теории целых чисел], например, аксиома выбора может быть доказана только аналитической если предполагается, что это правда. (стр.139)

Но он отмечает, что «эта процедура, кажется, предполагает арифметику в той или иной форме» (стр.134), и он заявляет в следующем абзаце, что «вопрос о том, может ли (и в какой степени) быть получена теория целых чисел на основе разветвленной иерархии, должен считаться нерешенным». (стр.135)

Гёдель предложил использовать «более консервативный подход»:

прояснить значение терминов «класс» и «концепция» и создать последовательную теорию классов и концепций как объективно существующих сущностей. Это курс, по которому идет фактическое развитие математической логики ... Основные попытки в этом направлении ... это простая теория типов ... и аксиоматическая теория множеств, обе из которых были успешными, по крайней мере, для до такой степени, что они позволяют выводить современную математику и в то же время избегают всех известных парадоксов. Однако многие симптомы слишком ясно показывают, что примитивные концепции нуждаются в дальнейшем разъяснении. (стр.140)

Куайн 1967

В критике, в которой также обсуждаются плюсы и минусы Рэмси (1931)^[44] В. В. О. Куайн называет формулировку "типов" Расселом "проблемной ... путаница сохраняется, когда он пытается определить 'ппредложения-го порядка "... метод действительно странно изворотлив ... аксиома сводимости самоуничижительна" и т. д.^[45]

подобно Стивен Клини Куайн отмечает, что Рэмси (1926) ^[46] разделил различные парадоксы на две разновидности (i) «парадоксы чистой теории множеств» и (ii) те, которые получены из «семантических понятий, таких как ложность и специфицируемость», и Рэмси полагал, что вторую разновидность следовало исключить из решения Рассела. Куайн заканчивается мнением, что «из-за смешения пропозиций с предложениями и атрибутов с их выражениями предполагаемое решение семантических парадоксов Расселом в любом случае было загадочным».^[47]

Клини 1952

В своем разделе «§12. Первые выводы из парадоксов» (подраздел «ЛОГИКА»), Стивен Клини (1952) прослеживает развитие теории типов Рассела:

Чтобы адаптировать логицистическую [sic] конструкцию математики к ситуации, возникающей в результате открытия парадоксов, Рассел исключил непредикативные определения своим разветвленная теория типов (1908, 1910).^[48]

Клини замечает, что «для исключения непредикативных определений внутри типа типы выше типа 0 [первичные объекты или индивиды,« не подвергнутые логическому анализу »] далее разделяются на порядки. Таким образом, для типа 1 [свойства индивидов, то есть логические результаты пропозициональное исчисление ], свойства, определенные без упоминания какой-либо совокупности, принадлежат порядок 0, и свойства, определенные с использованием совокупности свойств от заданного порядка ниже до следующего более высокого порядка) ".^[49]

Клини, однако, в скобках замечает, что «логицистическое определение натурального числа теперь становится предикативным, когда [свойство] P в нем указано, что оно распространяется только на свойства данного порядка; в [этом] случае свойство быть натуральным числом является следующего более высокого порядка ».^[50] Но такое разделение на порядки делает невозможным построение знакомого анализа, который [см. Пример Клини на Непредсказуемость ] содержит предварительные определения. Чтобы избежать этого исхода, Рассел постулировал аксиома сводимости.^[51] Но, задается вопросом Клини, «на каком основании мы должны верить в аксиому сводимости?»^[52] Он замечает это, тогда как Principia Mathematica представлен как производный от интуитивно- производные аксиомы, которые «должны были поверить в мир или, по крайней мере, быть приняты как правдоподобные гипотезы, касающиеся мира [,] ... если свойства должны быть сконструированы, вопрос должен быть решен на основе конструкций, не аксиомой ". В самом деле, он цитирует Уайтхеда и Рассела (1927), подвергая сомнению их собственную аксиому: «очевидно, что это не тот вид аксиомы, на котором мы можем быть довольны».^[53]

Клини ссылается на работу Рэмси 1926 года, но отмечает, что «ни Уайтхеду и Расселу, ни Рэмси не удалось конструктивно достичь логической цели» и «интересное предложение ... Лэнгфорда 1927 и Карнапа 1931-22 также не лишено трудностей. "^[54] Клини заканчивает это обсуждение цитатой из Вейля (1946), что «система Principia Mathematica ... [основан на] своего рода рае для логиков, «и любой», кто готов поверить в этот «трансцендентный мир», может также принять систему аксиоматической теории множеств (Цермело, Френкель и т. д.), которая для дедукции математики, имеет то преимущество, что он проще по структуре ».^[55]

Примечания

Рекомендации

• ван Хейеноорт, Жан (1967, 3-е издание 1976 г.), От Фреге до Геделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 гг., Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN  0-674-32449-8 (pbk)
• Рассел, Бертран (1903) Основы математики: Vol. 1, Cambridge at the University Press, Кембридж, Великобритания, переиздано в виде книги Google.
• Уайтхед, Альфред Норт и Рассел, Бертран (1910–1913, 2-е издание 1927 г., переизданное издание 1962 г.), Principia Mathematica до * 56, Cambridge at the University Press, Лондон, Великобритания, без ISBN или номера карты США в каталоге.
• Марио Ливио (2009), Бог - математик?, Саймон и Шустер, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, ISBN  978-0-7432-9405-8.

внешняя ссылка

• Аксиома сводимости в PhilPapers