Характеристическая функция (выпуклый анализ) - Characteristic function (convex analysis)

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Октябрь 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В области математика известный как выпуклый анализ, то характеристическая функция набора это выпуклая функция что указывает на принадлежность (или непринадлежность) данного элемента к этому набору. Он похож на обычный индикаторная функция, и можно свободно преобразовывать между ними, но характеристическая функция, как определено ниже, лучше подходит для методов выпуклого анализа.

Определение

Позволять ${displaystyle X}$ быть набор, и разреши ${displaystyle A}$ быть подмножество из ${displaystyle X}$. В характеристическая функция из ${displaystyle A}$ это функция

${displaystyle chi _ {A}: X o mathbb {R} чашка {+ infty}}$

принимая ценности в расширенная строка действительных чисел определяется

${displaystyle chi _ {A} (x): = {egin {cases} 0, & xin A; + infty, & xot in A.end {cases}}}$

Связь с индикаторной функцией

Позволять ${displaystyle mathbf {1} _ {A}: X o mathbb {R}}$ обозначают обычную индикаторную функцию:

${displaystyle mathbf {1} _ {A} (x): = {egin {cases} 1, & xin A; 0, & xot in A.end {cases}}}$

Если принять соглашения,

• для любого ${displaystyle ain mathbb {R} чашка {+ infty}}$, ${displaystyle a + (+ infty) = + infty}$ и ${displaystyle a (+ infty) = + infty}$, Кроме ${displaystyle 0 (+ infty) = 0}$;
• ${displaystyle {frac {1} {0}} = + infty}$; и
• ${displaystyle {frac {1} {+ infty}} = 0}$;

тогда индикаторная и характеристическая функции связаны уравнениями

${displaystyle mathbf {1} _ {A} (x) = {frac {1} {1 + chi _ {A} (x)}}}$

и

${displaystyle chi _ {A} (x) = (+ infty) left (1-mathbf {1} _ {A} (x) ight).}$

Библиография

• Рокафеллар, Р. Т. (1997) [1970]. Выпуклый анализ. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-01586-6.