Производный функтор - Derived functor

В математика, определенный функторы может быть полученный для получения других функторов, тесно связанных с исходными. Эта операция, хотя и довольно абстрактная, объединяет ряд построений в математике.

Мотивация

Было отмечено, что в различных совершенно разных условиях короткая точная последовательность часто приводит к «длинной точной последовательности». Концепция производных функторов объясняет и проясняет многие из этих наблюдений.

Предположим, нам дан ковариант левый точный функтор F : А → B между двумя абелевы категории А и B. Если 0 → А → B → C → 0 - короткая точная последовательность в А, затем применяя F дает точную последовательность 0 → F(А) → F(B) → F(C), и можно было бы спросить, как продолжить эту последовательность вправо, чтобы сформировать длинную точную последовательность. Строго говоря, этот вопрос некорректно поставлен, поскольку всегда существует множество различных способов продолжить заданную точную последовательность вправо. Но оказывается, что (если А достаточно "приятно") есть один канонический способ сделать это, заданный правильными производными функторами F. Для каждого я≥1 существует функтор р^яF: А → B, и приведенная выше последовательность продолжается так: 0 → F(А) → F(B) → F(C) → р¹F(А) → р¹F(B) → р¹F(C) → р²F(А) → р²F(B) → .... Из этого мы видим, что F является точным функтором тогда и только тогда, когда р¹F = 0; так что в некотором смысле правые производные функторы F измерить "как далеко" F от точности.

Если объект А в приведенной выше короткой точной последовательности инъективный, то последовательность раскол. Применение любого аддитивного функтора к разделенной последовательности приводит к разделению последовательности, так, в частности, р¹F(А) = 0. Правые производные функторы (для я> 0) равны нулю на инъективных объектах: это мотивация для конструкции, приведенной ниже.

Строительство и первая недвижимость

Ключевое предположение, которое нам нужно сделать относительно нашей абелевой категории А это что у него есть достаточно инъекций, что означает, что для каждого объекта А в А существует мономорфизм А → я куда я является инъективный объект в А.

Правые производные функторы ковариантного точного слева функтора F : А → B тогда определяются следующим образом. Начните с объекта Икс из А. Поскольку инъективных достаточно, мы можем построить длинную точную последовательность вида

{ displaystyle 0 к X к I ^ {0} to I ^ {1} to I ^ {2} to cdots}

где я^я все инъективны (это известно как инъекционное разрешение из Икс). Применение функтора F к этой последовательности, и отсекая первое слагаемое, получаем цепной комплекс

{ Displaystyle 0 к F (I ^ {0}) к F (I ^ {1}) к F (I ^ {2}) к cdots}

Примечание: это в общем нет точной последовательности больше нет. Но мы можем вычислить его когомология на я-я точка (ядро карты из F(я^я) по модулю изображения карты на F(я^я)); мы называем результат р^яF(Икс). Конечно, нужно проверять разные вещи: конечный результат не зависит от данного инъекционного разрешения Икс, и любой морфизм Икс → Y естественно дает морфизм р^яF(Икс) → р^яF(Y), так что действительно получаем функтор. Отметим, что левая точность означает, что 0 →F(Икс) → F(я⁰) → F(я¹) точно, поэтому р⁰F(Икс) = F(Икс), поэтому мы получаем что-то интересное только для я>0.

(Технически, чтобы получить четко определенные производные от F, мы должны были бы установить инъективное разрешение для каждого объекта А. Тогда этот выбор инъективных резольвент дает функторы р^яF. Различные варианты разрешения естественно изоморфный функторы, поэтому в конце концов выбор не имеет значения.)

Вышеупомянутое свойство превращения коротких точных последовательностей в длинные точные последовательности является следствием лемма о змеях. Это говорит нам о том, что набор производных функторов является δ-функтор.

Если Икс сам по себе инъективен, то мы можем выбрать инъективную резольвенту 0 → Икс → Икс → 0, и мы получаем, что р^яF(Икс) = 0 для всех я ≥ 1. На практике этот факт вместе со свойством длинной точной последовательности часто используется для вычисления значений правых производных функторов.

Эквивалентный способ вычисления р^яF(Икс) следующий: возьмем инъективное разрешение Икс как указано выше, и пусть K^я быть изображением карты я^я-1→я^я (за я= 0, определим я^я-1= 0), что совпадает с ядром я^я→я^я+1. Пусть φ_я : я^я-1→K^я - соответствующее сюръективное отображение. потом р^яF(Икс) является коядром F(φ_я).

Вариации

Если начать с ковариантной точно вправо функтор грамм, а категория А имеет достаточно проективов (т.е. для каждого объекта А из А существует эпиморфизм п → А куда п это проективный объект ), то аналогично можно определить производные слева функторы L_яграмм. Для объекта Икс из А сначала построим проективную резольвенту вида

{ displaystyle cdots to P_ {2} to P_ {1} to P_ {0} to X to 0}

где п_я проективны. Мы применяем грамм к этой последовательности, отрежьте последний член и вычислите гомологию, чтобы получить L_яграмм(Икс). Как прежде, L₀грамм(Икс) = грамм(Икс).

В этом случае длинная точная последовательность будет расти «влево», а не вправо:

{ Displaystyle 0 к А к В к С к 0}

превращается в

{ Displaystyle cdots к L_ {2} G (C) к L_ {1} G (A) к L_ {1} G (B) к L_ {1} G (C) к G (A ) к G (B) к G (C) к 0}

.

Левые производные функторы равны нулю на всех проективных объектах.

Можно также начать с контравариантный точный слева функтор F; полученные правые производные функторы также контравариантны. Краткая точная последовательность

{ Displaystyle 0 к А к В к С к 0}

превращается в длинную точную последовательность

{ Displaystyle 0 к F (C) к F (B) к F (A) к R ^ {1} F (C) к R ^ {1} F (B) к R ^ {1 } F (A) to R ^ {2} F (C) to cdots}

Эти правые производные функторы равны нулю на проективных объектах и поэтому вычисляются через проективные резольвенты.

Примеры

Если ${ displaystyle A}$ является абелевой категорией, то ее категория морфизмов ${ Displaystyle A ^ { { ast to ast }}}$ также абелева. Функтор ${ Displaystyle ker: A ^ { { ast to ast }} to A}$ который переводит каждый морфизм в его ядро, остается точным. Его правые производные функторы

{ Displaystyle R ^ {я} ( ker) (f) = { begin {case} ker (f) & i = 0 operatorname {coker} (f) & i = 1 0 & i> 1 end {случаи}}}

Двойственно функтор

{ displaystyle operatorname {coker}}

точен справа, а его левые производные функторы

{ Displaystyle L_ {я} ( operatorname {coker}) (f) = { begin {cases} operatorname {coker} (f) & i = 0 ker (f) & i = 1 0 & i> 1 end {case}}}

Это проявление лемма о змеях.

Гомологии и когомологии

Когомологии пучков

Если ${ displaystyle X}$ это топологическое пространство, то категория ${ Displaystyle Sh (X)}$ из всех снопы из абелевы группы на ${ displaystyle X}$ является абелевой категорией с достаточным количеством инъективных. Функтор ${ displaystyle Gamma: Sh (X) to Ab}$ который каждому такому пучку ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ группа ${ Displaystyle Gamma ({ mathcal {F}}): = { mathcal {F}} (X)}$ глобальных сечений точна слева, а правые производные функторы являются когомологии пучков функторы, обычно записываемые как ${ Displaystyle Н ^ {я} (Х, { mathcal {F}})}$ . В более общем плане: если ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ это окольцованное пространство, то категория всех пучков ${ Displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ -модули - абелева категория с достаточным количеством инъективов, и мы снова можем построить когомологии пучков как правые производные функторы глобального функтора сечения.

Существуют различные понятия когомологий, которые являются частным случаем этого:

Когомологии де Рама когомологии пучка локально постоянный ${ Displaystyle mathbb {R}}$ -значные функции на многообразие. Комплекс Де Рама является разрешением этого пучка не инъективными пучками, а тонкие снопы.

Этальные когомологии - еще одна теория когомологий пучков над схемой. Это правый производный функтор глобальных сечений абелевых пучков на эталонный сайт.

Функторы Ext

Если ${ displaystyle R}$ это звенеть, то категория всех оставшихся ${ displaystyle R}$ -модули является абелевой категорией с достаточным количеством инъективных. Если ${ displaystyle A}$ фиксированная левая ${ displaystyle R}$ -модуль, то функтор ${ displaystyle operatorname {Hom} (A, -): R { text {-Mod}} to { mathfrak {Ab}}}$ точен слева, а его правые производные функторы являются Функторы Ext ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, -)}$ . Альтернативно ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (-, B)}$ также может быть получен как левый производный функтор правого точного функтора ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {R} (-, B): R { text {-Mod}} to { mathfrak {Ab}} ^ {op}}$ .

Различные понятия когомологий являются частными случаями функторов Ext и, следовательно, также производных функторов.

Групповые когомологии является правым производным функтором от функтора инвариантов ${ displaystyle (-) ^ {G}: k [G] { text {-Mod}} to k [G] { text {-Mod}}}$ который совпадает с ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {k [G]} (k, -)}$ (куда ${ displaystyle k}$ это тривиальный ${ Displaystyle к [G]}$ -модуль) и, следовательно, ${ Displaystyle H ^ {я} (G, M) = operatorname {Ext} _ {k [G]} ^ {i} (k, M)}$ .

Когомологии алгебры Ли из Алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ над некоторым коммутативным кольцом ${ displaystyle k}$ является правым производным функтором от функтора инвариантов ${ displaystyle (-) ^ { mathfrak {g}}: { mathfrak {g}} { text {-Mod}} to k { text {-Mod}}}$ который совпадает с ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {U ({ mathfrak {g}})} (к, -)}$ (куда ${ displaystyle k}$ снова тривиальный ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ -модуль и ${ Displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ это универсальная обертывающая алгебра из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ ). Следовательно ${ displaystyle H ^ {i} ({ mathfrak {g}}, M) = operatorname {Ext} _ {U ({ mathfrak {g}})} ^ {i} (k, M)}$ .

Когомологии Хохшильда некоторых ${ displaystyle k}$ -алгебра ${ displaystyle A}$ - правый производный функтор инвариантов ${ displaystyle (-) ^ {A} :( A, A) { text {-Bimod}} to k { text {-Mod}}}$ отображение бимодуль ${ displaystyle M}$ к его центр, также называемый набором инвариантов ${ Displaystyle M ^ {A}: = Z (M): = {m in M mid forall a in A: am = ma }}$ который совпадает с ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {A ^ {e}} (A, M)}$ (куда ${ displaystyle A ^ {e}: = A otimes _ {k} A ^ {op}}$ является обертывающей алгеброй ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle A}$ считается ${ Displaystyle (А, А)}$ -бимодуль через обычное левое и правое умножение). Следовательно ${ displaystyle HH ^ {i} (A, M) = operatorname {Ext} _ {A ^ {e}} ^ {i} (A, M)}$ :

Функторы Tor

Категория левых ${ displaystyle R}$ -модулей тоже достаточно проективов. Если ${ displaystyle A}$ фиксированное право ${ displaystyle R}$ -модуль, затем тензорное произведение с ${ displaystyle A}$ дает точный правый ковариантный функтор ${ displaystyle A otimes _ {R} -: R { text {-Mod}} to Ab}$ ; Категория модулей имеет достаточно проективов, поэтому всегда существуют левые производные функторы. Левыми производными функторами тензорного функтора являются Функторы Tor ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (A, -)}$ . Эквивалентно ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (-, B)}$ можно определить симметрично как левые производные функторы ${ displaystyle - otimes B}$ . Фактически можно объединить оба определения и определить ${ displaystyle operatorname {Tor} _ {i} ^ {R} (-, -)}$ как левое производное от ${ displaystyle - otimes -: { text {Mod -}} R times R { text {-Mod}} to Ab}$ .

Это включает несколько понятий гомологии как частных случаев. Это часто отражает ситуацию с функторами и когомологиями Ext.

Групповая гомология левое производное от коинвариантов ${ displaystyle (-) _ {G}: k [G] { text {-Mod}} to k { text {-Mod}}}$ который совпадает с ${ displaystyle k otimes _ {k [G]} -}$ .

Гомологии алгебры Ли является левым производным функтором коинвариантов ${ displaystyle { mathfrak {g}} { text {-Mod}} to k { text {-Mod}}, M mapsto M / [{ mathfrak {g}}, M]}$ который совпадает с ${ Displaystyle к otimes _ {U ({ mathfrak {g}})} -}$ .

Гомологии Хохшильда является левым производным функтором коинвариантов ${ displaystyle (A, A) { text {-Bimod}} to k { text {-Mod}}, M mapsto M / [A, M]}$ который совпадает с ${ displaystyle A otimes _ {A ^ {e}} -}$ .

Вместо того, чтобы брать отдельные левые производные функторы, можно также взять полный производный функтор тензорного функтора. Это приводит к производное тензорное произведение ${ displaystyle - otimes ^ {L} -: D ({ text {Mod -}} R) times D (R { text {-Mod}}) to D (Ab)}$ куда ${ displaystyle D}$ это производная категория.

Натуральность

Производные функторы и длинные точные последовательности «естественны» в нескольких технических смыслах.

Во-первых, учитывая коммутативная диаграмма формы

{ displaystyle { begin {array} {ccccccccc} 0 & to & A_ {1} & { xrightarrow {f_ {1}}} & B_ {1} & { xrightarrow {g_ {1}}} & C_ {1} & to & 0 && alpha downarrow quad && beta downarrow quad && gamma downarrow quad && 0 & to & A_ {2} & { xrightarrow {f_ {2}}} & B_ {2 } & { xrightarrow {g_ {2}}} & C_ {2} & to & 0 end {array}}}

(где строки точные), две результирующие длинные точные последовательности связаны коммутирующими квадратами:

Две длинные точные последовательности.png

Во-вторых, предположим, что η: F → грамм это естественная трансформация слева точный функтор F слева точный функтор грамм. Тогда естественные преобразования р^яη: р^яF → р^яграмм индуцируются, и действительно р^я становится функтором от категория функторов всех левых точных функторов из А к B в полную категорию функторов всех функторов из А к B. Кроме того, этот функтор совместим с длинными точными последовательностями в следующем смысле: если

{ displaystyle 0 to A { xrightarrow {f}} B { xrightarrow {g}} C to 0}

короткая точная последовательность, то коммутативная диаграмма

Две длинные точные последовательности2.png

индуцируется.

Обе эти естественности следуют из естественности последовательности, обеспечиваемой лемма о змеях.

Наоборот, имеет место следующая характеризация производных функторов: задано семейство функторов р^я: А → B, удовлетворяющий вышеуказанному, т.е. отображение коротких точных последовательностей на длинные точные последовательности, так что для каждого инъективного объекта я из А, р^я(я) = 0 для каждого положительного я, то эти функторы являются правыми производными функторами р⁰.

Обобщение

Более современный (и более общий) подход к производным функторам использует язык производные категории.

В 1968 году Куиллен разработал теорию модельные конструкции на категории, которые дают абстрактную теоретико-категориальную систему расслоений, корасслоений и слабых эквивалентностей. Обычно интересуются лежащими в основе гомотопическая категория полученный путем локализации относительно слабых эквивалентностей. А Квиллен примыкание является присоединением между модельными категориями, которое спускается до присоединения между гомотопическими категориями. Например, категория топологических пространств и категория симплициальных множеств допускают модельные структуры Квиллена, чьи нерв и осознание присоединение дает присоединение Квиллена, которое на самом деле является эквивалентностью гомотопических категорий. Конкретные объекты в модельной структуре обладают «хорошими свойствами» (касающимися существования подъемов против определенных морфизмов), «волокнистыми» и «кофибрантными» объектами, и каждый объект слабо эквивалентен фибрант-кофибрантному «разрешению».

Первоначально разработанные для работы с категорией топологических пространств, модельные структуры Квиллена появляются во многих местах математики; в частности, категория цепных комплексов из любой абелевой категории (модули, пучки модулей на топологическом пространстве или схема^{[необходимо разрешение неоднозначности ]}и т. д.) допускают модельную структуру, слабые эквивалентности которой - это морфизмы между цепными комплексами, сохраняющие гомологии. Часто у нас есть функтор между двумя такими модельными категориями (например, функтор глобальных секций, отправляющий комплекс абелевых пучков в очевидный комплекс абелевых групп), который сохраняет слабые эквивалентности * в подкатегории «хороших» (фибрантных или кофибрантных) объектов *. Сначала взяв фибрантную или кофибрантную резольвенту объекта, а затем применив этот функтор, мы успешно расширили его на всю категорию таким образом, что слабые эквивалентности всегда сохраняются (и, следовательно, он спускается до функтора из гомотопической категории). Это «производный функтор». «Производные функторы» когомологий пучков, например, являются гомологиями выхода этого производного функтора. Применяя их к пучку абелевых групп, очевидным образом интерпретируемым как комплекс, сосредоточенный в гомологиях, они измеряют неспособность функтора глобальных сечений сохранять слабые эквивалентности таких групп, его несоблюдение «точности». Общая теория модельных структур показывает уникальность этой конструкции (то, что она не зависит от выбора фибрантного или кофибрантного разрешения и т. Д.)