Правильная выпуклая функция - Proper convex function

В математический анализ (особенно выпуклый анализ ) и оптимизация, а правильная выпуклая функция это выпуклая функция ж принимая ценности в расширенная строка действительных чисел такой, что

${ Displaystyle е (х) <+ infty}$

по крайней мере для одного Икс и

${ displaystyle f (x)> - infty}$

для каждого Икс. То есть выпуклая функция есть правильный если это эффективный домен непусто и никогда не достигает ${ displaystyle - infty}$.^[1] Выпуклые функции, которые не являются собственными, называются несобственные выпуклые функции.^[2]

А правильная функция вогнутости любая функция г такой, что ${ displaystyle f = -g}$ - собственная выпуклая функция.

Свойства

Для каждой собственной выпуклой функции ж на р^п есть некоторые б в р^п и β в р такой, что

${ Displaystyle е (х) geq х cdot b- бета}$

для каждого Икс.

Сумма двух собственных выпуклых функций является выпуклой, но не обязательно собственной.^[3] Например, если наборы ${ Displaystyle A подмножество X}$ и ${ Displaystyle B подмножество X}$ непустые выпуклые множества в векторное пространство Икс, то характеристические функции ${ displaystyle I_ {A}}$ и ${ displaystyle I_ {B}}$ - собственные выпуклые функции, но если ${ Displaystyle A cap B = emptyset}$ тогда ${ displaystyle I_ {A} + I_ {B}}$ тождественно равно ${ displaystyle + infty}$.

В инфимальная свертка двух собственных выпуклых функций является выпуклой, но не обязательно собственно выпуклой.^[4]

использованная литература