Точный функтор - Exact functor

В математика, особенно гомологическая алгебра, точный функтор это функтор что сохраняет короткие точные последовательности. Точные функторы удобны для алгебраических вычислений, поскольку их можно напрямую применять к представлениям объектов. Большая часть работы по гомологической алгебре предназначена для работы с функторами, которые провал если быть точным, но способами, которыми все еще можно управлять.

Определения

Позволять п и Q быть абелевы категории, и разреши F: п→Q быть ковариантный аддитивный функтор (так что, в частности, F (0) = 0). Мы говорим что F является точный функтор если, когда

{ displaystyle 0 to A { stackrel {f} { to}} B { stackrel {g} { to}} C to 0}

это короткая точная последовательность в п, тогда

{ Displaystyle 0 к F (A) { stackrel {F (f)} { to}} F (B) { stackrel {F (g)} { to}} F (C) to 0}

это короткая точная последовательность в Q. (Карты часто опускаются и подразумеваются, и один говорит: «если 0→А→B→C→0 точно, тогда 0→F (А)→F (B)→F (C)→0 тоже точно ".)

Далее мы говорим, что F является

точно слева если, когда 0→А→B→C→0 точно, тогда 0→F (А)→F (B)→F (C) точно;
точно вправо если, когда 0→А→B→C→0 точно, тогда F (А)→F (B)→F (C)→0 точно;
наполовину точный если, когда 0→А→B→C→0 точно, тогда F (А)→F (B)→F (C) точно. Это отличается от понятия топологический полуточный функтор.

Если грамм это контравариантный аддитивный функтор из п к Q, аналогично определяем грамм быть

точный если, когда 0→А→B→C→0 точно, тогда 0→G (C)→G (B)→G (А)→0 точно;
точно слева если, когда 0→А→B→C→0 точно, тогда 0→G (C)→G (B)→G (А) точно;
точно вправо если, когда 0→А→B→C→0 точно, тогда G (C)→G (B)→G (А)→0 точно;
наполовину точный если, когда 0→А→B→C→0 точно, тогда G (C)→G (B)→G (А) точно.

Не всегда нужно начинать с короткой точной последовательности 0→А→B→C→0 чтобы сохранилась некоторая точность. Следующие определения эквивалентны приведенным выше:

F является точный если и только если А→B→C точное подразумевает F (А)→F (B)→F (C) точный;
F является точно слева если и только если 0→А→B→C точное подразумевает 0→F (А)→F (B)→F (C) точное (т.е. если "F превращает ядра в ядра ");
F является точно вправо если и только если А→B→C→0 точное подразумевает F (А)→F (B)→F (C)→0 точное (т.е. если "F превращает коядра в коядра »);
грамм является точно слева если и только если А→B→C→0 точное подразумевает 0→G (C)→G (B)→G (А) точное (т.е. если "грамм превращает коксовые ядра в ядра ");
грамм является точно вправо если и только если 0→А→B→C точное подразумевает G (C)→G (B)→G (А)→0 точное (т.е. если "грамм превращает ядра в коядра »).

Примеры

Каждый эквивалентность или двойственность абелевых категорий точно.

Самыми основными примерами точных слева функторов являются функторы Hom: если А абелева категория и А является объектом А, тогда F_А(Икс) = Hom_А(А,Икс) определяет ковариантный точный слева функтор из А в категорию Ab из абелевы группы.^[1] Функтор F_А точно тогда и только тогда, когда А является проективный.^[2] Функтор грамм_А(Икс) = Hom_А(Икс,А) - контравариантный точный слева функтор;^[3] это точно тогда и только тогда, когда А является инъективный.^[4]

Если k это поле и V это векторное пространство над k, мы пишем V* = Hom_k(V,k) (это широко известно как двойное пространство ). Это дает контравариантный точный функтор из категории k-векторные пробелы себе. (Точность следует из вышеизложенного: k является инъективным k-модуль. В качестве альтернативы можно утверждать, что каждая короткая точная последовательность k-векторные пространства раскол, и любой аддитивный функтор превращает разбитые последовательности в разбитые последовательности.)

Если Икс это топологическое пространство, мы можем рассматривать абелеву категорию всех снопы абелевых групп на Икс. Ковариантный функтор, который ставит в соответствие каждому пучку F группа глобальных разделов F(Икс) точно слева.

Если р это звенеть и Т это право р-модуль, мы можем определить функтор ЧАС_Т из абелева категория всех оставшихся р-модули к Ab используя тензорное произведение над р: ЧАС_Т(Икс) = Т ⊗ Икс. Это ковариантный точный справа функтор; это точно тогда и только тогда, когда Т является плоский. Другими словами, учитывая точную последовательность А→B→C→0 слева р модулей, последовательность абелевых групп Т ⊗ А→Т ⊗ Б→Т ⊗ С→0 точно.

Например, ${ displaystyle mathbb {Q}}$ это квартира ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -модуль. Следовательно, тензор с ${ displaystyle mathbb {Q}}$ как ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -модуль - точный функтор. Доказательство: Достаточно показать, что если i - инъективное отображение ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ -модули ${ displaystyle i: M to N}$ , то соответствующее отображение тензорных произведений ${ displaystyle M otimes mathbb {Q} to N otimes mathbb {Q}}$ инъективно. Можно показать, что ${ displaystyle m otimes q = 0}$ если и только если ${ displaystyle m}$ это торсионный элемент или ${ displaystyle q = 0}$ . Данные тензорные произведения имеют только чистые тензоры. Поэтому достаточно показать, что если чистый тензор ${ displaystyle m otimes q}$ находится в ядре, то он равен нулю. Предположим, что ${ displaystyle m otimes q}$ - ненулевой элемент ядра. Потом, ${ Displaystyle я (м)}$ торсионный. С ${ displaystyle i}$ инъективен, ${ displaystyle m}$ торсионный. Следовательно, ${ displaystyle m otimes q = 0}$ , что противоречит. Следовательно, ${ displaystyle M otimes mathbb {Q} to N otimes mathbb {Q}}$ также инъективен.

В общем, если Т не является плоским, то тензорное произведение не остается точным. Например, рассмотрим короткую точную последовательность ${ displaystyle mathbf {Z}}$ -модули ${ Displaystyle 5 mathbf {Z} ; ; { hookrightarrow} ; ; mathbf {Z} twoheadrightarrow mathbf {Z} / 5 mathbf {Z}}$ . Tensoring over ${ displaystyle mathbf {Z}}$ с ${ Displaystyle mathbf {Z} / 5 mathbf {Z}}$ дает последовательность, которая уже не является точной, поскольку ${ Displaystyle mathbf {Z} / 5 mathbf {Z}}$ не имеет скручивания и, следовательно, не плоский.

Если А абелева категория и C произвольный малая категория, мы можем рассмотреть категория функторов А^C состоящий из всех функторов из C к А; это абелева. Если Икс данный объект C, то получим функтор E_Икс из А^C к А оценивая функторы в Икс. Этот функтор E_Икс точно.

Хотя тензор не может быть точным слева, можно показать, что тензор является точным справа функтором:

Теорема. Пусть А, Б, В и п быть р модули для коммутативного кольца р имеющий мультипликативную идентичность. Позволять ${ displaystyle A { stackrel {f} { to}} B { stackrel {g} { to}} C to 0}$

быть короткая точная последовательность из р модули, то

{ displaystyle A otimes _ {R} P { stackrel {f otimes P} { to}} B otimes _ {R} P { stackrel {g otimes P} { to}} C otimes _ {R} P to 0}

также короткая точная последовательность из р модули. (С р коммутативна, эта последовательность представляет собой последовательность р модулей, а не только абелевых групп). Здесь мы определяем:

{ Displaystyle f otimes P (a otimes p): = f (a) otimes p, g otimes P (b otimes p): = g (b) otimes p}

.

Это имеет полезное следствие: если я это идеал р и п как указано выше, то ${ Displaystyle P otimes _ {R} (R / I) cong P / IP}$

Доказательство: : ${ displaystyle I { stackrel {f} { to}} R { stackrel {g} { to}} R / I to 0}$ , куда ж это включение и грамм проекция, точная последовательность р модули. Из вышесказанного получаем, что: ${ displaystyle I otimes _ {R} P { stackrel {f otimes P} { to}} R otimes _ {R} P { stackrel {g otimes P} { to}} R / I otimes _ {R} P to 0}$ также короткая точная последовательность из р модули. По точности, ${ displaystyle R / I otimes _ {R} P cong (R otimes _ {R} P) / Image (f otimes P) = (R otimes _ {R} P) / (I otimes _ {R} P)}$ , поскольку ж это включение. Теперь рассмотрим р гомоморфизм модулей из ${ displaystyle R otimes _ {R} P rightarrow P}$ данный р линейно продолжая отображение, заданное на чистых тензорах: ${ displaystyle r otimes p mapsto rp.rp = 0}$ подразумевает, что ${ displaystyle 0 = rp otimes 1 = r otimes p}$ . Итак, ядро этого отображения не может содержать никаких ненулевых чистых тензоров. ${ displaystyle R otimes _ {R} P}$ состоит только из чистых тензоров: Для ${ displaystyle x_ {i} in R, sum _ {i} x_ {i} (r_ {i} otimes p_ {i}) = sum _ {i} 1 otimes (r_ {i} x_ { i} p_ {i}) = 1 otimes ( sum _ {i} r_ {i} x_ {i} p_ {i})}$ . Итак, эта карта инъективна. Это явно на. Так, ${ Displaystyle R otimes _ {R} P cong P}$ . По аналогии, ${ displaystyle I otimes _ {R} P cong IP}$ . Это доказывает следствие.

В качестве другого приложения мы покажем это для, ${ Displaystyle P = mathbf {Z} [1/2]: = {a / 2 ^ {k}: a, k in mathbf {Z} }, P otimes mathbf {Z} / m mathbf {Z} cong P / k mathbf {Z} P}$ куда ${ Displaystyle к = м / 2 ^ {п}}$ и п это наивысшая степень деления 2 м. Докажем частный случай: м = 12.

Доказательство: рассмотрим чистый тензор. ${ displaystyle (12z) otimes (a / 2 ^ {k}) in (12 mathbf {Z} otimes _ {Z} P). (12z) otimes (a / 2 ^ {k}) = (3z) otimes (a / 2 ^ {k-2})}$ . Также для ${ Displaystyle (3z) otimes (a / 2 ^ {k}) in (3 mathbf {Z} otimes _ {Z} P), (3z) otimes (a / 2 ^ {k}) = (12z) otimes (a / 2 ^ {k + 2})}$ .Это показывает, что ${ displaystyle (12 mathbf {Z} otimes _ {Z} P) = (3 mathbf {Z} otimes _ {Z} P)}$ . Сдача ${ Displaystyle P = mathbf {Z} [1/2], A = 12 mathbf {Z}, B = mathbf {Z}, C = mathbf {Z} / 12 mathbf {Z}}$ , А, Б, В, П находятся R = Z модулей обычным действием умножения и удовлетворяют условиям основной теоремы. По точности, вытекающей из теоремы, и из упомянутого выше замечания получаем, что ${ displaystyle: mathbf {Z} / 12 mathbf {Z} otimes _ {Z} P cong ( mathbf {Z} otimes _ {Z} P) / (12 mathbf {Z} otimes _ {Z} P) = ( mathbf {Z} otimes _ {Z} P) / (3 mathbf {Z} otimes _ {Z} P) cong mathbf {Z} P / 3 mathbf {Z } П}$ . Последнее сравнение следует из рассуждений, аналогичных рассуждению при доказательстве следствия, показывающего, что ${ displaystyle I otimes _ {R} P cong IP}$ .

Свойства и теоремы

Функтор точен тогда и только тогда, когда он точен как слева, так и справа.

Ковариантный (не обязательно аддитивный) функтор точен слева тогда и только тогда, когда он оказывается конечным. пределы в пределах; ковариантный функтор точен справа тогда и только тогда, когда он оказывается конечным копределы в копределы; Контравариантный функтор точен слева тогда и только тогда, когда он оказывается конечным копределы в пределах; Контравариантный функтор точен справа тогда и только тогда, когда он оказывается конечным пределы в копределы.

Степень неточности левого точного функтора можно измерить с помощью правые производные функторы; степень, в которой точный правый функтор не может быть точным, может быть измерена его левые производные функторы.

Левый и правый точные функторы распространены повсеместно в основном из-за того, что если функтор F является левый смежный к грамм, тогда F точно и грамм остается точным.

Обобщения

В SGA4, том I, раздел 1, понятие точных слева (справа) функторов определяется для общих категорий, а не только для абелевых. Определение следующее:

Позволять C - категория с конечными проективными (соответственно индуктивными) пределы. Тогда функтор из C в другую категорию C ′ является точным слева (соответственно справа), если он коммутирует с конечными проективными (соответственно индуктивными) пределами.

Несмотря на свою абстракцию, это общее определение имеет полезные последствия. Например, в разделе 1.8 Гротендик доказывает, что функтор про-представим тогда и только тогда, когда он точен слева, при некоторых мягких условиях на категорию C.

Точные функторы между квилленовскими точные категории обобщить точные функторы между обсуждаемыми здесь абелевыми категориями.

Регулярные функторы между обычные категории иногда называют точными функторами и обобщают обсуждаемые здесь точные функторы.

Примечания

^ Якобсон (2009), стр. 98, теорема 3.1.
^ Якобсон (2009), стр. 149, Предложение 3.9.
^ Якобсон (2009), стр. 99, теорема 3.1.
^ Якобсон (2009), стр. 156.