Окольцованное пространство - Ringed space

В математика, а окольцованное пространство это семья (коммутативный ) кольца параметризованный открытые подмножества из топологическое пространство вместе с гомоморфизмы колец которые играют роли ограничения. Точнее, это топологическое пространство, снабженное пучок колец называется структурная связка. Это абстракция концепции колец непрерывный (скалярные) функции на открытых подмножествах.

Среди окруженных пространств особенно важным и заметным является локально окольцованное пространство: окруженное пространство пространство, в котором аналогия между стеблем в точке и кольцом ростки функции в точке действительно.

Окруженные пробелы появляются в анализ а также сложная алгебраическая геометрия и теория схем из алгебраическая геометрия.

Примечание: В определении окольцованного пространства в большинстве описаний кольца обычно ограничиваются коммутативные кольца, включая Хартсхорн и Википедию. "Éléments de géométrie algébrique ", с другой стороны, не налагает предположения о коммутативности, хотя в книге в основном рассматривается коммутативный случай.^[1]

Определения

А окольцованное пространство (Икс, О_Икс) это топологическое пространство Икс вместе с пучок из кольца О_Икс на Икс. Связка О_Икс называется структурная связка из Икс.

А локально окольцованное пространство - окольцованное пространство (Икс, О_Икс) такие, что все стебли из О_Икс находятся местные кольца (т.е. у них есть уникальные максимальные идеалы ). Обратите внимание, что это нет требовал, чтобы О_Икс(U) - локальное кольцо для любого открытого множества U; на самом деле, этого почти никогда не бывает.

Примеры

Произвольное топологическое пространство Икс можно рассматривать как локально окольцованное пространство, взяв О_Икс быть связкой ценный (или же комплексный ) непрерывные функции на открытых подмножествах Икс. В стебель в какой-то момент Икс можно рассматривать как совокупность всех микробы непрерывных функций при Икс; это локальное кольцо с единственным максимальным идеалом, состоящим из ростков, значение которых при Икс равно 0.

Если Икс это многообразие с некоторой дополнительной структурой, мы также можем взять связку дифференцируемый, или же комплексно-аналитический функции. Оба они порождают локально окольцованные пространства.

Если Икс является алгебраическое многообразие несущий Топология Зарисского, мы можем определить локально окольцованное пространство, взяв О_Икс(U) быть кольцом рациональные отображения на открытом по Зарискому множеству U которые не взрываются (становятся бесконечными) внутри U. Важным обобщением этого примера является обобщение спектр любого коммутативного кольца; эти спектры также являются локально окольцованными пространствами. Схемы являются локально окольцованными пространствами, полученными «склейкой» спектров коммутативных колец.

Морфизмы

А морфизм из (Икс, О_Икс) к (Y, О_Y) пара (ж, φ), куда ж: Икс → Y это непрерывная карта между лежащими в основе топологическими пространствами и φ: О_Y → ж_*О_Икс это морфизм из структурного пучка Y к прямое изображение структурного пучка Икс. Другими словами, морфизм из (Икс, О_Икс) к (Y, О_Y) определяется следующими данными:

• а непрерывная карта ж : Икс → Y
• семья гомоморфизмы колец φ_V : О_Y(V) → О_Икс(ж ^-1(V)) для каждого открытый набор V из Y которые коммутируют с отображениями ограничения. То есть, если V₁ ⊂ V₂ два открытых подмножества Y, то следующая диаграмма должна ездить (вертикальные отображения - это гомоморфизмы ограничения):

Существует дополнительное требование для морфизмов между локально окольцованные пространства:

• гомоморфизмы колец, индуцированные φ между слоями Y и стебли Икс должно быть локальные гомоморфизмы, т.е. для каждого Икс ∈ Икс максимальный идеал локального кольца (стебля) в точке ж(Икс) ∈ Y отображается в максимальный идеал локального кольца в точке Икс ∈ Икс.

Можно составить два морфизма, чтобы сформировать новый морфизм, и мы получаем категория окольцованных пространств и категории локально окольцованных пространств. Изоморфизмы в этих категориях определяются как обычно.

Касательные пространства

Локально окольцованные пространства имеют достаточно структуры, чтобы дать содержательное определение касательные пространства. Позволять Икс быть локально окольцованным пространством со структурным пучком О_Икс; мы хотим определить касательное пространство Т_Икс в момент Икс ∈ Икс. Возьмите местное кольцо (стебель) р_Икс в момент Икс, с максимальным идеалом м_Икс. потом k_Икс := р_Икс/м_Икс это поле и м_Икс/м_Икс² это векторное пространство над этим полем ( котангенс пространство ). Касательное пространство Т_Икс определяется как двойной этого векторного пространства.

Идея заключается в следующем: касательный вектор в точке Икс должен рассказать вам, как «различать» «функции» на Икс, т.е. элементы р_Икс. Теперь достаточно знать, как различать функции, значение которых при Икс равен нулю, поскольку все остальные функции отличаются от них только константой, и мы знаем, как дифференцировать константы. Итак, нам нужно только рассмотреть м_Икс. Кроме того, если две функции заданы с нулевым значением при Икс, то их произведение имеет производную 0 при Икс, посредством правило продукта. Итак, нам нужно только знать, как присвоить "числа" элементам м_Икс/м_Икс², и это то, что делает двойное пространство.

О_Икс модули

Для локально окольцованного пространства (Икс, О_Икс), определенный снопы модулей на Икс встречаются в приложениях, О_Икс-модули. Чтобы определить их, рассмотрим связку F из абелевы группы на Икс. Если F(U) это модуль над кольцом О_Икс(U) для каждого открытого набора U в Икс, а отображения ограничений совместимы со структурой модуля, то мы называем F ан О_Икс-модуль. В этом случае стебель F в Икс будет модулем над локальным кольцом (стебельком) р_Икс, для каждого Икс∈Икс.

Морфизм между двумя такими О_Икс-modules - это морфизм пучков который совместим с данными модульными структурами. Категория О_Икс-модули над фиксированным локально окольцованным пространством (Икс, О_Икс) является абелева категория.

Важная подкатегория категории О_Икс-модули - это категория квазикогерентные пучки на Икс. Пачка О_Икс-модули называются квазикогерентными, если они локально изоморфны коядру отображения между свободными О_Икс-модули. А последовательный пучок F является квазикогерентным пучком, который локально имеет конечный тип и для любого открытого подмножества U из Икс ядро любого морфизма из свободного О_U-модули конечного ранга к F_U тоже конечного типа.

Цитаты

Рекомендации

• Раздел 0.4 Гротендик, Александр; Дьедонне, Жан (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Публикации Mathématiques de l'IHÉS. 4. Дои:10.1007 / bf02684778. МИСТЕР  0217083.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Тексты для выпускников по математике, 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, МИСТЕР  0463157

внешняя ссылка

• Онищик, А.Л. (2001) [1994], «Окольцованный космос», Энциклопедия математики, EMS Press