Компактно сформированное пространство - Compactly generated space

В топология, а компактно порожденное пространство (или же k-пространство) это топологическое пространство чья топология последовательный с семьей всех компактные подпространства. В частности, топологическое пространство Икс компактно порождена, если удовлетворяет следующему условию:

А подпространство А является закрыто в Икс если и только если А ∩ K закрыт в K для всех компактных подпространств K ⊆ Икс.

Эквивалентно можно заменить закрыто с открыто в этом определении. Если Икс согласуется с любым крышка компактных подпространств в указанном выше смысле, то оно фактически когерентно со всеми компактными подпространствами.

А компактно порожденное хаусдорфово пространство компактно порожденное пространство, которое также является Хаусдорф. Как и многие условия компактности, компактно порожденные пространства часто считаются хаусдорфовыми или слабо Хаусдорф.

Мотивация

Компактно порожденные пространства первоначально назывались k-пространствами после немецкого слова компакт. Их изучили Hurewicz, и его можно найти в Общей топологии Келли, Топологии Дугунджи, Рациональной теории гомотопий Феликса, Гальперина и Томаса.

Мотивация для их более глубокого изучения возникла в 1960-х годах из-за хорошо известных недостатков обычных категория топологических пространств. Это не может быть декартова закрытая категория, обычный декартово произведение из идентификационные карты не всегда идентификационная карта, а обычный продукт CW-комплексы не обязательно должен быть CW-комплексом.^[1] Напротив, категория симплициальных множеств обладала многими удобными свойствами, в том числе декартовой замкнутостью. История изучения исправления этой ситуации приведена в статье о пЛаборатория на удобные категории пространств.

Первое предложение (1962 г.) исправить эту ситуацию заключалось в том, чтобы ограничиться полная подкатегория компактно порожденных хаусдорфовых пространств, которое на самом деле декартово замкнуто. Эти идеи распространяются на теорема двойственности де Фриза. Определение экспоненциальный объект приведен ниже. Другое предложение (1964 г.) заключалось в рассмотрении обычных хаусдорфовых пространств, но с использованием функций, непрерывных на компактных подмножествах.

Эти идеи можно обобщить на нехаусдорфовый случай.^[2] Это полезно, так как идентификационные пространства хаусдорфовых пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми.^[3]

В наши дни алгебраическая топология, это свойство обычно сочетается с слабый Хаусдорф свойство, так что каждый работает в категории слабых хаусдорфовых компактно порожденных (WHCG) пространств.

Примеры и контрпримеры

Большинство топологических пространств, обычно изучаемых в математике, компактно порождены.

• Каждый хаусдорфовый компакт компактно порожден.
• Каждый Хаусдорф локально компактное пространство компактно порожден.
• Каждый место с первым счетом компактно порожден.
• Топологические многообразия являются локально компактными хаусдорфовыми и, следовательно, компактно порожденными хаусдорфами.
• Метрические пространства счетны до первого и поэтому компактно порождены Хаусдорфом.
• Каждый CW комплекс компактно порожден Хаусдорфом.

Примеры топологических пространств, которые не удается создать компактно, включают следующие.

• Космос ${ displaystyle ( mathbb {R} backslash {1, { frac {1} {2}}, { frac {1} {3}}, ldots }) times ( mathbb {R} / {1,2,3, ldots })}$, где первый фактор использует топология подпространства, второй фактор - это факторное пространство из р где все натуральные числа обозначаются одной точкой, а в продукте используется топология продукта.
• Если ${ Displaystyle { mathcal {F}}}$ не является основным ультрафильтр на бесконечном множестве ${ displaystyle X}$, индуцированная топология обладает тем свойством, что каждый компакт конечен, и ${ displaystyle X}$ не компактно порожден.

Характеристики

Обозначим CGTop полная подкатегория Вершина с объектами компактно порожденные пространства, и CGHaus полная подкатегория CGTop с объектами пространства Хаусдорфа.

Учитывая любое топологическое пространство Икс мы можем определить (возможно) более тонкая топология на Икс что компактно порождено. Позволять {K_α} обозначают семейство компактных подмножеств Икс. Определим новую топологию на Икс объявив подмножество А быть закрытым если и только если А ∩ K_α закрыт в K_α для каждого α. Обозначим это новое пространство Икс_c. Можно показать, что компактные подмножества Икс_c и Икс совпадают, и индуцированные топологии на компактах одинаковы. Следует, что Икс_c компактно порожден. Если Икс был компактно сгенерирован, чтобы начать с того Икс_c = Икс в противном случае топология на Икс_c строго лучше, чем Икс (т.е. открытых множеств больше).

Эта конструкция функториальный. Функтор из Вершина к CGTop это требует Икс к Икс_c является правый смежный к функтор включения CGTop → Вершина.

В непрерывность отображения, заданного на компактно порожденном пространстве Икс можно определить, только рассматривая компактные подмножества Икс. В частности, функция ж : Икс → Y непрерывно если и только если он непрерывен, когда ограничен каждым компактным подмножеством K ⊆ Икс.

Если Икс и Y два компактно порожденных пространства товар Икс × Y не может быть компактно порожденным (будет, если хотя бы один из факторов локально компактен). Поэтому при работе в категориях компактно порожденных пространств необходимо определять продукт как (Икс × Y)_c.

В экспоненциальный объект в CGHaus дан кем-то (Y^Икс)_c куда Y^Икс это пространство непрерывные карты из Икс к Y с компактно-открытая топология.

Эти идеи можно обобщить на нехаусдорфовый случай.^[2] Это полезно, поскольку пространства идентификации хаусдорфовых пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми.

Смотрите также

• Компактная открытая топология
• Счетно генерируемое пространство
• CW комплекс
• Конечно порожденное пространство
• K-пространство (функциональный анализ)
• Слабое хаусдорфово пространство

Рекомендации

• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  0-387-98403-8.
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология. Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN  0-486-43479-6.
• Дж. Питер Мэй, Краткий курс алгебраической топологии, (1999) Чикагские лекции по математике ISBN  0-226-51183-9 (См. Главу 5.)
• Стрикленд, Нил П. (2009). «Категория пространств CGWH» (PDF ).
• Компактно порожденное топологическое пространство в nLab
• Удобная категория топологических пространств в nLab