Глоссарий теории категорий - Glossary of category theory

Это глоссарий свойств и концепций в теория категорий в математика. (смотрите также Outline_of_category_theory.)

• Примечания к фондам: Во многих экспозициях (например, «Вистоли») теоретико-множественные вопросы игнорируются; это означает, например, что нельзя различать малые и большие категории и что можно произвольно сформировать локализацию категории.^[1] Как и эти описания, этот глоссарий также обычно игнорирует теоретико-множественные вопросы, за исключением тех случаев, когда они актуальны (например, обсуждение доступности).

В теории категорий используются понятия алгебраической топологии, особенно для высших категорий. Для этого см. Также глоссарий алгебраической топологии.

Обозначения и соглашения, используемые в статье:

• [п] = {0, 1, 2, …, п}, которая рассматривается как категория (написав ${ displaystyle i to j Leftrightarrow i leq j}$.)
• Кот, то категория (малые) категории, где объекты - категории (малые по отношению к некоторой вселенной), а морфизмы функторы.
• Fct(C, D), категория функторов: категория функторы из категории C в категорию D.
• Набор, категория (малых) множеств.
• sНабор, категория симплициальные множества.
• статус по умолчанию присваивается «слабый» вместо «строгий»; например, "п-категория "означает" слабый п-category, по умолчанию не строгий.
• Автор ∞-категория, мы имеем в виду квазикатегория, самая популярная модель, если не обсуждаются другие модели.
• Номер нуль 0 - натуральное число.

А

абелевский

Категория есть абелевский если у него нулевой объект, у него есть все откаты и выталкивания, и все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны.

доступный

1. Учитывая количественное числительное κ, объект Икс в категории κ-доступный (или κ-компактный, или κ-представительный), если ${ displaystyle operatorname {Hom} (X, -)}$ коммутирует с κ-фильтрованными копределами.

2. Учитывая обычный кардинал κ, категория κ-доступный если он имеет κ-фильтрованные копределы и существует небольшой набор S κ-компактных объектов, который порождает категорию под копределами, то есть каждый объект может быть записан как копредел диаграмм объектов в S.

добавка

Категория есть добавка если он предаддитивен (точнее, имеет некоторую предаддитивную структуру) и допускает все конечные побочные продукты. Хотя «предварительная добавка» является дополнительной структурой, можно показать, что «добавка» является свойство категории; т.е. можно спросить, является ли данная категория аддитивной или нет.^[2]

примыкание

An примыкание (также называемая присоединенной парой) - это пара функторов F: C → D, грамм: D → C такая, что существует "естественная" биекция

${ displaystyle operatorname {Hom} _ {D} (F (X), Y) simeq operatorname {Hom} _ {C} (X, G (Y))}$;

F называется примыкающим к грамм и грамм вправо примыкать к F. Здесь "естественный" означает естественный изоморфизм. ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {D} (F (-), -) simeq operatorname {Hom} _ {C} (-, G (-))}$ бифункторов (контравариантных по первой переменной).

алгебра для монады

Учитывая монаду Т в категории Икс, алгебра для Т или Т-алгебра - это объект в Икс с моноидное действие из Т ("алгебра" вводит в заблуждение и "Т-объект "- это, пожалуй, лучший термин.) Например, для группы грамм что определяет монаду Т в Набор стандартным способом Т-алгебра - это набор с действие из грамм.

амнезиак

Функтор амнезиален, если он обладает свойством: if k является изоморфизмом и F(k) - тождество, то k это личность.

B

сбалансированный

Категория считается сбалансированной, если каждый биморфизм является изоморфизмом.

Теорема Бека

Теорема Бека характеризует категорию алгебры для данной монады.

бикатегория

А бикатегория модель слабого 2 категории.

бифунктор

А бифунктор из пары категорий C и D в категорию E является функтором C × D → E. Например, для любой категории C, ${ displaystyle operatorname {Hom} (-, -)}$ это бифунктор из C^op и C к Набор.

биморфизм

А биморфизм является морфизмом, который одновременно является эпиморфизмом и мономорфизмом.

Локализация Боусфилда

Видеть Локализация Боусфилда.

C

исчисление функторов

В исчисление функторов это метод изучения функторов аналогично тому, как функция изучается через его Серия Тейлор расширение; откуда и термин «исчисление».

декартово закрыто

Категория есть декартово закрыто если у него есть конечный объект и что у любых двух объектов есть произведение и экспонента.

декартов функтор

Учитывая относительные категории ${ displaystyle p: F to C, q: G to C}$ по той же базовой категории C, функтор ${ displaystyle f: F to G}$ над C является декартовым, если он переводит декартовы морфизмы в декартовы морфизмы.

декартовский морфизм

1. Для функтора π: C → D (например, предварительное суммирование над схемами), морфизм ж: Икс → у в C является π-декартов если для каждого объекта z в C, каждый морфизм грамм: z → у в C и каждый морфизм v: π (z) → π (Икс) в D такое, что π (грамм) = π (ж) ∘ v, существует единственный морфизм ты: z → Икс такое, что π (ты) = v и грамм = ж ∘ ты.

2. Для функтора π: C → D (например, предварительное суммирование над кольцами), морфизм ж: Икс → у в C является π-декартово если для каждого объекта z в C, каждый морфизм грамм: Икс → z в C и каждый морфизм v: π (у) → π (z) в D такое, что π (грамм) = v ∘ π (ж) существует единственный морфизм ты: у → z такое, что π (ты) = v и грамм = ты ∘ ж. (Короче, ж является двойственным к π-декартову морфизму.)

Декартов квадрат

Коммутативная диаграмма, изоморфная диаграмме, представленной в виде расслоенного произведения.

категориальная логика

Категориальная логика это подход к математическая логика который использует теорию категорий.

категоризация

Категоризация представляет собой процесс замены множеств и теоретико-множественных понятий категориями и теоретико-категориальными понятиями некоторым нетривиальным способом для улавливания категориальных ароматов. Декатегоризация - это противоположность категоризации.

категория

А категория состоит из следующих данных

1. Класс объектов,
2. Для каждой пары объектов Икс, Y, множество ${ displaystyle operatorname {Hom} (X, Y)}$, элементы которого называются морфизмами из Икс к Y,
3. Для каждой тройки объектов Икс, Y, Z, карта (называемая композицией)

   ${ displaystyle circ: operatorname {Hom} (Y, Z) times operatorname {Hom} (X, Y) to operatorname {Hom} (X, Z), , (g, f) mapsto g circ f}$,

4. Для каждого объекта Икс, морфизм идентичности ${ displaystyle operatorname {id} _ {X} in operatorname {Hom} (X, X)}$

при условии: для любых морфизмов ${ displaystyle f: от X до Y}$, ${ displaystyle g: Y to Z}$ и ${ displaystyle h: Z to W}$,

• ${ Displaystyle (час CIRC G) CIRC F = H CIRC (г CIRC F)}$ и ${ displaystyle operatorname {id} _ {Y} circ f = f circ operatorname {id} _ {X} = f}$.

Например, частично заказанный набор можно рассматривать как категорию: объекты являются элементами набора и для каждой пары объектов Икс, у, существует уникальный морфизм ${ Displaystyle от х до у}$ если и только если ${ displaystyle x leq y}$; ассоциативность композиции означает транзитивность.

категория категорий

В категория (малые) категории, обозначаемый Кот, является категорией, в которой объекты - это все категории, которые малы по отношению к некоторой фиксированной вселенной, а морфизмы - все функторы.

классификация пространства

В классифицирующее пространство категории C геометрическая реализация нерва C.

со-

Часто используется как синоним op-; например, копредел относится к op-limit в том смысле, что это предел в противоположной категории. Но может быть различие; например, оп-расслоение - это не то же самое, что кофибрация.

коенд

Коэффициент функтора ${ displaystyle F: C ^ { text {op}} times C to X}$ является двойником конец из F и обозначается

${ Displaystyle int ^ {с in C} F (c, c)}$.

Например, если р кольцо, M право р-модуль и N левый р-модуль, затем тензорное произведение из M и N является

${ displaystyle M otimes _ {R} N = int ^ {R} M otimes _ { mathbb {Z}} N}$

куда р рассматривается как категория с одним объектом, морфизмы которого являются элементами р.

коэквалайзер

В коэквалайзер пары морфизмов ${ displaystyle f, g: от A до B}$ копредел пары. Это двойник эквалайзера.

теорема согласованности

А теорема согласованности это теорема формы, которая утверждает, что слабая структура эквивалентна строгой структуре.

коимаж

В coimage морфизма ж: Икс → Y является соуравнителем ${ displaystyle X times _ {Y} X rightrightarrows X}$.

цветная операда

Другой срок для мультикатегория, обобщенная категория, в которой морфизм может иметь несколько областей. Понятие «цветная операда» более примитивно, чем понятие операды: фактически, операда может быть определена как цветная операда с одним объектом.

запятая

Данные функторы ${ displaystyle f: C to B, g: D to B}$, то категория запятой ${ displaystyle (f downarrow g)}$ - категория, в которой (1) объекты являются морфизмами ${ Displaystyle е (с) к г (д)}$ и (2) морфизм из ${ Displaystyle альфа: от f (с) до g (d)}$ к ${ Displaystyle бета: е (с ') к г (д')}$ состоит из ${ displaystyle c to c '}$ и ${ displaystyle d to d '}$ такой, что ${ Displaystyle е (с) к е (с ') { overset { beta} { to}} г (д')}$ является ${ displaystyle f (c) { overset { alpha} { to}} g (d) to g (d ').}$ Например, если ж - тождественный функтор и грамм - константный функтор со значением б, то это категория срезов B над объектом б.

комонада

А комонада в категории Икс это комоноид в моноидальной категории эндофункторов Икс.

компактный

Наверное, синоним #accessible.

полный

Категория есть полный если все маленькие ограничения существуют.

сочинение

1. Композиция морфизмов в категории - это часть данных, определяющих категорию.

2. Если ${ displaystyle f: C to D, , g: D to E}$ являются функторами, то композиция ${ displaystyle g circ f}$ или же ${ displaystyle gf}$ это функтор, определяемый: для объекта Икс и морфизм ты в C, ${ Displaystyle (г circ f) (x) = g (f (x)), , (g circ f) (u) = g (f (u))}$.

3. Естественные преобразования складываются поточечно: если ${ Displaystyle varphi: от f до g, , psi: от g до h}$ являются естественными преобразованиями, то ${ displaystyle psi circ varphi}$ является естественным преобразованием, задаваемым ${ Displaystyle ( psi circ varphi) _ {x} = psi _ {x} circ varphi _ {x}}$.

конкретный

А конкретная категория C - категория такая, что существует точный функтор из C к Набор; например., Vec, Grp и Вершина.

конус

А конус это способ выразить универсальная собственность копредела (или двойного предела). Можно показать^[3] что копредел ${ displaystyle varinjlim}$ является левым сопряженным к диагональному функтору ${ displaystyle Delta: C to operatorname {Fct} (I, C)}$, который отправляет объект Икс к постоянному функтору со значением Икс; то есть для любого Икс и любой функтор ${ displaystyle f: I to C}$,

${ displaystyle operatorname {Hom} ( varinjlim f, X) simeq operatorname {Hom} (f, Delta _ {X}),}$

при условии, что рассматриваемый копредел существует. Тогда правая часть - это множество конусов с вершиной Икс.^[4]

связаны

Категория есть связаны если для каждой пары объектов Икс, у, существует конечная последовательность объектов z_я такой, что ${ displaystyle z_ {0} = x, z_ {n} = y}$ и либо ${ displaystyle operatorname {Hom} (z_ {i}, z_ {i + 1})}$ или же ${ displaystyle operatorname {Hom} (z_ {i + 1}, z_ {i})}$ непусто ни для каких я.

консервативный функтор

А консервативный функтор - функтор, отражающий изоморфизмы. Многие забывчивые функторы консервативны, но забывчивый функтор из Вершина к Набор не консервативен.

постоянный

Функтор - это постоянный если он сопоставляет каждый объект в категории с одним и тем же объектом А и каждый морфизм к идентичности на А. Другими словами, функтор ${ displaystyle f: C to D}$ является постоянным, если множится как ${ displaystyle C to {A } { overset {i} { to}} D}$ для какого-то объекта А в D, куда я есть включение дискретной категории { А }.

контравариантный функтор

А контравариантный функтор F из категории C в категорию D является (ковариантным) функтором из C^op к D. Иногда его также называют предпучка особенно когда D является Набор или варианты. Например, для каждого набора S, позволять ${ Displaystyle { mathfrak {P}} (S)}$ быть мощным набором S и для каждой функции ${ displaystyle f: S to T}$, определять

${ Displaystyle { mathfrak {P}} (е): { mathfrak {P}} (T) to { mathfrak {P}} (S)}$

отправив подмножество А из Т к прообразу ${ displaystyle f ^ {- 1} (А)}$. С этим, ${ displaystyle { mathfrak {P}}: mathbf {Set} to mathbf {Set}}$ - контравариантный функтор.

сопродукт

В сопродукт семейства объектов Икс_я в категории C проиндексировано набором я индуктивный предел ${ displaystyle varinjlim}$ функтора ${ displaystyle I to C, , i mapsto X_ {i}}$, куда я рассматривается как отдельная категория. Это дуальный продукт семьи. Например, побочный продукт в Grp это бесплатный продукт.

основной

В основной категории - это максимальный группоид, содержащийся в категории.

D

Суточная свертка

Учитывая группу или моноид M, то Суточная свертка тензорное произведение в ${ displaystyle mathbf {Fct} (M, mathbf {Set})}$.^[5]

теорема плотности

В теорема плотности утверждает, что каждый предпучок (многозначный контравариантный функтор) является копределом представимых предпучков. Лемма Йонеды включает категорию C в категорию предпучков на C. Тогда теорема плотности говорит, что изображение, так сказать, «плотно». Название «плотность» происходит из-за аналогии с Теорема плотности Джекобсона (или другие варианты) в абстрактной алгебре.

диагональный функтор

Данные категории я, C, то диагональный функтор это функтор

${ displaystyle Delta: C to mathbf {Fct} (I, C), , A mapsto Delta _ {A}}$

который отправляет каждый объект А к постоянному функтору со значением А и каждый морфизм ${ displaystyle f: от A до B}$ к естественному преобразованию ${ displaystyle Delta _ {f, i}: Delta _ {A} (i) = A to Delta _ {B} (i) = B}$ то есть ж на каждом я.

диаграмма

Учитывая категорию C, а диаграмма в C является функтором ${ displaystyle f: I to C}$ из небольшой категории я.

дифференциальная категория

А дифференциальная категория - категория, множества Hom которой снабжены структурами дифференциально-градуированные модули. В частности, если в категории есть только один объект, это то же самое, что и модуль дифференциальной оценки.

прямой предел

А прямой предел это копредел из прямая система.

дискретный

Категория есть дискретный если каждый морфизм является морфизмом тождества (некоторого объекта). Например, набор можно рассматривать как дискретную категорию.

распределитель

Еще один термин для «профунктора».

Эквивалентность Дуайера – Кана

А Эквивалентность Дуайера – Кана является обобщением эквивалентности категорий симплициальному контексту.^[6]

E

Категория Эйленберга – Мура

Другое название категории алгебры для данной монады.

пустой

В пустая категория это категория без объекта. Это то же самое, что и пустой набор когда пустой набор рассматривается как дискретная категория.

конец

В конец функтора ${ displaystyle F: C ^ { text {op}} times C to X}$ это предел

${ displaystyle int _ {c in C} F (c, c) = varprojlim (F ^ { #}: C ^ { #} to X)}$

куда ${ Displaystyle C ^ { #}}$ это категория (называемая категория подразделения из C) чьи объекты являются символами ${ displaystyle c ^ { #}, u ^ { #}}$ для всех объектов c и все морфизмы ты в C и чьи морфизмы ${ displaystyle b ^ { #} к u ^ { #}}$ и ${ displaystyle u ^ { #} to c ^ { #}}$ если ${ displaystyle u: b to c}$ и где ${ Displaystyle F ^ { #}}$ индуцируется F так что ${ displaystyle c ^ { #}}$ пошел бы в ${ Displaystyle F (с, с)}$ и ${ displaystyle u ^ { #}, u: b to c}$ пошел бы в ${ displaystyle F (b, c)}$. Например, для функторов ${ displaystyle F, G: от C до X}$,

${ displaystyle int _ {c in C} operatorname {Hom} (F (c), G (c))}$

- множество естественных преобразований из F к грамм. Дополнительные примеры см. этот поток mathoverflow. Дуальный конец - это коенд.

эндофунктор

Функтор одной категории.

обогащенная категория

Для моноидальной категории (C, ⊗, 1), а категория обогащенная над C неформально является категорией, множества Hom которой находятся в C. Точнее, категория D обогатился C это данные, состоящие из

1. Класс объектов,
2. Для каждой пары объектов Икс, Y в D, объект ${ displaystyle operatorname {Map} _ {D} (X, Y)}$ в C, называется объект отображения из Икс к Y,
3. Для каждой тройки объектов Икс, Y, Z в D, морфизм в C,

   ${ displaystyle circ: operatorname {Map} _ {D} (Y, Z) otimes operatorname {Map} _ {D} (X, Y) to operatorname {Map} _ {D} (X, Z)}$,

   назвал композицию,

4. Для каждого объекта Икс в D, морфизм ${ displaystyle 1_ {X}: 1 to operatorname {Map} _ {D} (X, X)}$ в C, называемый единичным морфизмом Икс

при условии, что (примерно) композиции ассоциативны, а единичные морфизмы действуют как мультипликативное тождество. Например, категория, обогащенная над множествами, является обычной категорией.

эпиморфизм

Морфизм ж является эпиморфизм если ${ displaystyle g = h}$ в любое время ${ Displaystyle г CIRC F = H CIRC F}$. Другими словами, ж является двойственным к мономорфизму.

эквалайзер

В эквалайзер пары морфизмов ${ displaystyle f, g: от A до B}$ это предел пары. Это двойник соэквалайзера.

эквивалентность

1. Функтор - это эквивалентность если он верный, полный и по существу сюръективный.

2. Морфизм в ∞-категории. C является эквивалентностью, если она дает изоморфизм в гомотопической категории C.

эквивалент

Категория эквивалентна другой категории, если существует эквивалентность между ними.

по существу сюръективный

Функтор F называется по существу сюръективный (или плотный изоморфизм), если для каждого объекта B существует объект А такой, что F(А) изоморфна B.

оценка

Данные категории C, D и объект А в C, то оценка в А это функтор

${ Displaystyle mathbf {Fct} (C, D) к D, , , F mapsto F (A).}$

Например, Аксиомы Эйленберга – Стинрода приведите пример, когда функтор является эквивалентностью.

F

верный

Функтор - это верный если это инъективно, когда ограничивается каждым домашний набор.

фундаментальная категория

В функтор фундаментальной категории ${ displaystyle tau _ {1}: s mathbf {Set} to mathbf {Cat}}$ является левым сопряженным к нервному функтору N. Для каждой категории C, ${ Displaystyle тау _ {1} NC = C}$.

фундаментальный группоид

В фундаментальный группоид ${ displaystyle Pi _ {1} X}$ комплекса Кан Икс категория, в которой объект является 0-симплексом (вершиной) ${ displaystyle Delta ^ {0} to X}$, морфизм - это гомотопический класс 1-симплекса (пути) ${ displaystyle Delta ^ {1} to X}$ а состав определяется свойством Kan.

слоистая категория

Функтор π: C → D говорят, что выставляет C как категория разложена D если для каждого морфизма грамм: Икс → π (у) в Dсуществует π-декартов морфизм ж: Икс' → у в C такое, что π (ж) = грамм. Если D - категория аффинных схем (скажем, конечного типа над некоторым полем), то π чаще называют предварительное суммирование. Примечание: π часто оказывается забывчивым функтором и фактически Строительство Гротендика означает, что каждая расслоенная категория может считаться такой формой (с точностью до эквивалентностей в подходящем смысле).

волокнистый продукт

Учитывая категорию C и набор я, то волокнистый продукт над объектом S семейства объектов Икс_я в C проиндексировано я продукт семьи в категория срезов ${ displaystyle C _ {/ S}}$ из C над S (при наличии ${ displaystyle X_ {i} to S}$). Волокнистый продукт двух предметов Икс и Y над объектом S обозначается ${ displaystyle X times _ {S} Y}$ и также называется Декартов квадрат.

фильтрованный

1. А отфильтрованная категория (также называемая фильтрующей категорией) - это непустая категория со свойствами (1) заданных объектов я и j, есть объект k и морфизмы я → k и j → k и (2) данные морфизмы ты, v: я → j, есть объект k и морфизм ш: j → k такой, что ш ∘ ты = ш ∘ v. Категория я фильтруется тогда и только тогда, когда для каждой конечной категории J и функтор ж: J → я, набор ${ displaystyle varprojlim operatorname {Hom} (f (j), i)}$ непусто для некоторого объекта я в я.

2. Для кардинального числа π категория называется π-фильтрантной, если для каждой категории J набор морфизмов которого имеет кардинальное число строго меньше π, множество ${ displaystyle varprojlim operatorname {Hom} (f (j), i)}$ непусто для некоторого объекта я в я.

финитарная монада

А финитарная монада или алгебраическая монада - это монада на Набор чей базовый эндофунктор коммутирует с отфильтрованными копределами.

конечный

Категория конечна, если у нее есть только конечное число морфизмов.

забывчивый функтор

В забывчивый функтор грубо говоря, функтор, теряющий часть данных объектов; например, функтор ${ displaystyle mathbf {Grp} to mathbf {Set}}$ который отправляет группу в ее базовое множество, а гомоморфизм группы к себе является забывчивым функтором.

свободный функтор

А свободный функтор является левым сопряженным к забывчивому функтору. Например, для кольца р, функтор, отправляющий набор Икс к свободный р-модуль создано Икс является свободным функтором (отсюда и название).

Категория Фробениуса

А Категория Фробениуса является точная категория который имеет достаточно инъективных и достаточно проективных и такой, что класс инъективных объектов совпадает с классом проективных объектов.

Категория Фукая

Видеть Категория Фукая.

полный

1. Функтор полный если он сюръективен, когда ограничен каждым домашний набор.

2. Категория А это полная подкатегория категории B если функтор включения из А к B полон.

функтор

Данные категории C, D, а функтор F из C к D является сохраняющим структуру отображением из C к D; т.е. состоит из объекта F(Икс) в D для каждого объекта Икс в C и морфизм F(ж) в D для каждого морфизма ж в C удовлетворяющие условиям: (1) ${ Displaystyle F (е circ g) = F (f) circ F (g)}$ в любое время ${ displaystyle f circ g}$ определено и (2) ${ displaystyle F ( operatorname {id} _ {x}) = operatorname {id} _ {F (x)}}$. Например,

${ displaystyle { mathfrak {P}}: mathbf {Set} to mathbf {Set}, , S mapsto { mathfrak {P}} (S)}$,

куда ${ Displaystyle { mathfrak {P}} (S)}$ это набор мощности из S является функтором, если мы определим: для каждой функции ${ displaystyle f: S to T}$, ${ Displaystyle { mathfrak {P}} (е): { mathfrak {P}} (S) to { mathfrak {P}} (T)}$ к ${ Displaystyle { mathfrak {P}} (е) (А) = е (А)}$.

категория функторов

В категория функторов Fct(C, D) или же ${ displaystyle D ^ {C}}$ из категории C в категорию D это категория, в которой все объекты являются функторами из C к D а морфизмы - это все естественные преобразования между функторами.

грамм

Теорема Габриэля – Попеску

В Теорема Габриэля – Попеску говорит, что абелева категория - это частное категории модулей.

генератор

В категории C, семейство объектов ${ displaystyle G_ {i}, я in I}$ это система генераторов из C если функтор ${ Displaystyle X mapsto prod _ {я in I} operatorname {Hom} (G_ {i}, X)}$ консервативен. Его двойник называется системой когенераторов.

Теория Галуа Гротендика

Теоретико-категориальное обобщение Теория Галуа; видеть Теория Галуа Гротендика.

Категория Гротендика

А Категория Гротендика - это некоторая благовоспитанная разновидность абелевой категории.

Строительство Гротендика

Учитывая функтор ${ displaystyle U: C to mathbf {Cat}}$, позволять D_U - категория, в которой объекты являются парами (Икс, ты) состоящий из объекта Икс в C и объект ты в категории U(Икс) и морфизм из (Икс, ты) к (у, v) - пара, состоящая из морфизма ж: Икс → у в C и морфизм U(ж)(ты) → v в U(у). Отрывок из U к D_U затем называется Строительство Гротендика.

Расслоение Гротендика

А слоистая категория.

группоид

1. Категория называется группоид если каждый морфизм в нем является изоморфизмом.

2. ∞-категория называется ∞-группоид если каждый морфизм в нем эквивалентен (или, что то же самое, если он Кан комплекс.)

ЧАС

Холлова алгебра категории

Видеть Алгебра Рингеля – Холла.

сердце

В сердце из т-структура (${ Displaystyle D ^ { geq 0}}$, ${ Displaystyle D ^ { leq 0}}$) на триангулированной категории является пересечением ${ Displaystyle D ^ { geq 0} cap D ^ { leq 0}}$. Это абелева категория.

Теория высших категорий

Теория высших категорий является подполе теории категорий, которая касается изучения п-категории и ∞-категории.

гомологическая размерность

В гомологическая размерность абелевой категории с достаточным количеством инъективных является наименьшее неотрицательное целое число п такая, что каждый объект в категории допускает инъективное разрешение длины не более п. Размерность равна ∞, если такого целого числа не существует. Например, гомологическая размерность Мод_р с главной идеальной областью р самое большее.

гомотопическая категория

Видеть гомотопическая категория. Это тесно связано с локализация категории.

гипотеза гомотопии

В гипотеза гомотопии заявляет ∞-группоид это пространство (менее двусмысленно, п-группоид можно использовать как гомотопию п-тип.)

я

личность

1. В морфизм идентичности ж объекта А это морфизм из А к А такое, что для любых морфизмов грамм с доменом А и час с codomain А, ${ displaystyle g circ f = g}$ и ${ displaystyle f circ h = h}$.

2. Программа функтор идентичности по категории C является функтором от C к C который посылает себе объекты и морфизмы.

3. Учитывая функтор F: C → D, то естественная трансформация личности из F к F является естественным преобразованием, состоящим из тождественных морфизмов F(Икс) в D для объектов Икс в C.

изображение

В образ морфизма ж: Икс → Y эквалайзер ${ displaystyle Y rightrightarrows Y sqcup _ {X} Y}$.

ind-limit

Копредел (или индуктивный предел) в ${ displaystyle mathbf {Fct} (C ^ { text {op}}, mathbf {Set})}$.

индуктивный предел

Другое название для копредел.

∞-категория

An ∞-категория C это симплициальный набор удовлетворяющее следующему условию: для каждого 0 < я < п,

• каждая карта симплициальных множеств ${ displaystyle f: Lambda _ {i} ^ {n} to C}$ распространяется на п-суплекс ${ displaystyle f: Delta ^ {n} to C}$

где Δ^п это стандарт п-простой и ${ Displaystyle Lambda _ {я} ^ {п}}$ получается из Δ^п удалив я-я грань и интерьер (см. Расслоение Кана # Определение ). Например, нерв категории удовлетворяет условию и, следовательно, может рассматриваться как ∞-категория.

исходный

1. Объект А является исходный если есть ровно один морфизм из А к каждому объекту; например., пустой набор в Набор.

2. Объект А в ∞-категории C является начальным, если ${ displaystyle operatorname {Map} _ {C} (A, B)}$ является стягиваемый для каждого объекта B в C.

инъективный

1. Объект А в абелевой категории инъективный если функтор ${ displaystyle operatorname {Hom} (-, A)}$ точно. Это двойник проективного объекта.

2. Термин «инъекционный предел» - это еще одно название для прямой предел.

внутренний Hom

Учитывая моноидальная категория (C, ⊗), внутренний Hom является функтором ${ displaystyle [-, -]: C ^ { text {op}} times C to C}$ такой, что ${ displaystyle [Y, -]}$ право сопряжено с ${ displaystyle - otimes Y}$ для каждого объекта Y в C. Например, категория модулей над коммутативным кольцом р имеет внутреннее Hom, заданное как ${ displaystyle [M, N] = operatorname {Hom} _ {R} (M, N)}$, набор р-линейные карты.

обратный

1. Морфизм ж является обратный к морфизму грамм если ${ displaystyle g circ f}$ определен и равен тождественному морфизму на области области грамм, и ${ displaystyle f circ g}$ определен и равен тождественному морфизму на области определения грамм. Обратное грамм единственна и обозначается грамм⁻¹. ж является левым обратным к грамм если ${ displaystyle f circ g}$ определен и равен тождественному морфизму на области определения грамм, и аналогично для правого обратного.

2. An обратный предел это предел обратная система.

изоморфный

1. Объект изоморфный к другому объекту, если между ними есть изоморфизм.

2. Категория изоморфна другой категории, если между ними существует изоморфизм.

изоморфизм

Морфизм ж является изоморфизм если существует обратный из ж.

K

Кан комплекс

А Кан комплекс это волокнистый объект в категории симплициальных множеств.

Кан расширение

1. Учитывая категорию C, слева Кан расширение функтор вдоль функтора ${ displaystyle f: I to J}$ является левым сопряженным (если существует) к ${ displaystyle f ^ {*} = - circ f: operatorname {Fct} (J, C) to operatorname {Fct} (I, C)}$ и обозначается ${ displaystyle f_ {!}}$. Для любого ${ displaystyle alpha: от I до C}$, функтор ${ displaystyle f _ {!} alpha: J to C}$ называется левым канским расширением α вдоль ж.^[7] Можно показать:

${ Displaystyle (е _ {!} альфа) (J) = varinjlim _ {е (я) к J} альфа (я)}$

где копредел проходит по всем объектам ${ Displaystyle f (я) к j}$ в категории запятая.

2. Правый функтор расширения Кана является правым сопряженным (если существует) к ${ displaystyle f ^ {*}}$.

Лемма Кена Брауна

Лемма Кена Брауна это лемма теории модельных категорий.

Категория Клейсли

Учитывая монаду Т, то Категория Клейсли из Т является полной подкатегорией категории Т-алгебры (называемой категорией Эйленберга – Мура), состоящей из свободных Т-алгебры.

L

слабый

Период, термин "слабый функтор "по сути является синонимом"псевдофунктор ".

длина

Говорят, что объект в абелевой категории имеет конечной длины, если она имеет серия композиций. Максимальное количество собственных подобъектов в любом таком композиционном ряду называется длина из А.^[8]

предел

1. В предел (или же проективный предел ) функтора ${ displaystyle f: I ^ { text {op}} to mathbf {Set}}$ является

${ Displaystyle varprojlim _ {я в I} е (я) = {(х_ {я} | я) в прод _ {я} е (я) | е (ы) (х_ {j}) = x_ {i} { text {для любых}} s: i to j }.}$

2. Предел ${ Displaystyle varprojlim _ {я in I} е (я)}$ функтора ${ displaystyle f: I ^ { text {op}} to C}$ это объект, если он есть, в C что удовлетворяет: для любого объекта Икс в C, ${ displaystyle operatorname {Hom} (X, varprojlim _ {я in I} f (i)) = varprojlim _ {i in I} operatorname {Hom} (X, f (i))}$; т.е. это объект, представляющий функтор ${ displaystyle X mapsto varprojlim _ {i} operatorname {Hom} (X, f (i)).}$

3. В копредел (или же индуктивный предел ) ${ Displaystyle varinjlim _ {я in I} е (я)}$ является двойственным к пределу; т. е. с учетом функтора ${ displaystyle f: I to C}$, удовлетворяет: для любого Икс, ${ Displaystyle OperatorName {Hom} ( varinjlim f (i), X) = varprojlim operatorname {Hom} (f (i), X)}$. Ясно, чтобы дать ${ Displaystyle varinjlim f (я) к X}$ состоит в том, чтобы дать семейство морфизмов ${ Displaystyle е (я) к Х}$ такой, что для любого ${ displaystyle i to j}$, ${ Displaystyle е (я) к Х}$ является ${ Displaystyle е (я) к f (j) к X}$. Возможно, самый простой пример копредела - это коэквалайзер. В качестве другого примера возьмем ж быть функтором тождества на C и предположим ${ Displaystyle L = varinjlim _ {X in C} f (X)}$ существуют; то морфизм тождества на L соответствует совместимому семейству морфизмов ${ displaystyle alpha _ {X}: от X до L}$ такой, что ${ displaystyle alpha _ {L}}$ это личность. Если ${ displaystyle f: X to L}$ есть любой морфизм, то ${ displaystyle f = alpha _ {L} circ f = alpha _ {X}}$; т.е. L последний объект C.

M

Состояние Миттаг-Леффлера

An обратная система ${ Displaystyle cdots к X_ {2} к X_ {1} к X_ {0}}$ считается, что удовлетворяет Состояние Миттаг-Леффлера если для каждого целого числа ${ Displaystyle п geq 0}$, есть целое число ${ Displaystyle м geq п}$ так что для каждого ${ displaystyle l geq m}$, изображения ${ displaystyle X_ {m} to X_ {n}}$ и ${ displaystyle X_ {l} to X_ {n}}$ одинаковые.

монада

А монада в категории Икс это моноидный объект в моноидальной категории эндофункторов Икс с моноидальной структурой, заданной составом. Например, учитывая группу грамм, определите эндофунктор Т на Набор к ${ Displaystyle Т (Х) = G раз X}$. Затем определите умножение μ на Т как естественное преобразование ${ displaystyle mu: T circ T to T}$ данный

${ displaystyle mu _ {X}: G times (G times X) to G times X, , , (g, (h, x)) mapsto (gh, x)}$

а также определить карту идентичности η аналогичным образом. Потом (Т, μ, η) составляет монаду в Набор. Более существенно, соединение между функторами ${ displaystyle F: X rightleftarrows A: G}$ определяет монаду в Икс; а именно, берет ${ Displaystyle T = G circ F}$, карта идентичности η на Т быть единицей присоединения, а также определяет μ с помощью примыкания.

монадический

1. Примыкание называется монадический если он исходит от монады, которую он определяет с помощью Категория Эйленберга – Мура (категория алгебр для монады).

2. Функтор называется монадический если он является составной частью монадического присоединения.

моноидальная категория

А моноидальная категория, также называемая тензорной категорией, является категорией C оснащен (1) бифунктор ${ displaystyle otimes: C times C to C}$, (2) тождественный объект и (3) естественные изоморфизмы, которые делают ассоциативным, а тождественный объект тождеством для при определенных условиях когерентности.

моноидный объект

А моноидный объект в моноидальной категории - это объект вместе с картой умножения и картой идентичности, которые удовлетворяют ожидаемым условиям, таким как ассоциативность. Например, моноидный объект в Набор - обычный моноид (унитальная полугруппа) и моноидный объект в р-mod является ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом р.

мономорфизм

Морфизм ж это мономорфизм (также называемый моническим), если ${ displaystyle g = h}$ в любое время ${ displaystyle f circ g = f circ h}$; например, инъекция в Набор. Другими словами, ж является двойником эпиморфизма.

мультикатегория

А мультикатегория является обобщением категории, в которой морфизм может иметь более одной области. Это то же самое, что и цветная операда.^[9]

N

п-категория

[T] он вопрос сравнения определений слабого п-категория скользкая, сложно сказать, что это даже средства чтобы два таких определения были эквивалентны. [...] Принято считать, что структура, образованная слабыми п-категории и функторы, преобразования, ... между ними должен быть слабый (п + 1) -категория; и если это так, то вопрос в том, является ли ваш слабый (п +1) -категория слабых н-категории эквивалентны моему, но чье определение слабого (п +1) -категорию мы здесь используем ...?

Том Ленстер, Обзор определений п-категория

1. А строгий п-категория определяется индуктивно: строгая 0-категория - это множество, а строгая п-категория - категория, множества Hom которой строгие (п-1) -категории. Точнее, строгий п-категория - категория, обогащенная над строгими (п-1) -категории. Например, строгая 1-категория - это обычная категория.

2. Понятие слабый п-категория получается из строгого путем ослабления таких условий, как ассоциативность композиции, чтобы они выполнялись только с точностью до когерентные изоморфизмы в слабом смысле.

3. Можно определить ∞-категорию как своего рода колиму п-категории. Наоборот, если есть понятие (слабой) ∞-категории (скажем, квазикатегория ) вначале, затем слабый п-категорию можно определить как тип усеченной ∞-категории.

естественный

1. Естественное преобразование - это, грубо говоря, отображение функторов. А именно, по паре функторов F, грамм из категории C в категорию D, а естественная трансформация φ из F к грамм это набор морфизмов в D

${ displaystyle { phi _ {x}: от F (x) до G (x) mid x in operatorname {Ob} (C) }}$

удовлетворяющее условию: для каждого морфизма ж: Икс → у в C, ${ Displaystyle phi _ {y} circ F (f) = G (f) circ phi _ {x}}$. Например, написание ${ displaystyle GL_ {n} (R)}$ для группы обратимых п-к-п матрицы с коэффициентами в коммутативном кольце р, мы можем просмотреть ${ displaystyle GL_ {n}}$ как функтор из категории CRing коммутативных колец в категорию Grp групп. По аналогии, ${ Displaystyle R mapsto R ^ {*}}$ является функтором от CRing к Grp. Тогда детерминант det - естественное преобразование из ${ displaystyle GL_ {n}}$ к -^*.

2. А естественный изоморфизм является естественным преобразованием, являющимся изоморфизмом (т. е. допускающим обратное).

Композиция кодируется как 2-симплекс.

нерв

В нервный функтор N является функтором из Кот к sНабор данный ${ displaystyle N (C) _ {n} = operatorname {Hom} _ { mathbf {Cat}} ([n], C)}$. Например, если ${ displaystyle varphi}$ является функтором в ${ displaystyle N (C) _ {2}}$ (называемый 2-симплексом), пусть ${ Displaystyle х_ {я} = varphi (я), , 0 leq я leq 2}$. потом ${ displaystyle varphi (от 0 до 1)}$ это морфизм ${ displaystyle f: x_ {0} to x_ {1}}$ в C а также ${ Displaystyle varphi (от 1 до 2) = g: x_ {1} to x_ {2}}$ для некоторых грамм в C. С ${ displaystyle 0 to 2}$ является ${ displaystyle 0 to 1}$ с последующим ${ displaystyle 1 to 2}$ и с тех пор ${ displaystyle varphi}$ это функтор, ${ Displaystyle varphi (от 0 до 2) = г circ f}$. Другими словами, ${ displaystyle varphi}$ кодирует ж, грамм и их составы.

нормальный

Мономорфизм нормален, если он является ядром некоторого морфизма, и эпиморфизм конормален, если он является коядром некоторого морфизма. Категория есть нормальный если каждый мономорфизм нормален.

О

объект

1. Объект является частью данных, определяющих категорию.

2. Объект [прилагательное] в категории C является контравариантным функтором (или предпучком) из некоторой фиксированной категории, соответствующей «прилагательному» к C. Например, симплициальный объект в C является контравариантным функтором из симплициальной категории в C и Γ-объект - точечный контравариантный функтор из Γ (примерно указанная категория отмеченных конечных множеств) на C при условии C указывается.

опровержение

Функтор π:C → D является опровержение если для каждого объекта Икс в C и каждый морфизм грамм : π (Икс) → у в Dсуществует хотя бы один π-кокартов морфизм ж: Икс → y ' в C такое, что π (ж) = грамм. Другими словами, π является двойственным к Расслоение Гротендика.

противоположный

В противоположная категория категории получается обращением стрелок. Например, если частично упорядоченный набор рассматривается как категория, принимая его суммы, противоположные изменению порядка.

п

идеально

Иногда синоним слова «компактный». Видеть идеальный комплекс.

заостренный

Категория (или ∞-категория) называется точечной, если в ней есть нулевой объект.

многочлен

Функтор из категории конечномерных векторных пространств в себя называется полиномиальный функтор если для каждой пары векторных пространств V, W, F: Hom (V, W) → Hom (F(V), F(W)) является полиномиальным отображением векторных пространств. А Функтор Шура это простой пример.

предаддитив

Категория есть предаддитив если это обогащенный над моноидальная категория из абелевы группы. В более общем плане это р-линейный если он обогащен по моноидальной категории р-модули, за р а коммутативное кольцо.

презентабельный

Учитывая обычный кардинал κ, категория κ-презентабельный если он допускает все малые копределы и κ-доступный. Категория презентабельна, если она κ-представима для некоторого регулярного кардинала κ (следовательно, представима для любого большего кардинала). Примечание: Некоторые авторы называют презентабельную категорию местная презентабельная категория.

предпучка

Другой термин для контравариантного функтора: функтор из категории C^op к Набор это предпучок наборов на C и функтор из C^op к sНабор является предпучком симплициальных множеств или симплициальный предпучок и т. д. A топология на C, если есть, сообщает, какой предпучок является пучком (относительно этой топологии).

товар

1. В товар семейства объектов Икс_я в категории C проиндексировано набором я это проективный предел ${ displaystyle varprojlim}$ функтора ${ displaystyle I to C, , i mapsto X_ {i}}$, куда я рассматривается как отдельная категория. Обозначается он ${ Displaystyle prod _ {я} X_ {я}}$ и является двойным продуктом семьи.

2. Программа продукт семейства категорий C_яиндексируется набором я категория, обозначаемая ${ displaystyle prod _ {i} C_ {i}}$ чей класс объектов является продуктом классов объектов C_яи чьи hom-множества являются ${ displaystyle prod _ {i} operatorname {Hom} _ { operatorname {C_ {i}}} (X_ {i}, Y_ {i})}$; морфизмы составлены покомпонентно. Это двойник непересекающегося союза.

профунктор

Данные категории C и D, а профунктор (или дистрибьютор) из C к D является функтором вида ${ displaystyle D ^ { text {op}} times C to mathbf {Set}}$.

проективный

1. Объект А в абелевой категории проективный если функтор ${ displaystyle operatorname {Hom} (A, -)}$ точно. Это двойственность инъективного объекта.

2. Термин «проективный предел» - это еще одно название для обратный предел.

PROP

А PROP - симметричная строго моноидальная категория, объектами которой являются натуральные числа и тензорное произведение добавление натуральных чисел.

псевдоалгебра

А псевдоалгебра является 2-категориальной версией алгебры для монады (с заменой монады на 2-монаду).

Q

Quillen

Теорема Квиллена A обеспечивает критерий слабой эквивалентности функтора.

р

отражать

1. Говорят, что функтор отражает тождества, если он обладает свойством: если F(k) является тождеством, то k это тоже личность.

2. Говорят, что функтор отражает изоморфизмы, если он обладает свойством: F(k) является изоморфизмом, то k также является изоморфизмом.

представимый

Многозначный контравариантный функтор F по категории C как говорят представимый если он принадлежит к основному образу Йонеда вложение ${ displaystyle C to mathbf {Fct} (C ^ { text {op}}, mathbf {Set})}$; т.е. ${ displaystyle F simeq operatorname {Hom} _ {C} (-, Z)}$ для какого-то объекта Z. Предмет Z называется представляющим объектом F.

втягивание

ж это опровержение грамм. грамм это раздел ж.

Морфизм - это втягивание если у него есть правая инверсия.

S

раздел

Морфизм - это раздел если он имеет левую инверсию. Например, аксиома выбора говорит, что любая сюръективная функция допускает секцию.

Пространство Segal

Пространства Сигала были некоторые симплициальные пространства, введенные как модели для (∞, 1) -категории.

полупростой

Абелева категория - это полупростой если каждая короткая точная последовательность разбивается. Например, кольцо полупростой тогда и только тогда, когда категория модулей над ним полупроста.

Функтор Серра

Учитывая k-линейная категория C над полем k, а Функтор Серра ${ displaystyle f: C to C}$ является автоэквивалентностью такая, что ${ displaystyle operatorname {Hom} (A, B) simeq operatorname {Hom} (B, f (A)) ^ {*}}$ для любых объектов А, B.

простой объект

Простой объект в абелевой категории - это объект А который не изоморфен нулевому объекту и каждый подобъект изоморфна нулю или А. Например, простой модуль в точности простой объект из категории (скажем, левых) модулей.

категория симплекс

В категория симплекс Δ - категория, в которой объект является множеством [п] = { 0, 1, …, п }, n ≥ 0, полностью упорядочены стандартным образом, а морфизм - это функция, сохраняющая порядок.

симплициальная категория

Категория, обогащенная симплициальными множествами.

Симплициальная локализация

Симплициальная локализация это метод локализации категории.

симплициальный объект

А симплициальный объект в категории C это примерно последовательность объектов ${ Displaystyle X_ {0}, X_ {1}, X_ {2}, точки}$ в C что образует симплициальное множество. Другими словами, это ковариантный или контравариантный функтор Δ → C. Например, симплициальный предпучок является симплициальным объектом в категории предпучков.

симплициальный набор

А симплициальный набор - контравариантный функтор из Δ в Набор, где Δ - категория симплекс, категория, объектами которой являются множества [п] = { 0, 1, …, п } и морфизмы которых являются функциями, сохраняющими порядок. Один пишет ${ displaystyle X_ {n} = X ([n])}$ и элемент множества ${ displaystyle X_ {n}}$ называется п-симплекс. Например, ${ displaystyle Delta ^ {n} = operatorname {Hom} _ { Delta} (-, [n])}$ - симплициальное множество, называемое стандартным п-симплекс. По лемме Йонеды ${ displaystyle X_ {n} simeq operatorname {Nat} ( Delta ^ {n}, X)}$.

сайт

Категория, оснащенная Топология Гротендика.

скелетный

1. Категория - это скелетный если изоморфные объекты обязательно идентичны.

2. А (не единственный) скелет категории - это полная скелетная подкатегория.

ломтик

Учитывая категорию C и объект А в нем категория срезов C_/А из C над А - категория, объектами которой являются все морфизмы в C с codomain А, морфизмы которого являются морфизмами в C так что если ж это морфизм из ${ displaystyle p_ {X}: от X до A}$ к ${ displaystyle p_ {Y}: от Y до A}$, тогда ${ displaystyle p_ {Y} circ f = p_ {X}}$ в C и чей состав состоит из C.

маленький

1. А малая категория - категория, в которой класс всех морфизмов набор (т.е. не правильный класс ); иначе большой. Категория есть местно маленький если морфизмы между каждой парой объектов А и B сформировать набор. Некоторые авторы предполагают основу, в которой совокупность всех классов образует «конгломерат», и в этом случае квазикатегория категория, объекты и морфизмы которой просто образуют конгломерат.^[10] (NB: некоторые авторы используют термин «квазикатегория» в другом значении.^[11])

2. Объект в категории называется маленький если она κ-компактна для некоторого регулярного кардинала κ. Это понятие заметно фигурирует в книге Куилена. аргумент малого объекта (ср. https://ncatlab.org/nlab/show/small+object+argument )

разновидность

А (комбинаторные) виды является эндофунктором на группоиде конечных множеств с биекциями. Это категорически эквивалентно симметричная последовательность.

стабильный

∞-категория - это стабильный если (1) он имеет нулевой объект, (2) каждый морфизм в нем допускает слой и кофибер и (3) треугольник в нем является последовательностью слоев тогда и только тогда, когда он является последовательностью кофибер.

строгий

Морфизм ж в категории, допускающей конечные пределы и конечные копределы, является строгий если естественный морфизм ${ displaystyle operatorname {Coim} (f) to operatorname {Im} (f)}$ является изоморфизмом.

строгий п-категория

Строгая 0-категория - это набор и для любого целого числа п > 0, а строгий п-категория - категория, обогащенная над строгими (п-1) -категории. Например, строгая 1-категория - это обычная категория. Примечание: период, термин "п-категория "обычно относится к"слабый п-категория "; не строгий.

субканонический

Топология категории - это субканонический если каждый представимый контравариантный функтор на C является пучком относительно этой топологии.^[12] Вообще говоря, некоторые плоская топология может не быть субканоническим; но плоские топологии, появляющиеся на практике, имеют тенденцию быть субканоническими.

подкатегория

Категория А это подкатегория категории B если существует функтор включения из А к B.

подобъект

Учитывая объект А в категории, подобъект из А является классом эквивалентности мономорфизмов к А; два мономорфизма ж, грамм считаются эквивалентными, если ж факторы через грамм и грамм факторы через ж.

подчастный

А подчастный является частным от подобъекта.

субтерминальный объект

А субтерминальный объект это объект Икс такой, что каждый объект имеет не более одного морфизма в Икс.

симметричная моноидальная категория

А симметричная моноидальная категория это моноидальная категория (т. е. категория с ⊗), имеющая максимально симметричное плетение.

симметричная последовательность

А симметричная последовательность представляет собой последовательность объектов с действиями симметричные группы. Это категорически эквивалентно (комбинаторные) виды.

Т

т-структура

А т-структура является дополнительной структурой на триангулированная категория (в более общем смысле стабильная ∞-категория ), который аксиоматизирует понятия комплексов, когомологии которых сосредоточены в неотрицательных или неположительных степенях.

Таннакианская двойственность

В Таннакианская двойственность заявляет, что при соответствующей настройке для придания морфизма ${ displaystyle f: от X до Y}$ должен дать функтор отката ${ displaystyle f ^ {*}}$ вдоль него. Другими словами, множество Hom ${ displaystyle operatorname {Hom} (X, Y)}$ можно отождествить с категорией функторов ${ Displaystyle OperatorName {Fct} (D (Y), D (X))}$, возможно, в производный смысл, куда ${ Displaystyle D (X)}$ категория, связанная с Икс (например, производная категория).^[13][14]

тензорная категория

Обычно синоним моноидальная категория (хотя некоторые авторы различают эти две концепции.)

тензорно триангулированная категория

А тензорно триангулированная категория - категория, которая согласованно несет структуру симметричной моноидальной категории и триангулированной категории.

тензорное произведение

Учитывая моноидальную категорию B, то тензорное произведение функторов ${ displaystyle F: C ^ { text {op}} to B}$ и ${ displaystyle G: C to B}$ это коэффициент:

${ Displaystyle F otimes _ {C} G = int ^ {c in C} F (c) otimes G (c).}$

2. Объект А в ∞-категории C является терминальным, если ${ displaystyle operatorname {Map} _ {C} (B, A)}$ является стягиваемый для каждого объекта B в C.

U

универсальный

1. Дан функтор ${ displaystyle f: C to D}$ и объект Икс в D, а универсальный морфизм из Икс к ж является исходным объектом в категория запятой ${ displaystyle (X downarrow f)}$. (Его двойственный также называется универсальным морфизмом.) Например, возьмем ж быть забывчивым функтором ${ displaystyle mathbf {Vec} _ {k} to mathbf {Set}}$ и Икс множество. Исходный объект ${ displaystyle (X downarrow f)}$ это функция ${ displaystyle j: X to f (V_ {X})}$. Это начальное означает, что если ${ displaystyle k: X к f (W)}$ - другой морфизм, то существует единственный морфизм из j к k, состоящий из линейного отображения ${ displaystyle V_ {X} to W}$ что расширяет k через j; то есть, ${ displaystyle V_ {X}}$ это свободное векторное пространство создано Икс.

2. Изложено более подробно, учитывая ж как указано выше, морфизм ${ displaystyle X to f (u_ {X})}$ в D универсален тогда и только тогда, когда естественное отображение

${ displaystyle operatorname {Hom} _ {C} (u_ {X}, c) to operatorname {Hom} _ {D} (X, f (c)), , alpha mapsto (X to f (u_ {x}) { overset {f ( alpha)} { to}} f (c))}$

биективен. В частности, если ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {C} (u_ {X}, -) simeq operatorname {Hom} _ {D} (X, f (-))}$, затем принимая c быть ты_Икс можно получить универсальный морфизм, посылая морфизм идентичности. Другими словами, наличие универсального морфизма эквивалентно представимости функтора ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {D} (X, f (-))}$.

W

Категория Вальдхаузена

А Категория Вальдхаузена грубо говоря, категория с семействами кофибраций и слабых эквивалентностей.

хорошо развитый

Категория считается сильной, если для каждого объекта существует только набор попарно неизоморфных подобъекты.

Y

Йонеда

1.  

Лемма Йонеды утверждает ... в более выразительных терминах, математический объект X лучше всего рассматривать в контексте окружающей его категории, и он определяется сетью отношений, которыми он пользуется со всеми объектами этой категории. Более того, для понимания X было бы уместнее иметь дело непосредственно с представляющим его функтором. Это напоминает «языковую игру» Витгенштейна; то есть, что значение слова, по сути, определяется его отношением ко всем высказываниям в языке и фактически является не чем иным, как его отношением ко всем высказываниям в языке.

Барри Мазур, Думая о Гротендике

В Лемма Йонеды говорит: для каждого многозначного контравариантного функтора F на C и объект Икс в C, существует естественная биекция

${ Displaystyle F (X) simeq operatorname {Nat} ( operatorname {Hom} _ {C} (-, X), F)}$

где Nat означает множество естественных преобразований. В частности, функтор

${ displaystyle y: C to mathbf {Fct} (C ^ { text {op}}, mathbf {Set}), , X mapsto operatorname {Hom} _ {C} (-, X) }$

полностью верен и называется вложением Йонеды.^[15]

2. Если ${ displaystyle F: C to D}$ является функтором и у является вложением Йонеды C, то Йонеда расширение из F является левым канским продолжением F вдоль у.

Z

нуль

А нулевой объект - это объект, который одновременно является начальным и конечным, например тривиальная группа в Grp.

Примечания

Рекомендации

• Артин, Майкл (1972). Александр Гротендик; Жан-Луи Вердье (ред.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1. Конспект лекций по математике (на французском языке). 269. Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. XIX + 525. Дои:10.1007 / BFb0081551. ISBN  978-3-540-05896-0.
• Кашивара, Масаки; Шапира, Пьер (2006). Категории и связки.
• А. Джоял, Теория квазикатегорий II (Том I отсутствует ??)
• Лурье, Дж., Высшая алгебра
• Лурье, Дж., Теория высших топосов
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике. 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков. Энциклопедия математики и ее приложений. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-83414-7. Zbl  1034.18001.
• Вистоли, Анджело (2004-12-28). «Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска». arXiv:математика / 0412512.

дальнейшее чтение

• Грот, М., Краткий курс по ∞-категориям
• Заметки Цисинского
• История теории топоса
• http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/
• Ленстер, Том (2014). Основная теория категорий. Кембриджские исследования в области высшей математики. 143. Издательство Кембриджского университета. arXiv:1612.09375. Bibcode:2016arXiv161209375L.
• Эмили Риль, Неторопливое введение в симплициальные множества
• Категориальная логика конспекты лекций Стив Awodey
• Street, Ross (20 марта 2003 г.). «Категориальные и комбинаторные аспекты теории спуска». arXiv:математика / 0303175. (подробное обсуждение 2-х разряда)