Разрешение годема - Godement resolution

В Разрешение годема из пучок это конструкция в гомологическая алгебра это позволяет рассматривать глобальную когомологическую информацию о снопе с точки зрения локальной информации, исходящей от его стеблей. Это полезно для вычислений когомологии пучков. Это было обнаружено Роджер Годеман.

Строительство Годемента

Учитывая топологическое пространство Икс (в более общем смысле топос X с достаточным количеством точек) и связкой F на X конструкция Годема для F дает связку ${ displaystyle operatorname {Gode} (F)}$ построен следующим образом. Для каждой точки ${ displaystyle x in X}$, позволять ${ displaystyle F_ {x}}$ обозначают стебель F в Икс. Учитывая открытый набор ${ Displaystyle U substeq X}$, определять

${ displaystyle operatorname {Gode} (F) (U): = prod _ {x in U} F_ {x}.}$

Открытое подмножество ${ Displaystyle U substeq V}$ явно индуцирует отображение ограничений ${ Displaystyle OperatorName {Gode} (F) (V) rightarrow OperatorName {Gode} (F) (U)}$, так ${ displaystyle operatorname {Gode} (F)}$ это предпучка. Один проверяет пучок аксиома легко. Также легко доказывается, что ${ displaystyle operatorname {Gode} (F)}$ является дряблый, что означает, что каждое отображение ограничений сюръективно. Карта ${ displaystyle operatorname {Gode}}$ может быть превращен в функтор, потому что отображение между двумя пучками индуцирует отображения между их стеблями. Наконец, есть каноническое отображение пучков ${ displaystyle F to operatorname {Gode} (F)}$ который отправляет каждый раздел в "продукт" своего микробы. Эта каноническая карта является естественным преобразованием между функтором тождества и ${ displaystyle operatorname {Gode}}$.

Другой способ просмотра ${ displaystyle operatorname {Gode}}$ как следует. Позволять ${ displaystyle X _ { text {диск}}}$ быть набором Икс с дискретной топологией. Позволять ${ displaystyle p двоеточие X _ { text {disc}} to X}$ - непрерывное отображение, индуцированное тождеством. Он индуцирует сопряженные функторы прямого и обратного изображения ${ displaystyle p _ {*}}$ и ${ displaystyle p ^ {- 1}}$. потом ${ displaystyle operatorname {Gode} = p _ {*} circ p ^ {- 1}}$, а единицей этого присоединения является естественное преобразование, описанное выше.

Благодаря этому присоединению существует ассоциированная монада на категории пучков на Икс. Используя эту монаду, можно повернуть связку F в коаугментированную косимплициальную связку. Этот коаугментированный косимплициальный пучок приводит к расширенному коцепному комплексу, который определяется как разрешение Годема F.

Говоря более приземленно, позвольте ${ Displaystyle G_ {0} (F) = operatorname {Gode} (F)}$, и разреши ${ displaystyle d_ {0} двоеточие F rightarrow G_ {0} (F)}$ обозначим каноническое отображение. Для каждого ${ displaystyle i> 0}$, позволять ${ Displaystyle G_ {я} (F)}$ обозначать ${ displaystyle operatorname {Gode} ( operatorname {coker} (d_ {i-1}))}$, и разреши ${ displaystyle d_ {i} двоеточие G_ {i-1} rightarrow G_ {i}}$ обозначим каноническое отображение. Результирующий разрешающая способность это вялое решение F, а его когомологиями является когомологии пучков из F.

Рекомендации

• Годеман, Роджер (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Париж: Герман, МИСТЕР  0345092
• Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру, Издательство Кембриджского университета, Дои:10.1017 / CBO9781139644136, ISBN  978-0-521-55987-4, МИСТЕР  1269324