Пол Коэн - Paul Cohen

О других людях по имени Пол Коэн см. Пол Коэн (значения). Не путать с Пол Кон.

Пол Джозеф Коэн (2 апреля 1934 г. - 23 марта 2007 г.)^[1] был Американец математик. Он наиболее известен своими доказательствами того, что гипотеза континуума и аксиома выбора находятся независимый из Теория множеств Цермело – Френкеля, за что был награжден Медаль Филдса.^[2]

ранняя жизнь и образование

Коэн родился в Лонг-Бранч, Нью-Джерси, в Еврейский семья, которая иммигрировала в Соединенные Штаты из того, что сейчас Польша; он вырос в Бруклин.^[3][4] Окончил в 1950 г. в возрасте 16 лет Stuyvesant High School, дневная в Нью-Йорк.^[1][4]

Коэн затем учился в Бруклинский колледж с 1950 по 1953 год, но он ушел, не заработав степень бакалавра когда он узнал, что может поступить в аспирантуру в Чикагский университет всего за два года в колледже. В Чикаго, Коэн получил степень магистра математики в 1954 г. Доктор Философии степень в 1958 г., под руководством Антони Зигмунд. Название его докторской диссертации было Вопросы теории единственности тригонометрических рядов.^[5]

В 1957 году, перед присуждением докторской степени, Коэн был назначен на год преподавателем математики в Университете Рочестера. Затем он провел 1958–59 учебный год в Массачусетском технологическом институте, а затем провел 1959–61 в качестве научного сотрудника в Институте перспективных исследований в Принстоне. Это были годы, когда Коэн совершил ряд значительных математических открытий. В Факторизация в групповых алгебрах (1959) он показал, что любая интегрируемая функция на локально компактной группе является сверткой двух таких функций, решая задачу, поставленную Вальтер Рудин. В О гипотезе Литтлвуда и идемпотентных мерах (1960) Коэн совершил значительный прорыв в решении гипотезы Литтлвуда.^[6]

2 июня 1995 г. Коэн получил почетный доктор от факультета науки и технологий Уппсальский университет, Швеция.^[7]

Карьера

Коэн известен разработкой математической техники под названием принуждение, который он использовал, чтобы доказать, что ни гипотеза континуума (CH) ни аксиома выбора можно доказать из стандартного Аксиомы Цермело – Френкеля (ZF) из теория множеств. В сочетании с более ранними работами Гёдель, это показало, что оба эти утверждения логически независимый аксиом ZF: эти утверждения нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью этих аксиом. В этом смысле гипотеза континуума неразрешима, и это наиболее широко известный пример естественного утверждения, которое не зависит от стандартных аксиом ZF теории множеств.

За свой результат по гипотезе континуума Коэн выиграл Медаль Филдса по математике в 1966 г., а также Национальная медаль науки в 1967 г.^[8] Медаль Филдса, которую выиграл Коэн, по-прежнему остается единственной медалью Филдса, которая присуждается за работу в области математической логики с 2018 года.

Помимо работы в области теории множеств, Коэн также внес ценный вклад в анализ. Он был награжден Приз памяти Бохера в математический анализ в 1964 г. за статью «Об одной гипотезе Littlewood и идемпотентные меры ",^[9] и одалживает свое имя Теорема факторизации Коэна – Хьюитта.

Коэн был профессором математики в Стэндфордский Университет. Он был приглашенным спикером на ICM в 1962 году в Стокгольме и в 1966 году в Москве.

Ангус Макинтайр из Лондонский университет королевы Марии заявил о Коэне: «Он был устрашающе умен, и нужно было быть наивным или исключительно альтруистичным, чтобы поставить свою« самую сложную проблему »перед Полом, которого я знал в 60-е». Он продолжил сравнивать Коэна с Курт Гёдель, говоря: «Ничего более драматичного, чем их работа, не произошло в истории этого предмета».^[10] Сам Гёдель написал письмо Коэну в 1963 году, черновик которого гласил: «Позвольте мне повторить, что мне действительно приятно читать ваше доказательство [независимости] конт [инуумного] гип [гипотезы]. Я думаю, что во всех существенных отношениях вы предоставили наилучшее возможное доказательство, и это случается нечасто. Чтение вашего доказательства оказало на меня такое же приятное впечатление, как и просмотр действительно хорошей пьесы ».^[11]

Гипотеза континуума

При изучении гипотезы континуума Коэн, как цитируют, сказал в 1985 году, что у него «было ощущение, что люди думали, что проблема безнадежна, поскольку не было нового способа построения моделей теории множеств. Более того, они думали, что вы должны быть немного сумасшедший даже думать о проблеме ».^[12]

"Точка зрения, которую, по мнению автора [Коэна], в конечном итоге может принять, состоит в том, что CH явно ложен. Основная причина, по которой кто-то принимает аксиома бесконечности Возможно, нам кажется абсурдным думать, что процесс добавления только одного набора за раз может исчерпать всю вселенную. То же самое и с высшими аксиомами бесконечности. Сейчас же ${displaystyle aleph _ {1}}$ - мощность множества счетных ординалов, и это просто особый и простейший способ генерации более высокого кардинала. Набор ${displaystyle C}$ [континуум], напротив, порождается совершенно новым и более мощным принципом, а именно: аксиома набора мощности. Неразумно ожидать, что любое описание большего кардинала, которое пытается построить это кардинал на основе идей, происходящих из аксиома замены может когда-либо достичь ${displaystyle C}$.

Таким образом ${displaystyle C}$ больше, чем ${displaystyle aleph _ {n}, aleph _ {omega}, алеф _ {a}}$, куда ${displaystyle a = aleph _ {omega}}$и др. Эта точка зрения касается ${displaystyle C}$ как невероятно богатый набор, данный нам одной смелой новой аксиомой, к которой невозможно приблизиться ни в каком фрагментарном процессе построения. Возможно, последующие поколения яснее увидят проблему и выразят себя более красноречиво ».^[13]

«Прочный и мощный продукт» работы Коэна над гипотезой континуума, который использовался «бесчисленным количеством математиков»^[12] известен как "принуждение", и он используется для построения математических моделей для проверки данной гипотезы на истинность или ложность.

Незадолго до своей смерти Коэн прочитал лекцию с описанием своего решения проблемы гипотезы континуума на конференции, посвященной столетию Гёделя в 2006 г. Вена.^[14]

Смерть

У Коэна и его жены Кристины (урожденной Карлс) было трое сыновей. Коэн умер 23 марта 2007 г. Стэнфорд, Калифорния после страданий от заболевание легких.^[15]

Избранные публикации

• Коэн, Пол Дж. (Декабрь 1963 г.). «Независимость гипотезы континуума». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 50 (6): 1143–1148. Bibcode:1963ПНАС ... 50.1143С. Дои:10.1073 / пнас.50.6.1143. ЧВК  221287. PMID  16578557.
• Коэн, Пол Дж. (Январь 1964 г.). «Независимость гипотезы континуума, II». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 51 (1): 105–110. Bibcode:1964ПНАС ... 51..105С. Дои:10.1073 / пнас.51.1.105. ЧВК  300611. PMID  16591132.

Смотрите также

• Коэновская алгебра

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Акихиро Канамори, "Коэн и теория множеств ", Вестник символической логики, Том 14, номер 3, сентябрь 2008 г.
• Сарнак, Петр (Декабрь 2007 г.). "Вспоминая Пола Коэна" (PDF). MAA FOCUS. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. 27 (9): 21–22. ISSN  0731-2040. Получено 2009-05-31.

внешняя ссылка

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Пол Джозеф Коэн", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• Пол Джозеф Коэн на Проект "Математическая генеалогия"
• paulcohen.org - мемориальный сайт, посвященный жизни Пола Коэна
• Стэнфордский некролог