Остроконечное пространство - Pointed space

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Остроконечное пространство»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Ноябрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, а заостренное пространство это топологическое пространство с отличительной точкой, базовая точка. Выделенная точка - это просто одна конкретная точка, выбранная из пространства и получившая имя, например Икс₀, который остается неизменным при последующем обсуждении и отслеживается во время всех операций.

Карты отмеченных пространств (на основе карт) находятся непрерывные карты сохранение базовых точек, т. е. карты ж между заостренным пространством Икс с базовой точкой Икс₀ и заостренное пространство Y с базовой точкой у₀ является базируемым отображением, если оно непрерывно относительно топологий Икс и Y и если ж(Икс₀) = у₀. Обычно это обозначается

${ displaystyle f двоеточие (X, x_ {0}) to (Y, y_ {0}).}$

Остроконечные пространства важны в алгебраическая топология, особенно в теория гомотопии, где много построек, таких как фундаментальная группа, зависят от выбора базовой точки.

В заостренный набор концепция менее важна; в любом случае это случай остроконечного дискретное пространство.

Остроконечные пространства часто рассматриваются как частный случай относительная топология, где подмножество представляет собой одну точку. Таким образом, большая часть теория гомотопии обычно разрабатывается на заостренных пространствах, а затем перемещается в относительные топологии в алгебраическая топология.

Категория заостренных пространств

В учебный класс всех отмеченных пространств образует категория Вершина_• с базовой точкой, сохраняющей непрерывные карты как морфизмы. Другой способ думать об этой категории - это как категория запятой, ({•} ↓ Вершина) где {•} - любое одноточечное пространство и Вершина это категория топологических пространств. (Это также называется категория coslice обозначается {•} /Вершина.) Объектами в этой категории являются непрерывные карты {•} → Икс. Такие морфизмы можно рассматривать как выбор базовой точки в Икс. Морфизмы в ({•} ↓ Вершина) являются морфизмами в Вершина для которого следующая диаграмма ездит на работу:

Легко видеть, что коммутативность диаграммы эквивалентна условию, что ж сохраняет базовые точки.

Как заостренное пространство, {•} является нулевой объект в Вершина_•, а это всего лишь конечный объект в Вершина.

Существует забывчивый функтор Вершина_• → Вершина который «забывает», какая точка является базовой. Этот функтор имеет левый смежный который присваивает каждому топологическому пространству Икс то несвязный союз из Икс и одноточечное пространство {•}, единственный элемент которого считается базовой точкой.

Операции над указанными пространствами

• А подпространство заостренного пространства Икс это топологическое подпространство А ⊆ Икс который разделяет свою базовую точку с Икс таким образом карта включения сохраняет базовую точку.
• Можно сформировать частное заостренного пространства Икс под любым отношение эквивалентности. Базовая точка частного - это изображение базовой точки в Икс под факторной картой.
• Можно сформировать товар двух точечных пространств (Икс, Икс₀), (Y, у₀) как топологический продукт Икс × Y с (Икс₀, у₀), служащая базовой точкой.
• В сопродукт в категории точечных пространств сумма клина, который можно рассматривать как «одноточечное объединение» пространств.
• В разбить продукт двух заостренных пространств по существу частное прямого произведения и суммы клина. Мы хотели бы сказать, что продукт smash превращает категорию остроконечных пространств в симметричная моноидальная категория с острым 0-сфера как единичный объект, но это неверно для общих пространств: условие ассоциативности может не выполняться. Но это верно для некоторых более ограниченных категорий пространств, таких как компактно генерируемый слабый Хаусдорф ед.
• В уменьшенная подвеска ΣИкс заостренного пространства Икс есть (до гомеоморфизм ) продукт разгрома Икс и заостренный круг S¹.
• Приведенная подвеска - это функтор из категории отмеченных пространств в себя. Этот функтор левый смежный к функтору ${ displaystyle Omega}$ взяв заостренное место ${ displaystyle X}$ к его пространство петли ${ displaystyle Omega X}$.

Рекомендации

• Гамелен, Теодор В .; Грин, Роберт Эверист (1999) [1983]. Введение в топологию (второе изд.). Dover Publications. ISBN  0-486-40680-6.
• Мак-Лейн, Сондерс (Сентябрь 1998 г.). Категории для рабочего математика (второе изд.). Springer. ISBN  0-387-98403-8.

• mathoverflow обсуждение нескольких базовых точек и группоидов