Когомологии пучков - Sheaf cohomology

В математика, когомологии пучков это применение гомологическая алгебра проанализировать глобальные разделы из пучок на топологическое пространство. Вообще говоря, когомологии пучков описывают препятствия на пути к глобальному решению геометрической задачи, когда она может быть решена локально. Центральная работа по изучению когомологий пучков - это Гротендика Бумага Тохоку 1957 года.

Пучки, когомологии пучков и спектральные последовательности были изобретены Жан Лере в лагере для военнопленных Офлаг XVII-А в Австрии.^[1] С 1940 по 1945 год Лерэ и другие заключенные организовали в лагере «Université en captivité».

Определения Лере были упрощены и уточнены в 1950-х годах. Стало ясно, что когомологии пучков - это не только новый подход к когомология в алгебраическая топология, но также мощный метод в комплексная аналитическая геометрия и алгебраическая геометрия. Эти предметы часто включают построение глобального функции с заданными локальными свойствами, и когомологии пучков идеально подходят для таких задач. Многие более ранние результаты, такие как Теорема Римана – Роха и Теорема Ходжа были обобщены или лучше поняты с помощью когомологий пучков.

Определение

Категория пучков абелевы группы на топологическом пространстве Икс является абелева категория, поэтому имеет смысл спросить, когда морфизм ж: B → C пучков инъективен (a мономорфизм ) или сюръективный (an эпиморфизм ). Один ответ: ж инъективен (соответственно сюръективен) тогда и только тогда, когда ассоциированный гомоморфизм на стебли B_Икс → C_Икс является инъективный (соотв. сюръективный ) для каждой точки Икс в Икс. Это следует из того ж инъективен тогда и только тогда, когда гомоморфизм B(U) → C(U) разделов более U инъективен для любого открытого множества U в Икс. Однако сюръективность более тонкая: морфизм ж сюръективен тогда и только тогда, когда для каждого открытого множества U в Икс, каждый раздел s из C над U, и каждая точка Икс в U, есть открытый район V из Икс в U такой, что s ограниченный V это изображение некоторой части B над V. (Словами: каждый раздел C лифты локально в разделы B.)

В результате возникает вопрос: учитывая сюрприз B → C связок и секции s из C над Икс, когда s изображение части B над Икс? Это модель для всех видов геометрических вопросов, связанных с локальным и глобальным. Когомологии пучков дают удовлетворительный общий ответ. А именно пусть А быть ядро сюрреализма B → C, давая короткая точная последовательность

${ Displaystyle 0 к А к В к С к 0}$

пучков на Икс. Тогда есть длинная точная последовательность абелевых групп, называемых группами когомологий пучков:

${ displaystyle 0 к H ^ {0} (X, A) к H ^ {0} (X, B) to H ^ {0} (X, C) to H ^ {1} (X, A) to cdots,}$

куда ЧАС⁰(Икс,А) - группа А(Икс) глобальных разделов А на Икс. Например, если группа ЧАС¹(Икс,А) равна нулю, то из этой точной последовательности следует, что каждое глобальное сечение C лифты в глобальную секцию B. В более широком смысле, точная последовательность делает знание групп когомологий более высокого уровня фундаментальным инструментом для понимания сечений пучков.

Гротендик Определение когомологий пучков, ставшее теперь стандартным, использует язык гомологической алгебры. Существенный момент - зафиксировать топологическое пространство Икс и думать о когомологиях как о функтор из пучков абелевых групп на Икс в абелевы группы. Более подробно начнем с функтора E ↦ E(Икс) из пучков абелевых групп на Икс в абелевы группы. Это осталось точно, но в целом не совсем точный. Тогда группы ЧАС^я(Икс,E) за целые числа я определяются как право производные функторы функтора E ↦ E(Икс). Это делает автоматическим ЧАС^я(Икс,E) равен нулю для я <0, и что ЧАС⁰(Икс,E) - группа E(Икс) глобальных разделов. Приведенная выше длинная точная последовательность также очевидна из этого определения.

Определение производных функторов использует то, что категория пучков абелевых групп на любом топологическом пространстве Икс имеет достаточно инъекций; то есть для каждой пачки E существует инъективная связка я с уколом E → я.^[2] Отсюда следует, что каждый пучок E имеет инъекционный разрешающая способность:

${ displaystyle 0 to E to I_ {0} to I_ {1} to I_ {2} to cdots.}$

Тогда группы когомологий пучков ЧАС^я(Икс,E) - группы когомологий (ядро одного гомоморфизма по модулю образа предыдущего) сложный абелевых групп:

${ displaystyle 0 to I_ {0} (X) to I_ {1} (X) to I_ {2} (X) to cdots.}$

Стандартные аргументы в гомологической алгебре подразумевают, что эти группы когомологий не зависят от выбора инъективной резольвенты E.

Это определение редко используется непосредственно для вычисления когомологий пучков. Тем не менее, он мощный, потому что он работает в очень общем виде (любой пучок в любом топологическом пространстве), и он легко подразумевает формальные свойства когомологий пучков, такие как длинная точная последовательность выше. Для конкретных классов пространств или пучков существует множество инструментов для вычисления когомологий пучков, некоторые из которых обсуждаются ниже.

Функциональность

Для любого непрерывная карта ж: Икс → Y топологических пространств и любого пучка E абелевых групп на Y, Существует обратный гомоморфизм

${ displaystyle f ^ {*} двоеточие H ^ {j} (Y, E) to H ^ {j} (X, f ^ {*} (E))}$

для каждого целого числа j, куда ж*(E) обозначает связка обратного изображения или обратная связка.^[3] Если ж включение подпространство Икс из Y, ж*(E) это ограничение из E к Икс, часто просто звонят E снова, и откат раздела s из Y к Икс называется ограничением s|_Икс.

Гомоморфизмы отката используются в Последовательность Майера – Виеториса, важный вычислительный результат. А именно пусть Икс топологическое пространство, представляющее собой объединение двух открытых подмножеств U и V, и разреши E быть связкой на Икс. Тогда существует длинная точная последовательность абелевых групп:^[4]

${ Displaystyle 0 к H ^ {0} (X, E) к H ^ {0} (U, E) oplus H ^ {0} (V, E) to H ^ {0} (U cap V, E) to H ^ {1} (X, E) to cdots.}$

Когомологии пучков с постоянными коэффициентами

Для топологического пространства Икс и абелева группа А, то постоянная связка А_Икс означает пучок локально постоянных функций со значениями в А. Группы когомологий пучков ЧАС^j(Икс,А_Икс) с постоянными коэффициентами часто записываются просто как ЧАС^j(Икс,А), если это не может вызвать путаницу с другой версией когомологий, такой как особые когомологии.

Для непрерывной карты ж: Икс → Y и абелева группа А, обратная связка ж*(А_Y) изоморфна А_Икс. В результате гомоморфизм поднятия превращает когомологии пучков с постоянными коэффициентами в контравариантный функтор от топологических пространств к абелевым группам.

Для любых пространств Икс и Y и любая абелева группа А, два гомотопный карты ж и грамм из Икс к Y вызвать одно и тоже гомоморфизм на когомологиях пучков:^[5]

${ displaystyle f ^ {*} = g ^ {*}: H ^ {j} (Y, A) to H ^ {j} (X, A).}$

Отсюда следует, что два гомотопический эквивалент пространства имеют изоморфные когомологии пучков с постоянными коэффициентами.

Позволять Икс быть паракомпакт Пространство Хаусдорфа который локально сокращаемый, даже в том слабом смысле, что каждая открытая окрестность U точки Икс содержит открытый район V из Икс так что включение V → U гомотопно постоянному отображению. Тогда особые группы когомологий Икс с коэффициентами в абелевой группе А изоморфны когомологиям пучков с постоянными коэффициентами, ЧАС*(Икс,А_Икс).^[6] Например, это верно для Икс а топологическое многообразие или CW комплекс.

В результате многие из основных вычислений когомологий пучков с постоянными коэффициентами аналогичны вычислениям сингулярных когомологий. См. Статью о когомология для когомологий сфер, проективных пространств, торов и поверхностей.

Для произвольных топологических пространств особые когомологии и когомологии пучков (с постоянными коэффициентами) могут быть разными. Это бывает даже для ЧАС⁰. Особые когомологии ЧАС⁰(Икс,Z) - группа всех функций из множества компоненты пути из Икс к целым числам Z, тогда как когомологии пучков ЧАС⁰(Икс,Z_Икс) - группа локально постоянных функций из Икс к Z. Это разные, например, когда Икс это Кантор набор. Действительно, когомологии пучков ЧАС⁰(Икс,Z_Икс) это счетный абелева группа в этом случае, тогда как особые когомологии ЧАС⁰(Икс,Z) - группа все функции от Икс к Z, который имеет мощность

${ displaystyle 2 ^ {2 ^ { aleph _ {0}}}.}$

Для паракомпактного хаусдорфова пространства Икс и всякая связка E абелевых групп на Икс, группы когомологий ЧАС^j(Икс,E) равны нулю для j больше, чем размер покрытия из Икс.^[7] (Это не выполняется в той же общности для особых когомологий: например, существует компактный подмножество евклидова пространства р³ имеющий ненулевые особые когомологии в бесконечно многих степенях.^[8]) Покрывающая размерность согласуется с обычным понятием размерности топологического многообразия или CW-комплекса.

Дряблые и мягкие связки

Связка E абелевых групп на топологическом пространстве Икс называется ациклический если ЧАС^j(Икс,E) = 0 для всех j > 0. По длинной точной последовательности когомологий пучков, когомологии любого пучка могут быть вычислены из любого ациклического разрешения E (а не инъекционное разрешение). Инъективные пучки ациклические, но для вычислений полезно иметь другие примеры ациклических пучков.

Связка E на Икс называется дряблый (Французский: фляга), если каждый раздел E на открытом подмножестве Икс распространяется на часть E на всех Икс. Дряблые связки ацикличны.^[9] Годемент определенные когомологии пучков через каноническое дряблое разрешение любой связки; поскольку дряблые пучки ацикличны, определение Годемана согласуется с определением когомологий пучков выше.^[10]

Связка E на паракомпактном хаусдорфовом пространстве Икс называется мягкий если каждый раздел ограничения E к закрытое подмножество из Икс распространяется на часть E на всех Икс. Каждая мягкая связка ациклична.^[11]

Некоторые примеры мягких пучков: пучок настоящий -ценный непрерывные функции на любом паракомпактном хаусдорфовом пространстве или на пучке гладкий; плавный (C^∞) функционирует на любых гладкое многообразие.^[12] В общем, любой связка модулей по мягкому пучок коммутативных колец мягкий; например, связка гладких участков векторный набор над гладким многообразием является мягким.^[13]

Например, эти результаты являются частью доказательства теорема де Рама. Для гладкого многообразия Икс, то Лемма Пуанкаре говорит, что комплекс де Рама является разрешением постоянного пучка р_Икс:

${ displaystyle 0 to mathbf {R} _ {X} to Omega _ {X} ^ {0} to Omega _ {X} ^ {1} to cdots,}$

где Ω_Икс^j пучок гладких j-формы и отображение Ω_Икс^j → Ω_Икс^j+1 это внешняя производная d. По полученным выше результатам пучки Ω_Икс^j мягкие и, следовательно, ациклические. Отсюда следует, что когомологии пучков Икс с действительными коэффициентами изоморфна когомологиям де Рама Икс, определяемые как когомологии комплекса действительных векторные пространства:

${ displaystyle 0 to Omega _ {X} ^ {0} (X) to Omega _ {X} ^ {1} (X) to cdots.}$

Другая часть теоремы де Рама заключается в отождествлении когомологий пучков и особых когомологий Икс с действительными коэффициентами; что справедливо в большей степени, как обсуждалось над.

Когомологии Чеха

Когомологии Чеха это приближение к когомологиям пучков, которое часто бывает полезно для вычислений. А именно пусть ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ быть открытая крышка топологического пространства Икс, и разреши E - пучок абелевых групп на Икс. Запишите открытые наборы на обложке как U_я для элементов я набора я, и исправить порядок я. Тогда когомологии Чеха ${ displaystyle H ^ {j} ({ mathcal {U}}, E)}$ определяется как когомологии явного комплекса абелевых групп с jя группа

${ displaystyle C ^ {j} ({ mathcal {U}}, E) = prod _ {i_ {0} < cdots$

Существует естественный гомоморфизм ${ displaystyle H ^ {j} ({ mathcal {U}}, E) to H ^ {j} (X, E)}$. Таким образом, когомологии Чеха - это приближение к когомологиям пучков с использованием только сечений E на конечных пересечениях открытых множеств U_я.

Если каждое конечное пересечение V открытых сетов в ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ не имеет высших когомологий с коэффициентами в E, означающий, что ЧАС^j(V,E) = 0 для всех j > 0, то гомоморфизм из когомологий Чеха ${ displaystyle H ^ {j} ({ mathcal {U}}, E)}$ когомологии пучка - это изоморфизм.^[14]

Другой подход к связи когомологий Чеха с когомологиями пучков заключается в следующем. В Группы когомологий Чеха ${ displaystyle { check {H}} ^ {j} (X, E)}$ определяются как прямой предел из ${ displaystyle H ^ {j} ({ mathcal {U}}, E)}$ по всем открытым обложкам ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ из Икс (где открытые крышки заказываются уточнение ). Есть гомоморфизм ${ displaystyle { check {H}} ^ {j} (X, E) to H ^ {j} (X, E)}$ от когомологий Чеха к когомологиям пучков, что является изоморфизмом для j ≤ 1. Для произвольных топологических пространств когомологии Чеха могут отличаться от когомологий пучка в более высоких степенях. Однако удобно, что когомологии Чеха изоморфны когомологиям пучков для любого пучка на паракомпактном хаусдорфовом пространстве.^[15]

Изоморфизм ${ displaystyle { check {H}} ^ {1} (X, E) cong H ^ {1} (X, E)}$ подразумевает описание ЧАС¹(Икс,E) для любой связки E абелевых групп на топологическом пространстве Икс: эта группа классифицирует E-торсоры (также называемый главный E-бандлы ) над Икс, с точностью до изоморфизма. (Это утверждение обобщается на любой пучок групп грамм, не обязательно абелеву, используя неабелевы когомологии набор ЧАС¹(Икс,грамм).) По определению E-торсор Икс это связка S наборов вместе с действие из E на Икс так что каждая точка в Икс имеет открытый район, на котором S изоморфен E, с участием E действует сам на себя переводом. Например, на окольцованное пространство (Икс,О_Икс) следует, что Группа Пикард из обратимые связки на Икс изоморфна группе когомологий пучка ЧАС¹(Икс,О_Икс*), куда О_Икс* это связка единицы в О_Икс.

Относительные когомологии

Для подмножества Y топологического пространства Икс и пачка E абелевых групп на Икс, можно определить относительные когомологии группы:^[16]

${ Displaystyle H_ {Y} ^ {j} (X, E) = H ^ {j} (X, X-Y; E)}$

для целых чисел j. Другие названия - когомологии Икс с поддержка в Y, или (когда Y закрыт в Икс) локальные когомологии. Длинная точная последовательность связывает относительные когомологии с когомологиями пучков в обычном смысле:

${ Displaystyle cdots к H_ {Y} ^ {j} (X, E) к H ^ {j} (X, E) к H ^ {j} (XY, E) к H_ {Y} ^ {j + 1} (X, E) to cdots.}$

Когда Y закрыт в Икс, когомологии с опорой в Y можно определить как производные функторы от функтора

${ Displaystyle H_ {Y} ^ {0} (X, E): = {s in E (X): s | _ {X-Y} = 0 },}$

группа разделов E которые поддерживаются Y.

Есть несколько изоморфизмов, известных как иссечение. Например, если Икс топологическое пространство с подпространствами Y и U так что закрытие Y содержится в интерьере U, и E это связка на Икс, то ограничение

${ Displaystyle H_ {Y} ^ {j} (X, E) to H_ {Y} ^ {j} (U, E)}$

является изоморфизмом.^[17] (Итак, когомологии с опорой в замкнутом подмножестве Y зависит только от поведения пространства Икс и сноп E возле Y.) Также, если Икс паракомпактное хаусдорфово пространство, являющееся объединением замкнутых подмножеств А и B, и E это связка на Икс, то ограничение

${ Displaystyle H ^ {j} (X, B; E) к H ^ {j} (A, A cap B; E)}$

является изоморфизмом.^[18]

Когомологии с компактным носителем

Позволять Икс быть локально компактный топологическое пространство. (В этой статье под локально компактным пространством понимается хаусдорфово пространство.) Для пучка E абелевых групп на Икс, можно определить когомологии с компактным носителем ЧАС_c^j(Икс,E).^[19] Эти группы определяются как производные функторы функтора секций с компактным носителем:

${ displaystyle H_ {c} ^ {0} (X, E) = {s in E (X): { text {есть компактное подмножество}} K { text {of}} X { text {with}} s | _ {XK} = 0 }.}$

Существует естественный гомоморфизм ЧАС_c^j(Икс,E) → ЧАС^j(Икс,E), который является изоморфизмом для Икс компактный.

Для связки E на локально компактном пространстве Икскогомологии с компактным носителем Икс × р с коэффициентами при откате E является сдвигом когомологий с компактным носителем Икс:^[20]

${ displaystyle H_ {c} ^ {j + 1} (X times mathbf {R}, E) cong H_ {c} ^ {j} (X, E).}$

Отсюда следует, например, что ЧАС_c^j(р^п,Z) изоморфна Z если j = п и равен нулю в противном случае.

Когомологии с компактным носителем не функториальны относительно произвольных непрерывных отображений. Для правильная карта ж: Y → Икс локально компактных пространств и пучок E на Икс, однако существует гомоморфизм обратного вызова

${ displaystyle f ^ {*} двоеточие H_ {c} ^ {j} (X, E) to H_ {c} ^ {j} (Y, f ^ {*} (E))}$

о когомологиях с компактным носителем. Также для открытого подмножества U локально компактного пространства Икс и пачка E на Икс, существует прямой гомоморфизм, известный как продление на ноль:^[21]

${ displaystyle H_ {c} ^ {j} (U, E) to H_ {c} ^ {j} (X, E).}$

Оба гомоморфизма встречаются в длинном точном последовательность локализации для когомологий с компактным носителем, для локально компактного пространства Икс и замкнутое подмножество Y:^[22]

${ Displaystyle cdots к H_ {c} ^ {j} (XY, E) к H_ {c} ^ {j} (X, E) к H_ {c} ^ {j} (Y, E) to H_ {c} ^ {j + 1} (XY, E) to cdots.}$

Продукт чашки

Для любых связок А и B абелевых групп на топологическом пространстве Икс, есть билинейное отображение, чашка продукта

${ displaystyle H ^ {i} (X, A) times H ^ {j} (X, B) to H ^ {i + j} (X, A otimes B),}$

для всех я и j.^[23] Здесь А⊗B обозначает тензорное произведение над Z, но если А и B пучки модулей над некоторым пучком О_Икс коммутативных колец, то можно отобразить дальше от ЧАС^я+j(ИКС,А⊗_ZB) к ЧАС^я+j(ИКС,А⊗_ОИксB). В частности, для связки О_Икс коммутативных колец, чашечное произведение делает прямая сумма

${ Displaystyle H ^ {*} (X, O_ {X}) = bigoplus _ {j} H ^ {j} (X, O_ {X})}$

в градуированный коммутативный кольцо, что означает

${ displaystyle vu = (- 1) ^ {ij} uv}$

для всех ты в ЧАС^я и v в ЧАС^j.^[24]

Комплексы связок

Определение когомологий пучка как производного функтора распространяется на когомологии топологического пространства Икс с коэффициентами в любых сложный E связок:

${ Displaystyle cdots к E_ {j} к E_ {j + 1} к E_ {j + 2} to cdots}$

В частности, если комплекс E ограничена снизу (пучок E_j равен нулю для j достаточно отрицательный), то E имеет инъекционное разрешение я так же, как одиночный сноп. (По определению, я - ограниченный снизу комплекс инъективных пучков с карта цепи E → я это квазиизоморфизм.) Тогда группы когомологий ЧАС^j(Икс,E) определяются как когомологии комплекса абелевых групп

${ displaystyle cdots to I_ {j} (X) to I_ {j + 1} (X) to I_ {j + 2} (X) to cdots.}$

Когомологии пространства с коэффициентами в комплексе пучков ранее назывались гиперкогомология, но обычно сейчас просто «когомологии».

В общем, для любого комплекса шкивов E (не обязательно ограниченный снизу) на пространстве Икс, группа когомологий ЧАС^j(Икс,E) определяется как группа морфизмов в производная категория пучков на Икс:

${ Displaystyle H ^ {J} (X, E) = operatorname {Hom} _ {D (X)} ( mathbf {Z} _ {X}, E [j]),}$

куда Z_Икс постоянный пучок, связанный с целыми числами, а E[j] означает комплекс E сдвинут j шаги влево.

Двойственность Пуанкаре и обобщения

Центральным результатом в топологии является Двойственность Пуанкаре теорема: для закрыто ориентированный связаны топологическое многообразие Икс измерения п и поле k, группа ЧАС^п(Икс,k) изоморфна k, а продукт чашки

${ Displaystyle H ^ {J} (X, k) times H ^ {n-j} (X, k) to H ^ {n} (X, k) cong k}$

это идеальное сочетание для всех целых чисел j. То есть полученная карта из ЧАС^j(Икс,k) к двойное пространство ЧАС^п−j(Икс,k) * - изоморфизм. В частности, векторные пространства ЧАС^j(Икс,k) и ЧАС^п−j(Икс,k) * имеют одинаковые (конечные) измерение.

На языке когомологий пучков возможно множество обобщений. Если Икс ориентированный п-многообразие, не обязательно компактное или связное, и k поле, то когомологии двойственны когомологиям с компактным носителем:

${ displaystyle H ^ {j} (X, k) cong H_ {c} ^ {n-j} (X, k) ^ {*}.}$

Для любого многообразия Икс и поле k, есть связка о_Икс на Икс, то ориентационный пучок, который локально (но, возможно, не глобально) изоморфен постоянному пучку k. Один из вариантов двойственности Пуанкаре для произвольного п-многообразие Икс это изоморфизм:^[25]

${ displaystyle H ^ {j} (X, o_ {X}) cong H_ {c} ^ {n-j} (X, k) ^ {*}.}$

В более общем смысле, если E является локально постоянным пучком k-векторные пространства на п-многообразие Икс и стебли E имеют конечную размерность, то существует изоморфизм

${ displaystyle H ^ {j} (X, E ^ {*} otimes o_ {X}) cong H_ {c} ^ {n-j} (X, E) ^ {*}.}$

С коэффициентами в произвольном коммутативном кольце, а не в поле, двойственность Пуанкаре естественным образом формулируется как изоморфизм когомологий в Гомологии Бореля – Мура.

Двойственность Вердье это обширное обобщение. Для любого локально компактного пространства Икс конечной размерности и любого поля k, есть объект D_Икс в производной категории D(Икс) пучков на Икс называется дуализирующий комплекс (с коэффициентами в k). Одним из случаев двойственности Вердье является изоморфизм:^[26]

${ displaystyle H ^ {j} (X, D_ {X}) cong H_ {c} ^ {- j} (X, k) ^ {*}.}$

Для п-многообразие Икс, дуализирующий комплекс D_Икс изоморфна сдвигу о_Икс[п] ориентационного пучка. В результате двойственность Вердье включает двойственность Пуанкаре как частный случай.

Александр двойственность - еще одно полезное обобщение двойственности Пуанкаре. Для любого закрытого подмножества Икс ориентированного п-многообразие M и любое поле k, существует изоморфизм:^[27]

${ Displaystyle H_ {X} ^ {j} (M, k) cong H_ {c} ^ {n-j} (X, k) ^ {*}.}$

Это уже интересно для Икс компактное подмножество M = р^п, где говорится (грубо говоря), что когомологии р^п−Икс является двойственной пучковой когомологии Икс. В этом утверждении важно рассматривать когомологии пучков, а не особые когомологии, если не делать дополнительных предположений относительно Икс например, местная сократимость.

Высшие прямые изображения и спектральная последовательность Лере

Позволять ж: Икс → Y - непрерывное отображение топологических пространств, и пусть E - пучок абелевых групп на Икс. В связка прямого изображения ж_*E это связка на Y определяется

${ Displaystyle (е _ {*} E) (U) = E (f ^ {- 1} (U))}$

для любого открытого подмножества U из Y. Например, если ж это карта из Икс до точки, тогда ж_*E - пучок в точке, соответствующей группе E(Икс) глобальных разделов E.

Функтор ж_* со связок на Икс снопы на Y точно слева, но в целом не точен справа. В более высокое прямое изображение связки R^яж_*E на Y определяются как правые производные функторы функтора ж_*. Другое описание состоит в том, что R^яж_*E это связка, связанная с предпучкой

${ Displaystyle U mapsto H ^ {i} (е ^ {- 1} (U), E)}$

на Y.^[28] Таким образом, высшие пучки прямых изображений описывают когомологии прообразов малых открытых множеств в Y, грубо говоря.

В Спектральная последовательность Лере связывает когомологии с Икс к когомологиям на Y. А именно, для любой непрерывной карты ж: Икс → Y и всякая связка E на Икс, Существует спектральная последовательность

${ displaystyle E_ {2} ^ {ij} = H ^ {i} (Y, R ^ {j} f _ {*} E) Rightarrow H ^ {i + j} (X, E).}$

Это очень общий результат. Частный случай, когда ж это расслоение и E постоянный пучок играет важную роль в теория гомотопии под названием Спектральная последовательность Серра. В этом случае пучки прямых изображений высшего порядка локально постоянны, а слои - группы когомологий слоев F из ж, поэтому спектральная последовательность Серра может быть записана как

${ Displaystyle E_ {2} ^ {ij} = H ^ {i} (Y, H ^ {j} (F, A)) Rightarrow H ^ {i + j} (X, A)}$

для абелевой группы А.

Простым, но полезным случаем спектральной последовательности Лерэ является то, что для любого замкнутого подмножества Икс топологического пространства Y и всякая связка E на Икс, письмо ж: Икс → Y для включения существует изоморфизм^[29]

${ displaystyle H ^ {i} (Y, f _ {*} E) cong H ^ {i} (X, E).}$

В результате любой вопрос о когомологиях пучков на замкнутом подпространстве может быть переведен на вопрос о пучке прямых изображений на объемлющем пространстве.

Конечность когомологий

Имеется сильный результат о конечности когомологий пучков. Позволять Икс - компактное хаусдорфово пространство, и пусть р быть главная идеальная область, например поле или кольцо Z целых чисел. Позволять E быть связкой р-модули на Икс, и предположим, что E имеет «локально конечно порожденные когомологии», что означает, что для каждой точки Икс в Икс, каждое целое число j, и каждый открытый район U из Икс, есть открытый район V ⊂ U из Икс такое, что изображение ЧАС^j(U,E) → ЧАС^j(V,E) - конечно порожденная р-модуль. Тогда группы когомологий ЧАС^j(Икс,E) конечно порождены р-модули.^[30]

Например, для компактного хаусдорфова пространства Икс который является локально стягиваемым (в обсуждаемом слабом смысле над ) группа когомологий пучка ЧАС^j(Икс,Z) конечно порождена для любого целого числа j.

Одним из случаев, когда применим результат конечности, является случай конструктивная связка. Позволять Икс быть топологически стратифицированное пространство. Особенно, Икс поставляется с последовательностью замкнутых подмножеств

${ displaystyle X = X_ {n} supset X_ {n-1} supset cdots supset X _ {- 1} = emptyset}$

так что каждое различие Икс_я−Икс_я−1 является топологическим многообразием размерности я. Связка E из р-модули на Икс является конструктивный относительно данной стратификации, если ограничение E каждому слою Икс_я−Икс_я−1 локально постоянна, со стержнем конечно порожденная р-модуль. Связка E на Икс конструктивная относительно данной стратификации имеет локально конечно порожденные когомологии.^[31] Если Икс компактно, то группы когомологий ЧАС^j(Икс,E) из Икс с коэффициентами в конструктивном пучке конечно порождены.

В более общем плане предположим, что Икс компактифицируемо, то есть существует компактное стратифицированное пространство W содержащий Икс как открытое подмножество, с W–Икс союз связанные компоненты слоев. Тогда для любого конструктивного пучка E из р-модули на Икс, то р-модули ЧАС^j(Икс,E) и ЧАС_c^j(Икс,E) конечно порождены.^[32] Например, любой комплекс алгебраическое многообразие Иксс его классической (евклидовой) топологией компактифицируема в этом смысле.

Когомологии когерентных пучков

В алгебраической геометрии и комплексной аналитической геометрии когерентные пучки представляют собой класс пучков особой геометрической важности. Например, алгебраическое векторное расслоение (на локально нётерова схема ) или голоморфное векторное расслоение (на сложное аналитическое пространство ) можно рассматривать как когерентный пучок, но когерентные пучки имеют то преимущество перед векторными расслоениями, что они образуют абелеву категорию. На схеме также полезно учесть квазикогерентный пучки, включающие в себя локально свободные пучки бесконечного ранга.

Многое известно о группах когомологий схемы или комплексного аналитического пространства с коэффициентами в когерентном пучке. Эта теория - ключевой технический инструмент алгебраической геометрии. Среди основных теорем - результаты об исчезновении когомологий в различных ситуациях, результаты о конечномерности когомологий, сравнения когерентных когомологий пучков и сингулярных когомологий, таких как Теория Ходжа, а формулы на Характеристики Эйлера в когерентных когомологиях пучков, таких как Теорема Римана – Роха.

Связки на участке

В 1960-х Гротендик определил понятие сайт, что означает категорию, оснащенную Топология Гротендика. Сайт C аксиоматизирует понятие набора морфизмов V_α → U в C будучи покрытие из U. Топологическое пространство Икс определяет сайт естественным образом: категория C есть объекты, открытые подмножества Икс, с морфизмами, являющимися включениями, и с набором морфизмов V_α → U быть названным прикрытием U если и только если U является объединением открытых подмножеств V_α. Убедительным примером топологии Гротендика за пределами этого случая был этальная топология по схемам. С тех пор многие другие топологии Гротендика использовались в алгебраической геометрии: топология fpqc, то Топология Нисневича, и так далее.

Определение связки работает на любом сайте. Таким образом, можно говорить о связке множеств на сайте, о связке абелевых групп на сайте и так далее. Определение когомологий пучка как производного функтора также работает на сайте. Итак, есть группы когомологий пучков ЧАС^j(Икс, E) для любого объекта Икс сайта и любой связки E абелевых групп. Для этальной топологии это дает понятие этальные когомологии, что привело к доказательству Гипотезы Вейля. Кристаллические когомологии и многие другие теории когомологий в алгебраической геометрии также определяются как когомологии пучков на соответствующем сайте.

Примечания

Рекомендации

• Barratt, M. G .; Милнор, Джон (1962), «Пример аномальных сингулярных гомологий», Труды Американского математического общества, 13: 293–297, Дои:10.1090 / S0002-9939-1962-0137110-9, Г-Н  0137110
• Борель, Арман (1984), Когомологии пересечения, Биркхойзер, ISBN  0-8176-3274-3, Г-Н  0788171
• Бредон, Глен Э. (1997) [1967], Теория пучков (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0647-7, ISBN  978-0-387-94905-5, Г-Н  1481706
• Годеман, Роджер (1973) [1958], Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Париж: Герман, Г-Н  0345092
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994) [1978], Принципы алгебраической геометрии, Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, Дои:10.1002/9781118032527, ISBN  978-0-471-05059-9, Г-Н  1288523
• Гротендик, А. (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", Математический журнал Тохоку, (2), 9: 119–221, Дои:10.2748 / tmj / 1178244839, Г-Н  0102537. английский перевод.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90244-9, Г-Н  0463157, OCLC  13348052
• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков, Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN  978-3-540-16389-3, Г-Н  0842190

внешняя ссылка

• В ветка "Когомологии пучков и инъективные резольвенты" на MathOverflow
• В «Когомологии пучков» на Обмен стеком