Когомологии Галуа - Galois cohomology

В математика, Когомологии Галуа это исследование групповые когомологии из Модули Галуа, то есть применение гомологическая алгебра к модули за Группы Галуа. Группа Галуа грамм связано с расширение поля L/K действует естественным образом на некоторых абелевы группы, например, построенные непосредственно из L, но и через другие Представления Галуа это может быть получено более абстрактными способами. Когомологии Галуа объясняют, каким образом взятие инвариантных элементов Галуа не может быть точный функтор.

История

Современная теория когомологий Галуа возникла примерно в 1950 г., когда стало ясно, что когомологии Галуа идеальные группы классов в алгебраическая теория чисел был одним из способов сформулировать теория поля классов, в то время он был в процессе избавления от связей с L-функции. Когомологии Галуа не предполагают, что группы Галуа являются абелевыми группами, так что это была неабелева теория. Она была сформулирована абстрактно как теория формирования классов. Две разработки 1960-х изменили положение. Во-первых, когомологии Галуа возникли как фундаментальный слой этальные когомологии теория (грубо говоря, теория применительно к нульмерным схемам). Во-вторых, неабелева теория поля классов был запущен в рамках Философия Ленглендса.

Самые ранние результаты, идентифицируемые как когомологии Галуа, были известны задолго до этого в алгебраической теории чисел и теории чисел. арифметика эллиптических кривых. В теорема о нормальном базисе следует, что первая группа когомологий аддитивная группа из L исчезнет; это результат общих расширений поля, но в некоторой форме был известен Ричард Дедекинд. Соответствующий результат для мультипликативная группа известен как Теорема Гильберта 90, и был известен до 1900 года. Теория Куммера была еще одной такой ранней частью теории, дающей описание связующего гомоморфизма, происходящего от м-й карта власти.

Фактически какое-то время мультипликативный случай 1-коцикл для групп, которые не обязательно циклические, была сформулирована как растворимость Уравнения Нётер, названный в честь Эмми Нётер; они появляются под этим именем в Эмиль Артин трактовка теории Галуа и, возможно, была фольклором 1920-х годов. Случай 2-коциклов для мультипликативной группы - это случай 2-коциклов для мультипликативной группы. Группа Брауэра, и последствия, кажется, были хорошо известны алгебраистам 1930-х годов.

В другом направлении, торсоры, они уже подразумевались в бесконечный спуск аргументы Ферма за эллиптические кривые. Были проведены многочисленные прямые вычисления, и доказательство Теорема Морделла – Вейля. пришлось прибегнуть к некоторому суррогату доказательства конечности для конкретного ЧАС¹ группа. «Искривленная» природа объектов над полями, которые не алгебраически замкнутый, которые не изоморфный но стать таким за алгебраическое замыкание, также был известен во многих случаях связанным с другими алгебраические группы (Такие как квадратичные формы, простые алгебры, Разновидности Севери – Брауэра ) в 1930-х годах, до появления общей теории.

Потребности теории чисел выражались, в частности, в требовании иметь контроль над локально-глобальный принцип для когомологий Галуа. Это было сформулировано с помощью результатов теории полей классов, таких как Теорема Хассе о норме. В случае эллиптических кривых это привело к ключевому определению Группа Тейт-Шафаревич в Группа Сельмера, что является препятствием на пути к успеху локально-глобального принципа. Несмотря на его большое значение, например, в Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера, оказалось очень трудно контролировать его, пока результаты Карл Рубин дало возможность показать, что в некоторых случаях он был конечным (результат обычно считался, поскольку его предполагаемый порядок был предсказан формулой L-функции).

Другое важное развитие теории, также связанное с Джон Тейт был Двойственность Тейта – Пуату результат.

Технически говоря, грамм может быть проконечная группа, и в этом случае определения необходимо скорректировать, чтобы разрешить только непрерывные коцепи.

Когомологии Галуа - Galois cohomology

История

Рекомендации