Правильная карта - Proper map

Позволять ${ displaystyle f двоеточие от X до Y}$ - замкнутая карта такая, что ${ displaystyle f ^ {- 1} (у)}$ компактна (в X) для всех ${ displaystyle y in Y}$. Позволять ${ displaystyle K}$ быть компактным подмножеством ${ displaystyle Y}$. Мы покажем, что ${ displaystyle f ^ {- 1} (К)}$ компактный.

Позволять ${ displaystyle {U _ { lambda} vert lambda in Lambda }}$ быть открытой крышкой ${ displaystyle f ^ {- 1} (К)}$. Тогда для всех ${ Displaystyle к в К}$ это тоже открытая крышка ${ displaystyle f ^ {- 1} (к)}$. Поскольку последнее предполагается компактным, оно имеет конечное подпокрытие. Другими словами, для всех ${ Displaystyle к в К}$ есть конечное множество ${ displaystyle gamma _ {k} subset Lambda}$ такой, что ${ displaystyle f ^ {- 1} (k) subset cup _ { lambda in gamma _ {k}} U _ { lambda}}$.Набор ${ displaystyle X setminus cup _ { lambda in gamma _ {k}} U _ { lambda}}$ закрыто. Его образ замкнут в Y, потому что f - замкнутое отображение. Следовательно, множество

${ Displaystyle V_ {к} = Y setminus f (X setminus cup _ { lambda in gamma _ {k}} U _ { lambda})}$ открыто в Y. Легко проверить, что ${ displaystyle V_ {k}}$ содержит точку ${ displaystyle k}$.Сейчас же ${ Displaystyle K подмножество чашка _ {k in K} V_ {k}}$ и потому что K предполагается компактным, имеется конечное число точек ${ displaystyle k_ {1}, dots, k_ {s}}$ такой, что ${ Displaystyle К подмножество чашка _ {я = 1} ^ {s} V_ {k_ {я}}}$. Кроме того, множество ${ Displaystyle Gamma = чашка _ {я = 1} ^ {s} gamma _ {k_ {i}}}$ является конечным объединением конечных множеств, поэтому ${ displaystyle Gamma}$ конечно.

Отсюда следует, что ${ displaystyle f ^ {- 1} (K) subset f ^ {- 1} ( cup _ {i = 1} ^ {s} V_ {k_ {i}}) subset cup _ { lambda в Gamma} U _ { lambda}}$ и мы нашли конечное подпокрытие ${ displaystyle f ^ {- 1} (К)}$, что завершает доказательство.