Гомоморфизм графов - Graph homomorphism

Не путать с гомеоморфизм графа.

Гомоморфизм графов из J5 в C5
Гомоморфизм из цветок snark J5 в график цикла C5.
Это также ретракция на подграф на пяти центральных вершинах. Таким образом J5 фактически гомоморфно эквивалентен ядро C5.

в математический поле теория графов, а гомоморфизм графов это отображение между двумя графики это уважает их структуру. Более конкретно, это функция между наборами вершин двух графов, которая отображает смежные вершины в соседние вершины.

Гомоморфизмы обобщают различные понятия раскраски графиков и позволяют выразить важный класс проблемы удовлетворения ограничений, например, некоторые планирование или частотное присвоение проблемы.[1]Тот факт, что гомоморфизмы могут быть составлены, приводит к богатым алгебраическим структурам: предзаказ на графиках распределительная решетка, а категория (один для неориентированных графов и один для ориентированных графов).[2]В вычислительная сложность найти гомоморфизм между заданными графами в общем случае недопустимо, но много известно о частных случаях, которые разрешимы в полиномиальное время. Границы между поддающимися лечению и неразрешимыми случаями были активной областью исследований.[3]

Определения

В этой статье, если не указано иное, графики конечны, неориентированные графы с участием петли разрешено, но несколько краев (параллельные края) запрещены. гомоморфизм графов[4] ж из графика г = (V(г), E(г)) в граф ЧАС = (V(ЧАС), E(ЧАС)), написано

ж : г → ЧАС

это функция от V(г) к V(ЧАС), который отображает концы каждого ребра в г к конечным точкам края в ЧАС. Формально {ты,v} ∈ E(г) подразумевает {ж(ты),ж(v)} ∈ E(ЧАС) для всех пар вершин ты, v в V(гЕсли существует гомоморфизм из г к ЧАС, тогда г как говорят гомоморфный к ЧАС или ЧАСраскрашиваемый. Это часто обозначается так:

г → ЧАС .

Приведенное выше определение распространяется на ориентированные графы. Тогда для гомоморфизма ж : г → ЧАС, (ж(ты),ж(v)) является дуга (направленный край) ЧАС всякий раз, когда (ты,v) представляет собой дугу г.

Существует инъективный гомоморфизм из г к ЧАС (т.е. тот, который никогда не отображает различные вершины в одну вершину) тогда и только тогда, когда г это подграф из ЧАС.Если гомоморфизм ж : г → ЧАС это биекция (взаимно однозначное соответствие между вершинами г и ЧАС) чья обратная функция также является гомоморфизмом графов, то ж это изоморфизм графов.[5]

Покрывающие карты представляют собой особый вид гомоморфизмов, отражающих определение и многие свойства покрывающие карты в топологии.[6]Они определены как сюръективный гомоморфизмы (т. е. что-то отображается в каждую вершину), которые также являются локально биективными, то есть биекцией на окрестности каждой вершины. Примером является двусторонняя двойная обложка, сформированный из графа путем разбиения каждой вершины v в v0 и v1 и заменяя каждый край ты,v с краями ты0,v1 и v0,ты1. Отображение функций v0 и v1 в обложке к v в исходном графе есть гомоморфизм и накрывающее отображение.

График гомеоморфизм это другое понятие, не связанное напрямую с гомоморфизмами. Грубо говоря, это требует инъекции, но позволяет отображать ребра на пути (а не только на ребра). График миноров - еще более расслабленное понятие.

Сердечники и ретракты

K7, полный граф с 7 вершинами, является ядром.
Основная статья: Ядро (теория графов)

Два графика г и ЧАС находятся гомоморфно эквивалентный еслиг → ЧАС и ЧАС → г.[4] Карты не обязательно сюръективны или инъективны. Например, полные двудольные графы K2,2 и K3,3 гомоморфно эквивалентны: каждая карта может быть определена как взятие левой (соответственно правой) половины графа области и отображение только на одну вершину в левой (соответственно правой) половине графа изображений.

Ретракция - это гомоморфизм р из графика г к подграф ЧАС из г такой, что р(v) = v для каждой вершины v из ЧАС.В этом случае подграф ЧАС называется втягивать из г.[7]

А ядро является графом без гомоморфизма ни в один собственный подграф. Точно так же ядро ​​можно определить как граф, который не сводится ни к какому собственному подграфу.[8]Каждый график г гомоморфно эквивалентно единственному ядру (с точностью до изоморфизма), называемому ядро из г.[9] Примечательно, что в общем случае это неверно для бесконечных графов.[10]Однако те же определения применимы к ориентированным графам, и ориентированный граф также эквивалентен уникальному ядру. Каждый граф и каждый ориентированный граф содержит свое ядро ​​в виде ретракта и индуцированный подграф.[7]

Например, все полные графики Kп и все нечетные циклы (графики цикла нечетной длины) являются сердечниками. 3-цветный график г содержащий треугольник (то есть полный график K3 как подграф) гомоморфно эквивалентен K3. Это потому, что, с одной стороны, 3-раскраска г то же самое, что и гомоморфизм г → K3, как описано ниже. С другой стороны, каждый подграф г тривиально допускает гомоморфизм в г, подразумевая K3 → г. Это также означает, что K3 ядро любого такого графа г. Точно так же каждый двудольный граф имеющий хотя бы одно ребро, эквивалентно K2.[11]

Подключение к раскраскам

А k-крашивание, для некоторого целого числа k, является присвоением одного из k цвета каждой вершине графа г так что конечные точки каждого ребра имеют разные цвета. В k-расцветки г в точности соответствуют гомоморфизмам из г к полный график Kk.[12] Действительно, вершины Kk соответствуют k цветов, а два цвета смежны как вершины Kk тогда и только тогда, когда они разные. Следовательно, функция определяет гомоморфизм к Kk тогда и только тогда, когда он отображает смежные вершины г в разные цвета (т. е. это k-раскрашивание). Особенно, г является k-окрашиваемый тогда и только тогда, когда он Kkраскрашиваемый.[12]

Если есть два гомоморфизма г → ЧАС и ЧАС → Kk, то их состав г → Kk также является гомоморфизмом.[13] Другими словами, если граф ЧАС можно раскрасить k цветов, и существует гомоморфизм из г к ЧАС, тогда г так же может быть k-цветный. Следовательно, г → ЧАС следует χ (г) ≤ χ (ЧАС), где χ обозначает хроматическое число графа (наименьшее k для чего это k-раскрашиваемый).[14]

Варианты

Общие гомоморфизмы также можно рассматривать как разновидность раскраски: если вершины фиксированного графа ЧАС доступны цвета и края ЧАС опишите, какие цвета совместимый, затем ЧАС-крашивание г это присвоение цветов вершинам г такие, что соседние вершины получают согласованные цвета. Многие понятия раскраски графов вписываются в этот образец и могут быть выражены как гомоморфизмы графов в различные семейства графов.Круговые раскраски можно определить с помощью гомоморфизмов в круговые полные графики, уточняя привычное представление о раскрасках.[15]Дробное и браскраска можно определить с помощью гомоморфизмов в Графы Кнезера.[16]Т-раскраски соответствуют гомоморфизмам в некоторые бесконечные графы.[17]An ориентированная окраска ориентированного графа является гомоморфизмом в любой ориентированный граф.[18]An L (2,1) -ракраска является гомоморфизмом в дополнять из граф путей который является локально инъективным, что означает, что он должен быть инъективным в окрестности каждой вершины.[19]

Ориентации без длинных путей

Основная статья: Теорема Галлаи – Хассе – Роя – Витавера.

Еще одно интересное соединение касается ориентации графов Ориентация неориентированного графа г - любой ориентированный граф, полученный выбором одной из двух возможных ориентаций каждого ребра. Пример ориентации полного графа Kk это переходный турнир Т→k с вершинами 1,2,…,k и дуги из я к j всякий раз, когда я < j.Гомоморфизм ориентации графов г и ЧАС дает гомоморфизм между неориентированными графами г и ЧАС, просто игнорируя ориентации. С другой стороны, учитывая гомоморфизм г → ЧАС между неориентированными графами, любая ориентация ЧАС→ из ЧАС можно вернуть в ориентацию г→ из г так что г→ имеет гомоморфизм к ЧАС→.Поэтому график г является k-раскрашиваемый (имеет гомоморфизм Kk) тогда и только тогда, когда некоторая ориентация г имеет гомоморфизм к Т→k.[20]

Фольклорная теорема гласит, что для всех k, ориентированный граф г имеет гомоморфизм к Т→k тогда и только тогда, когда он не допускает гомоморфизма направленного пути п→k+1.[21]Вот п→п ориентированный граф с вершинами 1, 2,…, п и края из я к я +1, для я = 1, 2, …, п - 1. Следовательно, график k-раскрашиваемым тогда и только тогда, когда он имеет ориентацию, не допускающую гомоморфизма из п→k+1Это утверждение можно немного усилить, чтобы сказать, что граф k-окрашиваемый тогда и только тогда, когда некоторая ориентация не содержит ориентированного пути длины k (нет п→k+1 как подграф). Это Теорема Галлаи – Хассе – Роя – Витавера..

Связь с проблемами удовлетворения ограничений

Примеры

График ЧАС непоследовательных дней недели, изоморфных дополнительный граф из C7 и к круговая клика K7/2

Некоторые задачи планирования можно смоделировать как вопрос о поиске гомоморфизмов графов.[22][23] Например, можно назначить курсы семинаров по временным интервалам в календаре, чтобы два курса, которые посещает один и тот же студент, не находились слишком близко друг к другу по времени. Курсы образуют график г, с преимуществом между любыми двумя курсами, которые посещает какой-нибудь обычный студент. Временные интервалы образуют график ЧАС, с краем между любыми двумя слотами, достаточно удаленными по времени. Например, если кто-то хочет циклическое, еженедельное расписание, такое, чтобы каждый студент проходил свои семинары в дни, не следующие друг за другом, тогда ЧАС будет дополнительный граф из C7. Гомоморфизм графов из г к ЧАС - тогда расписание, в котором курсы распределяются по временным интервалам, как указано.[22] Чтобы добавить требование о том, что, например, ни у одного студента нет курсов одновременно в пятницу и понедельник, достаточно удалить соответствующее ребро из ЧАС.

Просто распределение частот проблему можно указать следующим образом: количество передатчиков в беспроводная сеть должны выбрать частотный канал, по которому они будут передавать данные. Избежать вмешательство, географически близкие передатчики должны использовать каналы с удаленными друг от друга частотами. Если это условие аппроксимируется одним порогом для определения «географически близко» и «далеко друг от друга», то правильный выбор канала снова соответствует гомоморфизму графа. Он должен идти от графика передатчиков г, с ребрами между парами, которые географически близки, к графу каналов ЧАС, с краями между каналами, которые далеко друг от друга. Хотя эта модель довольно упрощена, она допускает некоторую гибкость: пары передатчиков, которые не расположены близко, но могут создавать помехи из-за географических особенностей, могут быть добавлены к краям г. Те, которые не общаются при этом, могут быть удалены из него. Точно так же пары каналов, которые находятся далеко друг от друга, но имеют гармонический помехи могут быть удалены с края набора ЧАС.[24]

В каждом случае эти упрощенные модели отображают многие проблемы, которые необходимо решать на практике.[25] Проблемы удовлетворения ограничений, которые обобщают проблемы гомоморфизма графов, могут выражать различные дополнительные типы условий (такие как индивидуальные предпочтения или границы количества совпадающих назначений). Это позволяет сделать модели более реалистичными и практичными.

Формальный вид

Графы и ориентированные графы можно рассматривать как частный случай гораздо более общего понятия, называемого реляционным. структуры (определяется как набор с набором отношений на нем). Направленные графы - это структуры с одним бинарным отношением (смежностью) в области (наборе вершин).[26][3] Согласно этой точке зрения, гомоморфизмы таких структур являются в точности гомоморфизмами графов. В общем случае вопрос о нахождении гомоморфизма одной реляционной структуры в другую является проблема удовлетворения ограничений (CSP). Случай графов дает конкретный первый шаг, который помогает понять более сложные CSP. Многие алгоритмические методы для поиска гомоморфизмов графов, например возврат, распространение ограничений и местный поиск, применяются ко всем CSP.[3]

Для графиков г и ЧАС, вопрос о том, г имеет гомоморфизм к ЧАС соответствует экземпляру CSP только с одним видом ограничений,[3] следующим образом. В переменные являются вершинами г и домен для каждой переменной - это набор вершин ЧАС. An оценка - это функция, которая назначает каждой переменной элемент домена, поэтому функция ж от V(г) к V(ЧАС). Каждое ребро или дугу (ты,v) из г тогда соответствует ограничение ((ты,v), E (ЧАС)). Это ограничение, означающее, что оценка должна отображать дугу (ты,v) к паре (ж(ты),ж(v)), который находится в соотношении E(ЧАС), т. е. дуге из ЧАС. Решение CSP - это оценка, учитывающая все ограничения, поэтому это в точности гомоморфизм из г к ЧАС.

Структура гомоморфизмов

Композиции гомоморфизмов являются гомоморфизмами.[13] В частности, отношение → на графах транзитивно (и тривиально рефлексивно), поэтому оно предзаказ на графиках.[27]Пусть класс эквивалентности графа г при гомоморфной эквивалентности быть [г]. Класс эквивалентности также может быть представлен единственным ядром в [г]. Отношение → является частичный заказ по этим классам эквивалентности; он определяет посеть.[28]

Позволять г < ЧАС обозначим, что существует гомоморфизм из г к ЧАС, но нет гомоморфизма из ЧАС к г.Отношение → является плотный порядок, что означает, что для всех (неориентированных) графов г, ЧАС такой, что г < ЧАС, есть график K такой, что г < K < ЧАС (это верно за исключением тривиальных случаев г = K0 или K1).[29][30]Например, между любыми двумя полные графики (Кроме K0, K1) бесконечно много круговые полные графики, соответствующие рациональным числам между натуральными числами.[31]

Ч.у. классов эквивалентности графов при гомоморфизмах есть распределительная решетка, с присоединиться из [г] и [ЧАС] определяется как (класс эквивалентности) дизъюнктного объединения [г ∪ ЧАС], а встреча из [г] и [ЧАС] определяется как тензорное произведение [г × ЧАС] (выбор графиков г и ЧАС представляющие классы эквивалентности [г] и [ЧАС] не важно).[32]В неприводимый к соединению элементы этой решетки точно связанный графики. Это можно показать, используя тот факт, что гомоморфизм отображает связный граф в одну связную компоненту целевого графа.[33][34]В неприводимый к встречам элементы этой решетки - это в точности мультипликативные графы. Это графики K так что продукт г × ЧАС имеет гомоморфизм к K только когда один из г или ЧАС тоже делает. Определение мультипликативных графов лежит в основе Гипотеза Хедетниеми.[35][36]

Гомоморфизмы графов также образуют категория, с графами как объектами и гомоморфизмами как стрелками.[37]В исходный объект - пустой граф, а конечный объект - граф с одной вершиной и одним петля в этой вершине. тензорное произведение графов это теоретико-категориальный продукт и экспоненциальный график это экспоненциальный объект для этой категории.[36][38]Поскольку эти две операции всегда определены, категория графов - это декартова закрытая категория По той же причине решетка классов эквивалентности графов при гомоморфизмах фактически является Алгебра Гейтинга.[36][38]

Для ориентированных графов применимы те же определения. В частности → является частичный заказ о классах эквивалентности ориентированных графов. Он отличается от порядка → классов эквивалентности неориентированных графов, но содержит его как подпорядок. Это связано с тем, что любой неориентированный граф можно рассматривать как ориентированный граф, в котором каждая дуга (ты,v) появляется вместе со своей обратной дугой (v,ты), и это не меняет определения гомоморфизма. Порядок → для ориентированных графов снова представляет собой дистрибутивную решетку и алгебру Гейтинга с операциями соединения и встречи, определенными, как и раньше. Однако он не плотный. Также существует категория с ориентированными графами как объектами и гомоморфизмами как стрелками, что опять же декартова закрытая категория.[39][38]

Несравненные графики

Граф Грёча, несравнимый с K3

Существует много несравнимых графов относительно предпорядка гомоморфизма, то есть таких пар графов, что ни один из них не допускает гомоморфизма в другой.[40]Один из способов их построения - рассмотреть странный обхват графа г, длина его самого короткого цикла нечетной длины. Нечетный обхват, эквивалентно, наименьший нечетное число г для которого существует гомоморфизм из график цикла на г вершины к г. По этой причине, если г → ЧАС, то странный обхват г больше или равен нечетному обхвату ЧАС.[41]

С другой стороны, если г → ЧАС, то хроматическое число г меньше или равно хроматическому числу ЧАС. Следовательно, если г имеет строго больший нечетный обхват, чем ЧАС и хроматическое число строго больше, чем ЧАС, тогда г и ЧАС несравненные.[40]Например, График Грёча 4-цветный и без треугольников (имеет обхват 4 и нечетный обхват 5),[42] поэтому он несравним с треугольным графом K3.

Примеры графиков со сколь угодно большими значениями нечетного обхвата и хроматического числа: Графы Кнезера[43] и обобщенные микельские.[44]Последовательность таких графиков при одновременном увеличении значений обоих параметров дает бесконечно много несравнимых графиков ( антицепь в предпорядке гомоморфизма).[45]Другие свойства, такие как плотность предпорядка гомоморфизмов, можно доказать с помощью таких семейств.[46]Построение графиков с большими значениями хроматического числа и обхвата, а не только с нечетным обхватом, также возможно, но более сложное (см. Обхват и раскраска графика ).

Среди ориентированных графов гораздо проще найти несравнимые пары. Например, рассмотрим ориентированные циклические графы C→п, с вершинами 1, 2,…, п и края из я к я + 1 (для я = 1, 2, …, п - 1) и от п к 1. существует гомоморфизм из C→п к C→k (п, k ≥ 3) тогда и только тогда, когда п кратно k. В частности, ориентированные графы циклов C→п с участием п премьер все несравнимы.[47]

Вычислительная сложность

В проблеме гомоморфизма графов экземпляром является пара графов (г,ЧАС) и решение является гомоморфизмом из г к ЧАС. Генерал проблема решения, спрашивая, есть ли какое-либо решение, НП-полный.[48] Однако ограничение допустимых экземпляров порождает множество различных проблем, некоторые из которых гораздо легче решить. Методы, применяемые при удерживании левой стороны г сильно отличаются от правой стороны ЧАС, но в каждом случае дихотомия (резкая граница между легким и трудным случаями) известна или предполагается.

Гомоморфизмы фиксированному графу

Проблема гомоморфизма с фиксированным графом ЧАС справа от каждого экземпляра также называется ЧАС-проблема с окраской. Когда ЧАС полный граф Kk, это график kпроблема окраски, которая разрешима за полиномиальное время при k = 0, 1, 2 и НП-полный в противном случае.[49]Особенно, K2-раскрашиваемость графика г эквивалентно г будучи двудольный, который можно проверить в линейном времени. ЧАС двудольный граф, ЧАС-крашиваемость эквивалентна K2-крашиваемость (или K0 / K1-крашиваемость при ЧАС пусто / без ребра), поэтому решить также легко.[50]Павол Ад и Ярослав Нешетржил доказал, что для неориентированных графов никакой другой случай невозможен:

Теорема Ада – Нешетрила (1990): ЧАС-проблема окраски в P, когда ЧАС является двудольным и NP-полным в противном случае.[51][52]

Это также известно как теорема дихотомии для (неориентированных) гомоморфизмов графов, поскольку он делит ЧАС-раскрашивание задач в NP-полные или P-задачи, без средний Для ориентированных графов ситуация более сложная и фактически эквивалентна гораздо более общему вопросу о характеристике сложность проблем удовлетворения ограничений.[53]Оказывается, что ЧАС-раскрашивание ориентированных графов столь же общо и разнообразно, как и задачи CSP с любыми другими ограничениями.[54][55] Формально (конечный) язык ограничений (или шаблон) Γ конечная область и конечный набор отношений над этой областью. CSP (Γ) - это проблема удовлетворения ограничений, когда экземплярам разрешено использовать ограничения только в Γ.

Теорема (Федер, Варди 1998): для каждого языка ограничений Γ, проблема CSP (Γ) эквивалентно при редукции за полиномиальное время некоторым ЧАС-раскраска для некоторого ориентированного графа ЧАС.[55]

Интуитивно это означает, что каждый результат алгоритмической техники или сложности, применимый к ЧАС-раскрашивание задач ориентированных графов ЧАС применимо также и к общим CSP. В частности, возникает вопрос, можно ли распространить теорему Хелла – Нешетрила на ориентированные графы. Согласно приведенной выше теореме, это эквивалентно гипотезе Федера – Варди (также известной как гипотеза CSP, гипотеза дихотомии) о дихотомии CSP, которая утверждает, что для любого языка ограничений Γ, CSP (Γ) является NP-полным или в P.[48] Эта гипотеза была независимо доказана в 2017 году Дмитрием Жуком и Андреем Булатовым, что привело к следующему следствию:

Следствие (Булатов 2017; Жук 2017): ЧАС-задача раскраски ориентированных графов при фиксированном ЧАС, либо в P, либо в NP-полной.

Гомоморфизмы из фиксированного семейства графов

Проблема гомоморфизма с одним фиксированным графом г слева от входных экземпляров можно решить с помощью грубая сила вовремя |V(ЧАС)|O (|V(г)|), поэтому полиномиальный размер входного графа ЧАС.[56] Другими словами, проблема тривиальна в P для графов г ограниченного размера. Тогда возникает интересный вопрос: какие еще свойства гпомимо размера делают возможными полиномиальные алгоритмы.

Решающее свойство оказывается ширина дерева, мера того, насколько древовидный граф. Для графика г ширины дерева не более k и график ЧАС, проблема гомоморфизма решается за время |V(ЧАС)|O (k) со стандартом динамическое программирование подход. Фактически, достаточно предположить, что ядро г имеет ширину не более k. Это верно, даже если ядро ​​неизвестно.[57][58]

Показатель в |V(ЧАС)|O (k)алгоритм не может быть существенно понижен: нет алгоритма с временем выполнения |V(ЧАС)|о (tw (г) / журнал tw (г)) существует, если предположить гипотеза экспоненциального времени (ETH), даже если входные данные ограничены любым классом графов неограниченной ширины дерева.[59]ETH - это бездоказательное предположение, подобное P ≠ NP При том же предположении, по сути, нет других свойств, которые можно было бы использовать для получения алгоритмов с полиномиальным временем. Это оформляется следующим образом:

Теорема (Grohe ): Для вычислимый класс графов , проблема гомоморфизма для примеров с участием находится в P тогда и только тогда, когда графы в имеют ядра с ограниченной шириной дерева (при условии ETH).[58]

Можно спросить, разрешима ли проблема хотя бы за время, произвольно сильно зависящее от г, но с фиксированной полиномиальной зависимостью от размера ЧАС.Ответ снова будет положительным, если мы ограничим г к классу графов с ядрами ограниченной ширины дерева и отрицательным для всех остальных классов.[58]На языке параметризованная сложность, это формально утверждает, что проблема гомоморфизма в параметризован размером (количеством ребер) г демонстрирует дихотомию. это управляемый с фиксированными параметрами если графики в имеют ядра ограниченной ширины дерева, и W [1] -в противном случае заполнить.

Те же утверждения справедливы в более общем смысле для проблем удовлетворения ограничений (или, другими словами, для реляционных структур). Единственное необходимое предположение состоит в том, что ограничения могут включать только ограниченное число переменных (все отношения имеют некоторую ограниченную арность, 2 в случае графов). Тогда релевантным параметром является ширина дерева граф прямых ограничений.[59]

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Ад и Нешетржил 2004, п. 27.
  2. ^ Ад и Нешетржил 2004, п. 109.
  3. ^ а б c d Ад и Нешетржил 2008.
  4. ^ а б Для введения см. (В порядке увеличения длины): Кэмерон (2006); Гена и Тардиф (1997); Ад и Нешетржил (2004).
  5. ^ Geňa & Tardif 1997, Наблюдение 2.3.
  6. ^ Годсил и Ройл 2001, п. 115.
  7. ^ а б Ад и Нешетржил 2004, п. 19.
  8. ^ Ад и Нешетржил 2004, Предложение 1.31.
  9. ^ Кэмерон 2006, Предложение 2.3; Ад и Нешетржил 2004, Следствие 1.32.
  10. ^ Ад и Нешетржил 2004, п. 34.
  11. ^ Кэмерон 2006, п. 4, предложение 2.5.
  12. ^ а б Кэмерон 2006, п. 1; Ад и Нешетржил 2004, Предложение 1.7.
  13. ^ а б Ад и Нешетржил 2004, §1.7.
  14. ^ Ад и Нешетржил 2004, Следствие 1.8.
  15. ^ Ад и Нешетржил 2004, §6.1; Geňa & Tardif 1997, §4.4.
  16. ^ Ад и Нешетржил 2004, §6.2; Geňa & Tardif 1997, §4.5.
  17. ^ Ад и Нешетржил 2004, §6.3.
  18. ^ Ад и Нешетржил 2004, §6.4.
  19. ^ Fiala, J .; Кратохвил, Я. (2002), «Частичные покрытия графов», Обсуждения Математическая теория графов, 22 (1): 89–99, Дои:10.7151 / dmgt.1159, S2CID  17507393
  20. ^ Ад и Нешетржил 2004 С. 13–14.
  21. ^ Ад и Нешетржил 2004, Предложение 1.20.
  22. ^ а б Кэмерон 2006, п. 1.
  23. ^ Ад и Нешетржил 2004, §1.8.
  24. ^ Ад и Нешетржил 2004 С. 30–31.
  25. ^ Ад и Нешетржил 2004 С. 31–32.
  26. ^ Ад и Нешетржил 2004, п. 28, примечание реляционные структуры называются реляционные системы Там.
  27. ^ Ад и Нешетржил 2004, §3.1.
  28. ^ Ад и Нешетржил 2004, Теорема 3.1.
  29. ^ Ад и Нешетржил 2004, Теорема 3.30; Geňa & Tardif 1997, Теорема 2.33.
  30. ^ Welzl, E. (1982), "Цветовые семейства плотны", Теорет. Comput. Sci., 17: 29–41, Дои:10.1016/0304-3975(82)90129-3
  31. ^ Ад и Нешетржил 2004, п. 192; Geňa & Tardif 1997, п. 127.
  32. ^ Ад и Нешетржил 2004, Предложение 3.2, дистрибутивность сформулирована в предложении 2.4; Geňa & Tardif 1997, Теорема 2.37.
  33. ^ Квуида, Леонар; Лехтонен, Эркко (2011), "О порядке гомоморфизма помеченных множеств", порядок, 28 (2): 251–265, arXiv:0911.0200, Дои:10.1007 / s11083-010-9169-х
  34. ^ Серый 2014, Лемма 3.7.
  35. ^ Тардиф, К. (2008), «Гипотеза Хедетниеми, 40 лет спустя» (PDF), Заметки по теории графов Нью-Йорка, 54: 46–57, Г-Н  2445666.
  36. ^ а б c Dwight, D .; Зауэр, Н. (1996), "Решетки, возникающие в категориальных исследованиях гипотезы Хедетниеми", Дискретная математика., 152 (1–3): 125–139, Дои:10.1016 / 0012-365X (94) 00298-W
  37. ^ Ад и Нешетржил 2004, п. 125.
  38. ^ а б c Серый 2014.
  39. ^ Brown et al. 2008 г..
  40. ^ а б Ад и Нешетржил 2004, п. 7.
  41. ^ Geňa & Tardif 1997, Наблюдение 2.6.
  42. ^ Вайсштейн, Эрик В. «График Грёча». MathWorld.
  43. ^ Geňa & Tardif 1997, Предложение 3.14.
  44. ^ Gyárfás, A .; Jensen, T .; Стибиц, М. (2004), "О графах с сильно независимыми цветными классами", J. Теория графов, 46 (1): 1–14, Дои:10.1002 / jgt.10165
  45. ^ Ад и Нешетржил 2004, Предложение 3.4.
  46. ^ Ад и Нешетржил 2004, п. 96.
  47. ^ Ад и Нешетржил 2004, п. 35.
  48. ^ а б Бодирский 2007, §1.3.
  49. ^ Ад и Нешетржил 2004, §5.1.
  50. ^ Ад и Нешетржил 2004, Предложение 5.1.
  51. ^ Ад и Нешетржил 2004, §5.2.
  52. ^ Ад, Павол; Нешетржил, Ярослав (1990), «О сложности H-раскраски», JCTB, 48 (1): 92–110, Дои:10.1016 / 0095-8956 (90) 90132-Дж
  53. ^ Ад и Нешетржил 2004, §5.3.
  54. ^ Ад и Нешетржил 2004, Теорема 5.14.
  55. ^ а б Федер, Томас; Варди, Моше Ю. (1998), «Вычислительная структура монотонного монадического SNP и удовлетворение ограничений: исследование с помощью журнала данных и теории групп», SIAM J. Comput., 28 (1): 57–104, Дои:10.1137 / S0097539794266766
  56. ^ Cygan, M .; Фомин, Ф. В .; Головнев, А .; Куликов, А. С .; Михайлин, И .; Pachocki, J .; Socała, A. (2016). Точные оценки гомоморфизма графов и изоморфизма подграфов. 28-й ежегодный симпозиум ACM-SIAM по дискретным алгоритмам (SODA 2016). СИАМ. С. 1643–1649. arXiv:1507.03738. Bibcode:2015arXiv150703738F. ISBN  978-1-611974-33-1.CS1 maint: использует параметр авторов (ссылка на сайт)
  57. ^ Далмау, Виктор; Колайтис, Phokion G .; Варди, Моше Й. (2002). Удовлетворение ограничений, ограниченная ширина дерева и логика с конечными переменными. 8-я Международная конференция по принципам и практике программирования с ограничениями (CP 2002). С. 310–326. Дои:10.1007/3-540-46135-3_21.
  58. ^ а б c Grohe, Мартин (2007), «Сложность проблем гомоморфизма и удовлетворения ограничений с другой стороны», J. ACM, 54 (1): 1 – es, Дои:10.1145/1206035.1206036
  59. ^ а б Маркс, Даниэль (2010), «Сможете ли вы победить Treewidth?», Теория вычислений, 6: 85–112, Дои:10.4086 / toc.2010.v006a005

использованная литература

Общие книги и экспозиции

В удовлетворении ограничений и универсальной алгебре

В теории решеток и теории категорий