Плоская топология - Flat topology

В математика, то плоская топология это Топология Гротендика используется в алгебраическая геометрия. Он используется для определения теории плоские когомологии; он также играет фундаментальную роль в теории спуск (спуск точно ровный).[1] Период, термин плоский здесь исходит от плоские модули.

Существует несколько немного разных плоских топологий, наиболее распространенными из которых являются топология fppf и топология fpqc. fppf означает Fidèlement Plate de Présentation Finie, и в этой топологии морфизм аффинных схем является накрывающим, если он строго плоский и имеет конечное представление. fpqc означает пластина фидэлемента и квазикомпакт, и в этой топологии морфизм аффинных схем является накрывающим, если он строго плоский. В обеих категориях под семейством покрытия понимается семейство, которое является покрытием на открытых подмножествах Зарисского.[2] В топологии fpqc любой строго плоский и квазикомпактный морфизм является покрытием.[3] Эти топологии тесно связаны с спуск. «Чистая» точно плоская топология без каких-либо дополнительных условий конечности, таких как квазикомпактность или конечное представление, не используется, поскольку не является субканонической; другими словами, представимые функторы не обязательно должны быть пучками.

К сожалению, терминология плоских топологий не стандартизирована. Некоторые авторы используют термин «топология» для претопологии, и есть несколько немного разных претопологий, иногда называемых топологией fppf или fpqc (pre), которые иногда дают одну и ту же топологию.

Плоские когомологии были введены Гротендиком примерно в 1960 году.[4]

Большой и маленький сайты fppf

Позволять Икс быть аффинная схема. Мы определяем крышка fppf из Икс быть конечным и совместно сюръективным семейством морфизмов

(φа : Икса → Икс)

с каждым Икса аффинно и каждый φа плоский, конечно представленный. Это порождает претопология: за Икс произвольно, определим fppf покрытие Икс быть семьей

(φ 'а : Икса → Икс)

который представляет собой покрытие fppf после перехода базы в открытую аффинную подсхему Икс. Эта претопология генерирует топологию, называемую топология fppf. (Это не то же самое, что топология, которую мы получили бы, если бы начали с произвольной Икс и Икса и взял покрывающие семейства как совместно сюръективные семейства плоских конечно представленных морфизмов.) Мы пишем Fppf для категории схем с топологией fppf.

В небольшой сайт fppf Икс это категория О(Иксfppf), объектами которых являются схемы U с фиксированным морфизмом U → Икс который является частью некоторой покрывающей семьи. (Это не означает, что морфизм плоский, конечно представимый.) Морфизмы - это морфизмы схем, совместимых с фиксированными отображениями в Икс. В большой сайт fppf Икс это категория Fppf / X, т. е. категория схем с фиксированным отображением в Икс, рассмотрено с топологией fppf.

«Fppf» - это аббревиатура от «fidèlement plate de présentation finie», то есть «точно плоский и конечного представления». Каждое сюръективное семейство плоских и конечно представленных морфизмов является накрывающим семейством для этой топологии, отсюда и название. Определение претопологии fppf также может быть дано с дополнительным условием квазиконечности; следует из следствия 17.16.2 в EGA IV4 что это дает ту же топологию.

Большой и маленький сайты fpqc

Позволять Икс быть аффинной схемой. Мы определяем крышка fpqc из Икс быть конечным и совместно сюръективным семейством морфизмов {тыα : Иксα → Икс} с каждым Иксα аффинно и каждый тыα плоский. Это порождает претопологию: Икс произвольно, определим fpqc покрытие Икс быть семьей {тыα : Иксα → Икс} который представляет собой покрытие fpqc после замены базы на открытую аффинную подсхему Икс. Эта претопология генерирует топологию, называемую топология fpqc. (Это не то же самое, что топология, которую мы получили бы, если бы начали с произвольной Икс и Иксα и рассматривал покрывающие семейства как совместно сюръективные семейства плоских морфизмов.) Запишем Fpqc для категории схем с топологией fpqc.

В небольшой сайт fpqc Икс это категория О(Иксfpqc), объектами которых являются схемы U с фиксированным морфизмом U → Икс который является частью некоторой покрывающей семьи. Морфизмы - это морфизмы схем, совместимые с фиксированными отображениями в Икс. В большой сайт fpqc Икс это категория Fpqc / X, т. е. категория схем с фиксированным отображением в Икс, рассмотрено с топологией fpqc.

«Fpqc» - это аббревиатура от «fidèlement plate quasi-compacte», то есть «абсолютно плоская и квазикомпактная». Каждое сюръективное семейство плоских и квазикомпактных морфизмов является накрывающим для этой топологии, отсюда и название.

Плоские когомологии

Процедура определения групп когомологий является стандартной: когомологии определяются как последовательность производные функторы функтора, принимающего разделы из пучок абелевых групп.

Хотя такие группы имеют ряд приложений, их, как правило, нелегко вычислить, за исключением случаев, когда они сводятся к другим теориям, таким как этальные когомологии.

пример

Следующий пример показывает, почему «строго плоская топология» без каких-либо условий конечности ведет себя плохо. Предположим Икс является аффинной прямой над алгебраически замкнутым полем k. Для каждой закрытой точки Икс из Икс мы можем рассматривать локальное кольцо рИкс в этой точке, которое представляет собой кольцо дискретного нормирования, спектр которого имеет одну замкнутую точку и одну открытую (общую) точку. Мы склеиваем эти спектры, определяя их открытые точки, чтобы получить схему Y. Есть естественная карта от Y к Икс. Аффинная линия Икс покрывается множествами Spec (рИкс), которые открыты в строго плоской топологии, и каждое из этих множеств имеет естественное отображение на Y, и эти карты совпадают на перекрестках. Однако их нельзя объединить, чтобы получить карту из Икс к Y, потому что основные пространства Икс и Y имеют разные топологии.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Статья Springer EoM
  2. ^ SGA III1, IV 6.3.
  3. ^ SGA III1, IV 6.3, предложение 6.3.1 (v).
  4. ^ *Гротендик, Александр; Рейно, Мишель (2003) [1971], Обновления étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Париж) [Математические документы (Париж)], 3, Париж: Société Mathématique de France, п. XI.4.8, arXiv:математика / 0206203, Bibcode:2002математика ...... 6203G, ISBN  978-2-85629-141-2, Г-Н  2017446

Рекомендации

внешняя ссылка