Начальные и конечные объекты - Initial and terminal objects

В теория категорий, филиал математика, исходный объект из категория $C$ это объект $я$ в $C$ так что для каждого объекта $Икс$ в $C$ , существует ровно один морфизм $я \to Икс$ .

В двойной понятие - это понятие конечный объект (также называется оконечный элемент): $Т$ является терминальным, если для каждого объекта $Икс$ в $C$ существует ровно один морфизм $Икс \to Т$ . Исходные объекты также называют котерминальный или универсальный, а терминальные объекты также называются окончательный.

Если объект одновременно начальный и конечный, он называется нулевой объект или нулевой объект. А указанная категория это один с нулевым объектом.

А строгий исходный объект $я$ тот, для которого каждый морфизм в $я$ является изоморфизм.

Примеры

В пустой набор уникальный начальный объект в Набор, то категория наборов. Каждый одноэлементный набор (одиночка ) является конечным объектом в этой категории; нет нулевых объектов. Точно так же пустое пространство является единственным начальным объектом в верхний, то категория топологических пространств и каждое одноточечное пространство является конечным объектом в этой категории.
В категории Rel Для наборов и отношений пустой набор - это уникальный начальный объект, уникальный конечный объект и, следовательно, уникальный нулевой объект.

Морфизмы отмеченных множеств. Изображение также относится к алгебраическим нулевым объектам

В категории заостренные наборы (чьи объекты являются непустыми множествами вместе с выделенным элементом; морфизм из $(А, а)$ к $(B, б)$ быть функцией $ж : А \to B$ с участием $ж (а) = б$ ), каждый синглтон является нулевым объектом. Точно так же в категории точечные топологические пространства, каждый синглтон является нулевым объектом.
В Grp, то категория групп, Любые тривиальная группа - нулевой объект. Тривиальная алгебра также является нулевым объектом в Ab, то категория абелевых групп, Rng то категория псевдоколец, р-Мод, то категория модулей над кольцом, и K-Вект, то категория векторных пространств над полем. Увидеть нулевой объект (алгебра) для подробностей. Отсюда и возник термин «нулевой объект».
В Кольцо, то категория колец с единичными и сохраняющими единицу морфизмами кольцо целые числа Z - исходный объект. В нулевое кольцо состоящий только из одного элемента 0 = 1, является конечным объектом.
В Буровая установка, категория буровые установки с морфизмами, сохраняющими единицу, оснащение натуральные числа N - исходный объект. Нулевая установка, которая является нулевое кольцо, состоящий только из одного элемента 0 = 1, является конечным объектом.
В Поле, то категория полей, нет ни начальных, ни конечных объектов. Однако в подкатегории полей фиксированной характеристики основное поле - исходный объект.
Любые частично заказанный набор $(п, \leq)$ можно интерпретировать как категорию: объекты являются элементами $п$ , и есть единственный морфизм из $Икс$ к $у$ если и только если $Икс \leq у$ . Эта категория имеет начальный объект тогда и только тогда, когда $п$ имеет наименьший элемент; он имеет конечный объект тогда и только тогда, когда $п$ имеет величайший элемент.
Кот, то категория всех малых категорий с участием функторы поскольку морфизмы имеют пустую категорию, 0 (без объектов и без морфизмов), как начальный объект и конечная категория, 1 (с одним объектом с одним морфизмом идентичности), как конечный объект.
В категории схемы, Spec (Z), простой спектр кольца целых чисел, является конечным объектом. Пустая схема (равная простому спектру нулевое кольцо ) - исходный объект.
А предел из диаграмма F можно охарактеризовать как конечный объект в категория шишек к F. Точно так же копредел F можно охарактеризовать как исходный объект в категории со-конусов из F.

Свойства

Существование и уникальность

Начальные и конечные объекты не обязаны существовать в данной категории. Однако если они и существуют, то по сути уникальны. В частности, если $я 1$ и $я 2$ два разных исходных объекта, то есть уникальный изоморфизм между ними. Более того, если $я$ является исходным объектом, то любой объект, изоморфный $я$ также является исходным объектом. То же самое и с конечными объектами.

Для полные категории есть теорема существования исходных объектов. В частности, a (местно маленький ) полная категория $C$ имеет начальный объект тогда и только тогда, когда существует набор $я$ (не а правильный класс ) и $я$ -индексированная семья $(K я)$ объектов $C$ такое, что для любого объекта $Икс$ из $C$ , есть хотя бы один морфизм $K я \to Икс$ для некоторых $я \in я$ .

Эквивалентные составы

Терминальные объекты в категории $C$ также может быть определено как пределы уникального пустого диаграмма $0 \to C$ . Поскольку пустая категория вакуумно дискретная категория, конечный объект можно рассматривать как пустой продукт (произведение действительно является пределом дискретной диаграммы ${Икс я}$ , в общем). По сути, исходный объект - это копредел пустой диаграммы $0 \to C$ и может рассматриваться как пустой сопродукт или категоричная сумма.

Отсюда следует, что любой функтор который сохраняет ограничения, будет переводить терминальные объекты в терминальные объекты, а любой функтор, который сохраняет копределы, будет переводить исходные объекты в исходные объекты. Например, исходный объект в любом конкретная категория с участием бесплатные объекты будет свободным объектом, порожденным пустым набором (поскольку свободный функтор, будучи левый смежный к забывчивый функтор к Набор, сохраняет копределы).

Начальные и конечные объекты также можно охарактеризовать с точки зрения универсальные свойства и присоединенные функторы. Позволять 1 - дискретная категория с одним объектом (обозначается •), и пусть $U : C \to 1$ - единственный (постоянный) функтор к 1. потом

Исходный объект $я$ в $C$ это универсальный морфизм от до $U$ . Функтор, отправляющий • в $я$ слева примыкает к U.
Конечный объект $Т$ в $C$ универсальный морфизм из $U$ к •. Функтор, отправляющий • в $Т$ прямо примыкает к $U$ .

Отношение к другим категориальным конструкциям

Многие естественные конструкции в теории категорий могут быть сформулированы в терминах нахождения начального или конечного объекта в подходящей категории.

А универсальный морфизм от объекта $Икс$ к функтору $U$ можно определить как начальный объект в категория запятой $(Икс ↓ U)$ . Двойственно универсальный морфизм от $U$ к $Икс$ является конечным объектом в $(U ↓ Икс)$ .
Предел диаграммы $F$ является конечным объектом в $Конус (F)$ , то категория шишек к $F$ . Двойным образом, копредел $F$ является исходным объектом в категории конусов из $F$ .
А представление функтора $F$ к Набор является исходным объектом в категория элементов из $F$ .
Понятие последний функтор (соответственно, начальный функтор) является обобщением понятия конечный объект (соответственно начальный объект).

Другие свойства

В моноид эндоморфизма начального или конечного объекта $я$ тривиально: $Конец(я) = Hom (я, я) = {id я}$ .
Если категория $C$ имеет нулевой объект $0$ , то для любой пары объектов $Икс$ и $Y$ в $C$ , уникальный состав $Икс \to 0 \to Y$ это нулевой морфизм от $Икс$ к $Y$ .

использованная литература

Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории. Радость кошек (PDF). Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-60922-6. Zbl 0695.18001.
Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков. Энциклопедия математики и ее приложений. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике. 5 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
Эта статья частично основана на PlanetMath с статья о примерах начальных и конечных объектов.