Стебель (связка) - Stalk (sheaf)

В стебель из пучок это математический конструкция, фиксирующая поведение связки вокруг заданной точки.

Мотивация и определение

Пучки определены на открытых множествах, но лежащее в основе топологическое пространство Икс состоит из точек. Разумно попытаться изолировать поведение пучка в одной фиксированной точке. Икс из Икс. С концептуальной точки зрения, мы делаем это, рассматривая небольшие окрестности точки. Если мы посмотрим на достаточно малую окрестность Икс, поведение связки ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ в этом небольшом районе должно быть таким же, как поведение ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ в таком случае. Конечно, ни одно соседство не будет достаточно маленьким, поэтому нам придется взять какой-то предел.

Точное определение таково: стебель ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ в Икс, обычно обозначается ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {x}}$ , является:

{ displaystyle { mathcal {F}} _ {x}: = varinjlim _ {U ni x} { mathcal {F}} (U).}

Здесь прямой предел индексируется по всем открытые наборы содержащий Икс, с отношением порядка, индуцированным обратным включением ( ${ Displaystyle U$ , если ${ Displaystyle U supset V}$ ). По определению (или универсальная собственность ) прямого предела элемент стебля является классом эквивалентности элементов ${ displaystyle x_ {U} in { mathcal {F}} (U)}$ , где два таких участка ${ displaystyle x_ {U}}$ и ${ displaystyle x_ {V}}$ считаются эквивалент если ограничения двух сечений совпадают в некоторой окрестности точки x.

Альтернативное определение

Есть еще один подход к определению стебля, который полезен в некоторых контекстах. Выберите точку Икс из Икс, и разреши я - включение одноточечного пространства {Икс} в Икс. Тогда стебель ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {x}}$ такой же, как обратное изображение пучок ${ Displaystyle я ^ {- 1} { mathcal {F}}}$ . Обратите внимание, что единственные открытые множества одноточечного пространства {Икс} находятся {Икс} и ∅, и в пустом наборе нет данных. Над {Икс}, однако получаем:

{ Displaystyle я ^ {- 1} { mathcal {F}} ( {х }) = varinjlim _ {U supseteq {x }} { mathcal {F}} (U) = varinjlim _ {U ni x} { mathcal {F}} (U) = { mathcal {F}} _ {x}.}

Замечания

Для некоторых категорий C прямой предел, используемый для определения стебля, может не существовать. Однако он существует для большинства категорий, которые встречаются на практике, таких как категория наборов или большинство категорий алгебраических объектов, таких как абелевы группы или же кольца, а именно завершенный.

Есть естественный морфизм F(U) → F_Икс для любого открытого набора U содержащий Икс: требуется раздел s в F(U) его зародыш, т. е. его класс эквивалентности в прямом пределе. Это обобщение обычного понятия зародыш, который можно восстановить, глядя на слои пучка непрерывных функций на Икс.

Примеры

Постоянные шкивы

Постоянная связка ${ displaystyle { underline {S}}}$ связанный с некоторым набором (или группой, кольцом и т. д.) S имеет тот же набор или группу, что и стебли в каждой точке: для любой точки Икс, выберите открытое связаны район. Разделы ${ displaystyle { underline {S}}}$ на подключенном открытом равном S а карты ограничений - это тождества. Следовательно, прямой предел схлопывается и дает S как стебель.

Пучки аналитических функций

Например, в связке аналитические функции на аналитическое многообразие росток функции в точке определяет функцию в малой окрестности точки. Это потому, что росток записывает степенной ряд разложение, и все аналитические функции по определению локально равны своим степенным рядам. С помощью аналитическое продолжение, мы обнаруживаем, что росток в точке определяет функцию на любом связном открытом множестве, где функция может быть определена всюду. (Это не означает, что все отображения ограничения этого пучка инъективны!)

Пучки гладких функций

Напротив, для связки гладкие функции на гладкое многообразие, ростки содержат некоторую локальную информацию, но их недостаточно для восстановления функции в любой открытой окрестности. Например, пусть ж : р → р быть функция удара которая тождественно равна единице в окрестности начала координат и тождественно нулю вдали от начала координат. В любой достаточно малой окрестности, содержащей начало координат, ж тождественно единица, поэтому в начале координат она имеет тот же росток, что и постоянная функция со значением 1. Предположим, что мы хотим восстановить ж из его зародыша. Даже если мы заранее знаем, что ж является функцией выпуклости, росток не сообщает нам, насколько велик его выступ. Судя по тому, что говорит нам росток, шишка может быть бесконечно широкой, то есть ж может равняться постоянной функции со значением 1. Мы даже не можем восстановить ж на небольшом открытом районе U содержащего начало координат, потому что мы не можем сказать, был ли выступ ж полностью вписывается в U или настолько ли он велик, что ж идентично один в U.

С другой стороны, ростки гладких функций могут различать постоянную функцию со значением один и функцию ${ displaystyle 1 + e ^ {- 1 / x ^ {2}}}$ , поскольку последняя функция не является тождественной ни в какой окрестности начала координат. Этот пример показывает, что ростки содержат больше информации, чем разложение функции в степенной ряд, потому что степенной ряд ${ displaystyle 1 + e ^ {- 1 / x ^ {2}}}$ классно один. (Эта дополнительная информация связана с тем фактом, что стержень пучка гладких функций в начале координат не являетсяКольцо Нётериана. В Теорема Крулля о пересечении говорит, что этого не может случиться с нётерским кольцом.)

Квазикогерентные пучки

На аффинная схема Икс = Спецификация А, стебель квазикогерентный пучок F соответствующий А-модуль M в точке Икс соответствующий главный идеал п это просто локализация M_п.

Сноп небоскреба

В любом топологическом пространстве сноп небоскреба связано с закрытая точка Икс и группа или кольцо грамм имеет стебли 0 выключенный Икс и грамм в Икс- отсюда и название небоскреб. То же свойство имеет место для любой точки Икс если рассматриваемое топологическое пространство является Т₁ Космос, так как каждая точка T₁ пространство закрыто. Эта особенность лежит в основе построения Резолюции Годемента, используется, например, в алгебраическая геометрия получить функториальный инъективные разрешения связок.

Свойства стебля

Как указано во введении, стебли отражают локальное поведение снопа. Поскольку связка должна определяться своими локальными ограничениями (см. аксиома склейки ), можно ожидать, что стебли захватывают изрядное количество информации, которую кодирует связка. Это действительно правда:

Морфизм пучков - это изоморфизм, эпиморфизм, или же мономорфизм соответственно тогда и только тогда, когда индуцированные морфизмы на всех слоях обладают одним и тем же свойством. (Однако неверно, что два пучка, все стебли которых изоморфны, тоже изоморфны, потому что между рассматриваемыми пучками может не быть отображения.)

Особенно:

Пучок равен нулю (если мы имеем дело с пучками групп) тогда и только тогда, когда все слои пучка равны нулю. Следовательно точность данного функтор можно проверить на стеблях, что часто бывает проще, так как можно переходить в все меньшие и меньшие районы.

Оба утверждения неверны для предварительные пучки. Однако стебли снопов и предпучков тесно связаны:

Учитывая предпучку ${ displaystyle P}$ и это связка ${ Displaystyle F = P ^ {+}}$ , стебли ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle F}$ согласны. Это следует из того, что пучок ${ Displaystyle F = P ^ {+}}$ это изображение ${ displaystyle P}$ сквозь левый смежный ${ displaystyle (-) ^ {+}: mathbf {Set} ^ {{ mathcal {O}} (X) ^ {op}} to Sh (X)}$ (поскольку функтор пучков сопряжен слева с функтором включения ${ displaystyle Sh (X) to mathbf {Set} ^ {{ mathcal {O}} (X) ^ {op}}}$ ) и то, что левые сопряжения сохраняют копределы.